还剩10页未读，
继续阅读
2023-2024学年陕西省西安市区县联考高一（上）期末数学试卷(含解析）
展开
这是一份2023-2024学年陕西省西安市区县联考高一（上）期末数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设x∈R，则“x<3”是“x(x−2)<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合A=x|−2≤x≤7,B=x|m+1( )
A. m|−3≤m≤4B. m|m>2
C. m|23.设全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x>p}，若(∁UA)∩B=⌀，则p应该满足的条件是( )
A. p>1B. p≥1C. p<1D. p≤1
4.关于x的不等式(m−1)x2+2(1−m)x+3≤0的解集为空集，则m的取值范围为( )
A. {m|15.若函数f(x)是R上的减函数，a>0，则下列不等式一定成立的是( )
A. f(a2)6.已知函数f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，且在区间[a,b](a( )
A. 有最大值4B. 有最小值−4C. 有最大值−3D. 有最小值−3
7.为了得到函数y=sin2x− 3cs2x的图象，只要把函数y=2sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位长度B. 向左平移π6个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度
8.化简 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)得( )
A. sin2+cs2B. cs2−sin2C. sin2−cs2D. ±cs2−sin2
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，函数f(x+1)为偶函数，且当x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，则( )
A. f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称B. 对任意整数k，f(2k)=0
C. f(x)的值域为[−3,1]D. 3f(x)−x+2=0的实数根个数为7
二、多选题（本题共3小题，共15分）
10.函数f(x)=lg2(|x|−1)的图象为( )
A. B.
C. D.
11.若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈[1,2]与函数y=x2，x∈[−2,−1]就是“同族函数”.下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是
( )
A. y=|x|B. y=x12C. y=x3D. y=x−1
12.若二次函数y1=x2−ax+b的两个零点为2，3，则二次函数y2=bx2−ax−1的零点是( )
A. −1，16B. 1，−16C. 12，13D. −12，−13
三、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知集合A={x|x2−2x+9−a=0}，B={x|ax2−4x+1=0,a≠0}，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围______．
14.已知函数f(x)=lg(2x−b)(b为常数)，若x∈[1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是______．
15.若函数f(x)=x2+(a−1)x+a在区间[2,+∞)上是增函数，则a的取值范围 ．
16.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=lga(−x2+2x+3)的单调递减区间为______．
四、解答题（本题共5小题，共58分）
17.已知集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|−2≤x≤4}，全集U=R．
(1)当a=2时，求A∩B，(∁UA)∩(∁UB)；
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.已知函数f(x)=2x+1x+1，
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
19.若a>0，b>0，且ab=a+b+8．
(1)求ab的取值范围；
(2)求a+4b的最小值，以及此时对应的a的值．
20.已知函数f(x)=lg2x.
(1)若a>b>0，证明：f(a)+f(b)2(2)若g(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，g(x)=f(x+2)−1．
(ⅰ)求g(x)的解析式；
(ⅱ)求方程2g(x)−x=0的所有根.(只要言之有理即可)
21.已知函数f(x)=( 3cs x+sin x)2−2 3sin 2x．
(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；
(2)若x∈[−π2,π2]，求函数f(x)的单调减区间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：不等式x(x−2)<0，即0反之，可能x=2，则x(x−2)=0，所以x<3不可以推出x(x−2)<0，
故“x<3”是“x(x−2)<0”的必要不充分条件．
故选：C．
根据题意解不等式x(x−2)<0，得到0本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
2.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查由并集的结果求参数，属于基础题．
由题意知B⊆A，分集合B不为空集和为空集两种情况求解．
【解答】
解：∵A∪B=A,∴B⊆A，
①若B不为空集，则m+1<2m−1，解得m>2，
∵A=x|−2≤x≤7,B=x|m+1∴m+1≥−2，且2m−1≤7，
解得−3≤m≤4，此时2②若B为空集，则m+1≥2m−1，解得m≤2，符合题意，
综上实数m满足m≤4即可，
故选：ACD．
3.【答案】B
【解析】解：全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x>p}，
∴∁UA={x|x≤1}，
又(∁UA)∩B=⌀，
∴p≥1．
故选：B．
根据补集和交集的定义，结合空集的定义，即可得出p满足的条件．
本题考查了补集和交集以及空集的定义与应用问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：当m−1=0即m=1时，不等式为2≤0，不等式的解集是⌀，符合题意；
当m−1≠0即m≠1时，不等式是二次不等式，要使不等式的解集是空集，
只需Δ=[2(1−m)]2−12(m−1)<0，解得：1故选：A．
通过讨论m的范围，结合二次函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性比较大小以及利用作差法比较代数式的大小，属于较易题．
利用特殊值法即可判断A、B；利用不等式的基本性质比较a与2a的大小关系，结合f(x)的单调性即可判断C；利用作差法比较a2与a−1的大小关系，结合f(x)的单调性即可判断D．
【解答】
解：若a=1，则a2=a，a=1a，所以f(a2)=f(a)，f(a)=f(1a)，故A、B错误；
因为a>0，所以a<2a，又f(x)是R上的减函数，所以f(a)>f(2a)，故C错误；
因为a2−(a−1)=a2−a+1=(a−12)2+34>0，所以a2>a−1，
又f(x)是R上的减函数，所以f(a2)故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：∵函数f(x)是奇函数，在(0,+∞)上是减函数，
∴f(x)在(−∞,0)上也是减函数，
∵在区间[a,b](a∴最大值为f(a)=4，最小值为f(b)=−3，
∴f(x)在区间[−b,−a]上也是减函数，且最大值为f(−b)=−f(b)=3，
最小值为f(−a)=−f(a)=−4，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：∵函数y=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)=2sin2(x−π6)，
故把函数y=2sin2x的图象向右平移π6个单位长度，即可得到函数y=sin2x− 3cs2x的图象，
故选：D．
由条件利用两角和差的正弦公式化简y=sin2x− 3cs2x的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解： 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)= [sin(π−2)+cs(π−2)]2=|sin(π−2)+cs(π−2)|=|sin2−cs2|
∵sin2>0，cs2<0，
∴sin2−cs2>0，
∴ 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)=sin2−cs2
故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
9.【答案】BCD
【解析】解：由f(x+4)=f(x)可得函数以4为周期，
又由函数f(x+1)为偶函数可得f(x+1)=f(−x+1)，
所以函数的一条对称轴为x=1，
又由x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，所以作出函数图象如下：
所以由图可知，f(x)的图象不关于点(2,0)成中心对称，A错误；
对任意整数k，f(2k)=0，B正确；
f(x)的值域为[−3,1]，C正确；
由3f(x)−x+2=0，可得f(x)=13x−23，
令g(x)=13x−23，
作出g(x)=13x−23，如图，
注意到f(−9)=f(3)=−3,g(−9)=−113,f(−9)>g(−9)，f(−5)=f(3)=−3所以f(x)的图象和g(x)的图象共有7个交点，
即3f(x)−x+2=0的实数根个数为7，D正确．
故选：BCD．
利用函数的对称性、周期性以及x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，可作出f(x)的部分图象，数形结合求解．
本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题．
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
【解答】
解：函数f(x)=lg2(|x|−1)，
由|x|−1>0，解得x>1或x<−1，即函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，排除B，C；
f(−x)=lg2(|−x|−1)=lg2(|x|−1)=f(x)，则f(x)是偶函数，排除D．
故本题选A．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查了基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题．
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．由此判断各个函数在其定义域上的单调性，即可得到选项A是符合题意的，而B、C中的函数在其定义域上是单调函数，不符合题意．D中的函数不同的定义域，值域不可能相同，也不符合题意。
【解答】解：由题意知，“同族函数”不能是单调函数，故 B，C不能用来构造“同族函数”;
因为y=x−1是奇函数，图象关于原点对称，所以不同的定义域，值域不可能相同，故D不能用来构造“同族函数”;
函数y=|x|，x∈[−1,0]与函数y=|x|，x∈[0,1]，定义域不同，值域都为[0,1]，解析式一样，故y=|x|可用来构造“同族函数”．
故选BCD．
12.【答案】B
【解析】解：∵y1=x2−ax+b的两个零点为2，3，
∴2+3=a，2×3=b，
∴a=5，b=6，
∴y2=bx2−ax−1=6x2−5x−1，
令6x2−5x−1=0，得x=1或−16，
故选：B．
利用二次函数的性质可求得a与b，从而可求得二次函数y2=bx2−ax−1的零点．
本题考查函数的零点与二次函数的性质，属于基础题．
13.【答案】{a|a≥8或a≤4，且a≠0}
【解析】解：集合A={x|x2−2x+9−a=0}，由Δ1=4−4(9−a)<0，解得a<8；
B={x|ax2−4x+1=0,a≠0}，由Δ2=16−4a<0，解得a>4．
若A，B两个集合中至少有一个集合不为空集，
则a的取值范围是{a|a≥8或a≤4，且a≠0}．
故答案为：{a|a≥8或a≤4，且a≠0}．
根据集合A，B中至少有一个非空集合，利用判别式法列不等式求解即可．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
14.【答案】(−∞,1]
【解析】解：∵f(x)=lg(2x−b)，当x≥1时，f(x)≥0恒成立，
∴2x−b≥1，对任意x∈[1,+∞)恒成立，即b≤2x−1，
而x∈[1,+∞)时，t=2x−1是增函数，得t=2x−1的最小值为1，
由此可得b≤1，即b的取值范围是(−∞,1]
故答案为：(−∞,1]．
根据题意，结合对数函数的性质得：不等式b≤2x−1对任意x∈[1,+∞)恒成立，再由指数函数的单调性即可求出b的最大值，从而得到b的取值范围．
本题给出真数函数指数式的对数型函数，在不等式恒成立的情况下求参数b的取值范围，着重考查了基本初等函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于基础题．
15.【答案】[−3,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数单调性的性质，熟练二次函数图象特征是解决问题的基础．
根据函数f(x)的图象特征及f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，得对称轴位于区间左侧或左端点处，由此得不等式，解出即可．
【解答】
解：函数f(x)=x2+(a−1)x+a图象开口向上，对称轴为x=−a−12，
由函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，得−a−12≤2，解得a≥−3，
所以a的取值范围是[−3,+∞)．
故答案为：[−3,+∞)．
16.【答案】(1,3)
【解析】解：当a>1时，f(x)在[0,1]递增，可得a+1=3，即a=2；
当0所以y=lga(−x2+2x+3)即y=lg2(−x2+2x+3)(−1设t=−x2+2x+3(−1因为y=lg2t在(0,+∞)递增，
所以要求函数y=lga(−x2+2x+3)的单调递减区间，只需求t=−x2+2x+3(−1而t=−x2+2x+3(−1故答案为：(1,3)．
由指数函数的单调性可得f(x)的最值，解方程可得a，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．
本题考查复合函数的单调性，以及指数函数、对数函数和二次函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|1≤x≤7}，
则A∩B={x|1≤x≤4}；
∁RA={x|x<1或x>7}，∁UB={x|x<−2或x>4}，
(∁RA)∩(∁RB)={x|x<−2或x>7}；
(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴A⫋B，
A≠⌀，由A⫋B，得到，a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4且a−1≥−2与2a+3≤4不同时取等号；
解得：−1≤a≤12，
A=⌀，a−1>2a+3，解得a<−4
综上：a的取值范围是[−1,12]∪(−∞，−4)．
【解析】(1)把a=2代入A确定出A，求出A∩B和(∁RA)∩(∁RB)即可；
(2)由x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，得到A为B的真子集，分A为空集与A不为空集两种情况求出a的范围即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)在[1,+∞)上是增函数，
证明如下：任取x1，x2∈[1,+∞)，且x1f(x1)−f(x2)=2x1+1x1+1−2x2+1x2+1=x1−x2(x1+1)(x2+1)，
∵x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[1,+∞)上是增函数；
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，
∴最大值f(4)=2×4+14+1=95，最小值f(1)=2×1+11+1=32．
【解析】本题主要考查函数的单调性和最大(小)值，属于中档题．
(1)根据增函数的定义进行判断和证明；
(2)利用(1)的结论，结合函数的单调性，进行求解即可．
19.【答案】解：(1)∵a>0，b>0，
∴ab=a+b+8≥2 ab+8，得ab−2 ab−8≥0，
解得( ab−4)( ab+2)≥0，明显可得 ab≥4，
∴ab≥16
ab的取值范围为[16,+∞)；
(2)由ab=a+b+8得，a=b+8b−1>0，结合a，b>0得b>1，
∴a+4b=b+8b−1+4b=b−1+9b−1+4b=1+9b−1+4(b−1)+4≥5+2 9×4=17，
当且仅当9b−1=4(b−1)时，等式成立，解得b=52，
∴a=52+852−1=213=7，
即当a=7时，a+4b取最小值为17．
【解析】(1)利用基本不等式可得出关于ab的不等式，即可得出ab的最小值；
(2)利用条件等式，得到a=b+8b−1，进而有a+4b=b+8b−1+4b，利用基本不等式可得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为a>b>0，
所以f(a)+f(b)=lg2a+lg2b=lg2ab，
f(a+b2)=lg2a+b2，
又基本不等式可得当a≠b时， ab即lg2a+lg2b2=lg2 ab(2)(ⅰ)依据题意可得，当x>0时，g(x)=lg2(x+2)−1，
因为函数g(x)定义在R上的奇函数，
所以g(0)=0，
当x≥0时，g(x)=lg2(x+2)−1，
设x<0，则−x>0，
所以g(x)=−g(−x)=1−lg2(2−x)，
所以g(x)=1−lg2(2−x),x<0lg2(x+2)−1,x≥0．
(ⅱ)方程2g(x)−x=0转化为曲线y1=g(x)与直线y2=12x交点的情况，
当x≥0时，y1=g(x)与y2=12x交于点(0,0)和点(2,1)，
由(1)知y1=g(x)的图象总是向上凸，
所以除(2,1)外不会有其它交点，
同理，当x<0时，根据对称性，两个图象还有一个交点(−2,−1)，
所以2g(x)−x=0有三个−2，0，2．
【解析】(1)因为a>b>0，由对数的运算性质，可得f(a)+f(b)=lg2a+lg2b=lg2ab，f(a+b2)=lg2a+b2，由基本不等式可得当a≠b时， ab(2)(ⅰ)依据题意可得，当x>0时，g(x)=lg2(x+2)−1，函数g(x)定义在R上的奇函数，g(0)=0，设x<0，则−x>0，则g(x)=−g(−x)=1−lg2(2−x)，即可得出答案．
(ⅱ)方程2g(x)−x=0转化为曲线y1=g(x)与直线y2=12x交点的情况，先分析当x≥0时，y1=g(x)与y2=12x交点，再由对称性，可得当x<0时，y1=g(x)与y2=12x交点，即可得出答案．
本题考查函数性质，基本不等式，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：f(x)=( 3cs x+sin x)2−2 3sin 2x
=3cs2x+2 3sinxcsx+sin2x−2 3sin2x
=3×1+cs2x2+1−cs2x2− 3sin2x
=cs2x− 3sin2x+2
=2cs(2x+π3)+2，
(1)当2x+π3=2kπ+π即x=kπ+π3(k∈Z)时，函数f(x)有最小值0；
故f(x)取得最小值0时，自变量x的取值集合 {x|x=kπ+π3,k∈Z}；
(2)f(x)的单调减区间满足 2kπ⩽2x+π3⩽2kπ+π ，k∈Z，
得kπ−π6⩽x⩽kπ+π3，k∈Z；
又x∈[−π2,π2]，令k=0，得−π6⩽x⩽π3，
故当x∈[−π2,π2]时，函数f(x)的单调减区间为 [−π6,π3].
【解析】本题考查二倍角公式、辅助角公式、余弦函数的图象和性质，属于中档题．
(1)将函数y=f(x)的解析式利用二倍角公式进行降幂，然后通过辅助角公式进行化简，根据三角函数的基本性质可求出f(x)的最小值，并求出相应的x的值；
(2)先求出函数f(x)的单调递减区间，再与定义域[−π2,π2]取交集即可得出答案．
1.设x∈R，则“x<3”是“x(x−2)<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合A=x|−2≤x≤7,B=x|m+1
A. m|−3≤m≤4B. m|m>2
C. m|2
A. p>1B. p≥1C. p<1D. p≤1
4.关于x的不等式(m−1)x2+2(1−m)x+3≤0的解集为空集，则m的取值范围为( )
A. {m|1
A. f(a2)
A. 有最大值4B. 有最小值−4C. 有最大值−3D. 有最小值−3
7.为了得到函数y=sin2x− 3cs2x的图象，只要把函数y=2sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位长度B. 向左平移π6个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度
8.化简 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)得( )
A. sin2+cs2B. cs2−sin2C. sin2−cs2D. ±cs2−sin2
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，函数f(x+1)为偶函数，且当x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，则( )
A. f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称B. 对任意整数k，f(2k)=0
C. f(x)的值域为[−3,1]D. 3f(x)−x+2=0的实数根个数为7
二、多选题（本题共3小题，共15分）
10.函数f(x)=lg2(|x|−1)的图象为( )
A. B.
C. D.
11.若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈[1,2]与函数y=x2，x∈[−2,−1]就是“同族函数”.下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是
( )
A. y=|x|B. y=x12C. y=x3D. y=x−1
12.若二次函数y1=x2−ax+b的两个零点为2，3，则二次函数y2=bx2−ax−1的零点是( )
A. −1，16B. 1，−16C. 12，13D. −12，−13
三、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知集合A={x|x2−2x+9−a=0}，B={x|ax2−4x+1=0,a≠0}，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围______．
14.已知函数f(x)=lg(2x−b)(b为常数)，若x∈[1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是______．
15.若函数f(x)=x2+(a−1)x+a在区间[2,+∞)上是增函数，则a的取值范围 ．
16.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=lga(−x2+2x+3)的单调递减区间为______．
四、解答题（本题共5小题，共58分）
17.已知集合A={x|a−1≤x≤2a+3}，B={x|−2≤x≤4}，全集U=R．
(1)当a=2时，求A∩B，(∁UA)∩(∁UB)；
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.已知函数f(x)=2x+1x+1，
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
19.若a>0，b>0，且ab=a+b+8．
(1)求ab的取值范围；
(2)求a+4b的最小值，以及此时对应的a的值．
20.已知函数f(x)=lg2x.
(1)若a>b>0，证明：f(a)+f(b)2
(ⅰ)求g(x)的解析式；
(ⅱ)求方程2g(x)−x=0的所有根.(只要言之有理即可)
21.已知函数f(x)=( 3cs x+sin x)2−2 3sin 2x．
(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；
(2)若x∈[−π2,π2]，求函数f(x)的单调减区间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：不等式x(x−2)<0，即0
故“x<3”是“x(x−2)<0”的必要不充分条件．
故选：C．
根据题意解不等式x(x−2)<0，得到0
2.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查由并集的结果求参数，属于基础题．
由题意知B⊆A，分集合B不为空集和为空集两种情况求解．
【解答】
解：∵A∪B=A,∴B⊆A，
①若B不为空集，则m+1<2m−1，解得m>2，
∵A=x|−2≤x≤7,B=x|m+1
解得−3≤m≤4，此时2
综上实数m满足m≤4即可，
故选：ACD．
3.【答案】B
【解析】解：全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x>p}，
∴∁UA={x|x≤1}，
又(∁UA)∩B=⌀，
∴p≥1．
故选：B．
根据补集和交集的定义，结合空集的定义，即可得出p满足的条件．
本题考查了补集和交集以及空集的定义与应用问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：当m−1=0即m=1时，不等式为2≤0，不等式的解集是⌀，符合题意；
当m−1≠0即m≠1时，不等式是二次不等式，要使不等式的解集是空集，
只需Δ=[2(1−m)]2−12(m−1)<0，解得：1
通过讨论m的范围，结合二次函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性比较大小以及利用作差法比较代数式的大小，属于较易题．
利用特殊值法即可判断A、B；利用不等式的基本性质比较a与2a的大小关系，结合f(x)的单调性即可判断C；利用作差法比较a2与a−1的大小关系，结合f(x)的单调性即可判断D．
【解答】
解：若a=1，则a2=a，a=1a，所以f(a2)=f(a)，f(a)=f(1a)，故A、B错误；
因为a>0，所以a<2a，又f(x)是R上的减函数，所以f(a)>f(2a)，故C错误；
因为a2−(a−1)=a2−a+1=(a−12)2+34>0，所以a2>a−1，
又f(x)是R上的减函数，所以f(a2)
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：∵函数f(x)是奇函数，在(0,+∞)上是减函数，
∴f(x)在(−∞,0)上也是减函数，
∵在区间[a,b](a
∴f(x)在区间[−b,−a]上也是减函数，且最大值为f(−b)=−f(b)=3，
最小值为f(−a)=−f(a)=−4，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：∵函数y=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)=2sin2(x−π6)，
故把函数y=2sin2x的图象向右平移π6个单位长度，即可得到函数y=sin2x− 3cs2x的图象，
故选：D．
由条件利用两角和差的正弦公式化简y=sin2x− 3cs2x的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解： 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)= [sin(π−2)+cs(π−2)]2=|sin(π−2)+cs(π−2)|=|sin2−cs2|
∵sin2>0，cs2<0，
∴sin2−cs2>0，
∴ 1+2sin(π−2)⋅cs(π−2)=sin2−cs2
故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
9.【答案】BCD
【解析】解：由f(x+4)=f(x)可得函数以4为周期，
又由函数f(x+1)为偶函数可得f(x+1)=f(−x+1)，
所以函数的一条对称轴为x=1，
又由x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，所以作出函数图象如下：
所以由图可知，f(x)的图象不关于点(2,0)成中心对称，A错误；
对任意整数k，f(2k)=0，B正确；
f(x)的值域为[−3,1]，C正确；
由3f(x)−x+2=0，可得f(x)=13x−23，
令g(x)=13x−23，
作出g(x)=13x−23，如图，
注意到f(−9)=f(3)=−3,g(−9)=−113,f(−9)>g(−9)，f(−5)=f(3)=−3
即3f(x)−x+2=0的实数根个数为7，D正确．
故选：BCD．
利用函数的对称性、周期性以及x∈[1,3]时，f(x)=−x2+2x，可作出f(x)的部分图象，数形结合求解．
本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题．
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
【解答】
解：函数f(x)=lg2(|x|−1)，
由|x|−1>0，解得x>1或x<−1，即函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，排除B，C；
f(−x)=lg2(|−x|−1)=lg2(|x|−1)=f(x)，则f(x)是偶函数，排除D．
故本题选A．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查了基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题．
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．由此判断各个函数在其定义域上的单调性，即可得到选项A是符合题意的，而B、C中的函数在其定义域上是单调函数，不符合题意．D中的函数不同的定义域，值域不可能相同，也不符合题意。
【解答】解：由题意知，“同族函数”不能是单调函数，故 B，C不能用来构造“同族函数”;
因为y=x−1是奇函数，图象关于原点对称，所以不同的定义域，值域不可能相同，故D不能用来构造“同族函数”;
函数y=|x|，x∈[−1,0]与函数y=|x|，x∈[0,1]，定义域不同，值域都为[0,1]，解析式一样，故y=|x|可用来构造“同族函数”．
故选BCD．
12.【答案】B
【解析】解：∵y1=x2−ax+b的两个零点为2，3，
∴2+3=a，2×3=b，
∴a=5，b=6，
∴y2=bx2−ax−1=6x2−5x−1，
令6x2−5x−1=0，得x=1或−16，
故选：B．
利用二次函数的性质可求得a与b，从而可求得二次函数y2=bx2−ax−1的零点．
本题考查函数的零点与二次函数的性质，属于基础题．
13.【答案】{a|a≥8或a≤4，且a≠0}
【解析】解：集合A={x|x2−2x+9−a=0}，由Δ1=4−4(9−a)<0，解得a<8；
B={x|ax2−4x+1=0,a≠0}，由Δ2=16−4a<0，解得a>4．
若A，B两个集合中至少有一个集合不为空集，
则a的取值范围是{a|a≥8或a≤4，且a≠0}．
故答案为：{a|a≥8或a≤4，且a≠0}．
根据集合A，B中至少有一个非空集合，利用判别式法列不等式求解即可．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
14.【答案】(−∞,1]
【解析】解：∵f(x)=lg(2x−b)，当x≥1时，f(x)≥0恒成立，
∴2x−b≥1，对任意x∈[1,+∞)恒成立，即b≤2x−1，
而x∈[1,+∞)时，t=2x−1是增函数，得t=2x−1的最小值为1，
由此可得b≤1，即b的取值范围是(−∞,1]
故答案为：(−∞,1]．
根据题意，结合对数函数的性质得：不等式b≤2x−1对任意x∈[1,+∞)恒成立，再由指数函数的单调性即可求出b的最大值，从而得到b的取值范围．
本题给出真数函数指数式的对数型函数，在不等式恒成立的情况下求参数b的取值范围，着重考查了基本初等函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于基础题．
15.【答案】[−3,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数单调性的性质，熟练二次函数图象特征是解决问题的基础．
根据函数f(x)的图象特征及f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，得对称轴位于区间左侧或左端点处，由此得不等式，解出即可．
【解答】
解：函数f(x)=x2+(a−1)x+a图象开口向上，对称轴为x=−a−12，
由函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，得−a−12≤2，解得a≥−3，
所以a的取值范围是[−3,+∞)．
故答案为：[−3,+∞)．
16.【答案】(1,3)
【解析】解：当a>1时，f(x)在[0,1]递增，可得a+1=3，即a=2；
当0
所以要求函数y=lga(−x2+2x+3)的单调递减区间，只需求t=−x2+2x+3(−1
由指数函数的单调性可得f(x)的最值，解方程可得a，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．
本题考查复合函数的单调性，以及指数函数、对数函数和二次函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|1≤x≤7}，
则A∩B={x|1≤x≤4}；
∁RA={x|x<1或x>7}，∁UB={x|x<−2或x>4}，
(∁RA)∩(∁RB)={x|x<−2或x>7}；
(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴A⫋B，
A≠⌀，由A⫋B，得到，a−1≤2a+3a−1≥−22a+3≤4且a−1≥−2与2a+3≤4不同时取等号；
解得：−1≤a≤12，
A=⌀，a−1>2a+3，解得a<−4
综上：a的取值范围是[−1,12]∪(−∞，−4)．
【解析】(1)把a=2代入A确定出A，求出A∩B和(∁RA)∩(∁RB)即可；
(2)由x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，得到A为B的真子集，分A为空集与A不为空集两种情况求出a的范围即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)在[1,+∞)上是增函数，
证明如下：任取x1，x2∈[1,+∞)，且x1
∵x1−x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，
∴最大值f(4)=2×4+14+1=95，最小值f(1)=2×1+11+1=32．
【解析】本题主要考查函数的单调性和最大(小)值，属于中档题．
(1)根据增函数的定义进行判断和证明；
(2)利用(1)的结论，结合函数的单调性，进行求解即可．
19.【答案】解：(1)∵a>0，b>0，
∴ab=a+b+8≥2 ab+8，得ab−2 ab−8≥0，
解得( ab−4)( ab+2)≥0，明显可得 ab≥4，
∴ab≥16
ab的取值范围为[16,+∞)；
(2)由ab=a+b+8得，a=b+8b−1>0，结合a，b>0得b>1，
∴a+4b=b+8b−1+4b=b−1+9b−1+4b=1+9b−1+4(b−1)+4≥5+2 9×4=17，
当且仅当9b−1=4(b−1)时，等式成立，解得b=52，
∴a=52+852−1=213=7，
即当a=7时，a+4b取最小值为17．
【解析】(1)利用基本不等式可得出关于ab的不等式，即可得出ab的最小值；
(2)利用条件等式，得到a=b+8b−1，进而有a+4b=b+8b−1+4b，利用基本不等式可得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为a>b>0，
所以f(a)+f(b)=lg2a+lg2b=lg2ab，
f(a+b2)=lg2a+b2，
又基本不等式可得当a≠b时， ab
因为函数g(x)定义在R上的奇函数，
所以g(0)=0，
当x≥0时，g(x)=lg2(x+2)−1，
设x<0，则−x>0，
所以g(x)=−g(−x)=1−lg2(2−x)，
所以g(x)=1−lg2(2−x),x<0lg2(x+2)−1,x≥0．
(ⅱ)方程2g(x)−x=0转化为曲线y1=g(x)与直线y2=12x交点的情况，
当x≥0时，y1=g(x)与y2=12x交于点(0,0)和点(2,1)，
由(1)知y1=g(x)的图象总是向上凸，
所以除(2,1)外不会有其它交点，
同理，当x<0时，根据对称性，两个图象还有一个交点(−2,−1)，
所以2g(x)−x=0有三个−2，0，2．
【解析】(1)因为a>b>0，由对数的运算性质，可得f(a)+f(b)=lg2a+lg2b=lg2ab，f(a+b2)=lg2a+b2，由基本不等式可得当a≠b时， ab
(ⅱ)方程2g(x)−x=0转化为曲线y1=g(x)与直线y2=12x交点的情况，先分析当x≥0时，y1=g(x)与y2=12x交点，再由对称性，可得当x<0时，y1=g(x)与y2=12x交点，即可得出答案．
本题考查函数性质，基本不等式，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：f(x)=( 3cs x+sin x)2−2 3sin 2x
=3cs2x+2 3sinxcsx+sin2x−2 3sin2x
=3×1+cs2x2+1−cs2x2− 3sin2x
=cs2x− 3sin2x+2
=2cs(2x+π3)+2，
(1)当2x+π3=2kπ+π即x=kπ+π3(k∈Z)时，函数f(x)有最小值0；
故f(x)取得最小值0时，自变量x的取值集合 {x|x=kπ+π3,k∈Z}；
(2)f(x)的单调减区间满足 2kπ⩽2x+π3⩽2kπ+π ，k∈Z，
得kπ−π6⩽x⩽kπ+π3，k∈Z；
又x∈[−π2,π2]，令k=0，得−π6⩽x⩽π3，
故当x∈[−π2,π2]时，函数f(x)的单调减区间为 [−π6,π3].
【解析】本题考查二倍角公式、辅助角公式、余弦函数的图象和性质，属于中档题．
(1)将函数y=f(x)的解析式利用二倍角公式进行降幂，然后通过辅助角公式进行化简，根据三角函数的基本性质可求出f(x)的最小值，并求出相应的x的值；
(2)先求出函数f(x)的单调递减区间，再与定义域[−π2,π2]取交集即可得出答案．
相关试卷
2023-2024学年陕西省西安市高二（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年陕西省西安市高二（上）期末数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高二（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高二（上）期末数学试卷(含解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期末数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
