北师大版（2019）必修一 第一章 预备知识 章节测试题(含答案)

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北师大版（2019）必修一 第一章 预备知识 章节测试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 2．函数的减区间为( ) A. B. C. D. 3．不等式的解集为( ) A. B. C. D. 4．若关于x不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 5．已知实数,满足,则的最小值为( ) A. B. C. D. 6．不等式的解集是( ) A. B.或 C.或 D. 7．若点在直线上,则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．若函数在上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是( ) A.2 B. C.1 D.0 10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列说法中正确的是( ) A. B.且 C.若，则 D.关于x的方程有四个根或两个根 11．下列函数中,最小值为2的是( ) A. B. C.() D. 12．若关于x的不等式的解集为,则的值可以是( ) A. B. C. D. 三、填空题 13．若a,b为正实数,m,,且,,则___________. 14．已知正实数a,b满足,若恒成立,则实数m的取值范围是_____. 15．已知函数,对于任意不同的,,有,则实数a的取值范围为______. 16．已知关于x的不等式的解集为,且实数,,满足,,则实数m的取值范围是_______________. 四、解答题 17．已知a,b,c均为正数,若,求证： （1）; （2）. 18．已知函数为二次函数,,,,; （1）求函数的解析式; （2）若不等式对恒成立,求实数的取值范围. 19．已知函数. （1）当时,求函数在上的值域; （2）是否存在实数a,使函数的定义域为,值域为?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 20．设函数. （1）若不等式的解集为,求实数a,b的值; （2）若,且存在,使成立,求实数a的取值范围. 21．某服装厂拟在2022年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）. （1）将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数; （2）该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时,利润最大? 22．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1．答案：A 解析：由， 又，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为6.故选：A. 2．答案：D 解析：由题意,函数有意义,则满足, 即,解得,即函数的定义域为, 令,可得其开口向下,对称轴的方程为, 所以函数在区间单调递增,在区间上单调递减, 根据复合函数的单调性,可得函数在上单调递减, 即的减区间为. 故选:D. 3．答案：B 解析：依题意可得,故,解得或, 所以不等式的解集为 故选:B. 4．答案：D 解析：由的解集为,可得:, 为:,解得为:. 故选:D 5．答案：A 解析：因为满足, 则 , 当且仅当时取等号, 故选:A. 6．答案：D 解析：方程的解为, 所以不等式的解集是. 故选：D. 7．答案：C 解析：因为点在直线上, 所以, 所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为4, 故选：C. 8．答案：D 解析：由不等式的解集为, 知是方程的两实数根, 由根与系数的关系,得,解得:,, 所以不等式可化为,解得:或, 故不等式的解集为:. 故选:D. 9．答案：AB 解析：依题意,当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即; 当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即. 故选AB. 10．答案：AC 解析：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，解得，故A正确.由韦达定理，得，，由于，故a可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误.时，，故C正确.当时，，此时方程有3个根0，4，，故D错误.故选AC. 11．答案：CD 解析:对于A,,当时,,不符合要求,故A错误; 对于B,,当且仅当时取等号,由得显然不成立,所以等号取不到,即的最小值不是2,故B错误; 对于C,因为,所以,,当且仅当时取等号,最小值是2,故C正确; 对于D,,易知,,则,当即或时,有最小值4,即有最小值2,故D正确.故选CD. 12．答案：BC 解析：设其中, 因为不等式的解集为, 所以恒大于等于零且, 故,即①,且②,③, 由②③可得, 代入①,可得, 解得, 由知, 故, 结合选项,的值可能和, 故选：BC. 13．答案：3. 解析：由题意可知,a,b为正实数,m,, 所以 又 所以, 即 当且仅当(①)时,取等号, 即 所以（②） 联立①②,因为m,,所以,则, 所以,所以. 故答案为:. 14．答案： 解析：因为正实数a,b满足,所以, 当且仅当时取等号, 故的最大值为, 所以. 故答案: 15．答案： 解析：对于任意,,有, 不妨设,则,即, 设,则, 又,所以单调递增,则恒成立, 因为, 所以,令, 要使在恒成立,只需恒成立,即恒成立, 又,所以,即, 故答案为: 16．答案：或 解析：因为的解集为, 所以,是的两根, 所以,, 所以,则, 即,解得或. 故答案为：或. 17．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：（1） . （当且仅当等号成立）. ; （2） （当且仅当时取等号）. 18．答案：（1） （2） 解析：（1）设 因为,, 所以的对称轴为, 因为,, 所以,解得, 所以 （2） 对恒成立 对恒成立 ,当且仅当时取等号, ∴, , 所求实数k的取值范围为. 19．答案：（1）; （2）存在,. 解析：（1）函数,,, ,在上单调减,在上单调增, 最小值为,而,, 函数的值域为. （2）①若时,,, ②若时,,,a不存在 ③若时,,,a不存在 ④若时,,,a不存在 综上知:. 20．答案：（1）,; （2）或 解析：（1）因为的解集为, 所以,解得,; （2）因为,所以, 因为存在,成立, 即存在,成立, 当时,,成立; 当时,函数图象开口向下,成立; 当时,,即, 解得或,此时,或, 综上：实数a的取值范围或. 21．答案：（1）; （2）投入3万元时,利润最大 解析：（1）由题意知：每件产品的销售价格为, , 即; （2）由, 当且仅当,即时取等号. 故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时,利润最大. 22 已知函数． （1）求函数的单调区间和最大值; （2）设函数有两个零点,证明：． 答案：（1）答案见解析; （2）证明见解析. 解析：（1）函数的定义域是,. 当时,恒成立,故在上单调递增,无最大值; 当时,令,得;令,得, 所以的单调递增区间为,单调递减区间为, ． （2）, 因为,为的两个零点, 所以,不妨设． 因为,所以在上单调递减,在上单调递增, 所以． 又证明等价于证明, 又因为,,,在上单调递增, 因此证明原不等式等价于证明,即要证明, 即要证明, 即恒成立． 令, 则, 所以在上为减函数, 所以, 即在时恒成立, 因此不等式恒成立, 即． 22．答案：（1）75人 （2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7 解析：（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则，解得， 又，，所以调整后的技术人员最多有75人. （2）假设存在实数m满足条件. 由条件①，得，解得. 又，，所以当时，取得最大值7，所以. 由条件②，得，不等式两边同除以， 得， 整理得， 因为，当且仅当时等号成立，所以. 综上，得. 故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.