新教材北师大版学习笔记必修一第一章 3【学案+同步课件】.2 第2课时　基本不等式的应用

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第2课时　基本不等式的应用
第一章　3.2　基本不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
导语
同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架(即图中阴影部分)，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形
ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？
导语
要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！(可布置：做为课后延伸探究题)
内容索引
利用基本不等式的变形求最值

一
问题　利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？
提示　一正：x，y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要.
知识梳理
用基本不等式求最值当x，y均为_____时，(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当______时，xy取得最大值____.(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当______时，x＋y取得最小值_____.
正数
x＝y
x＝y
(1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换.
注意点：
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
得(x－1)(y－9)＝9(定值).
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
延伸探究　若将条件换为x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
方法一　由2x＋8y＝xy及x>0，y>0，
∴x＋y的最小值是18.
方法二　由2x＋8y＝xy，得y(x－8)＝2x.
∴x＋y的最小值是18.
(1)根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.(2)当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值.(3)特别注意“1”的代换.
反思感悟
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∵x＋y＝1，
利用基本不等式解决实际问题

二
那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
设该批产品的利润为y，
当且仅当x＝1时，等号成立，∴当x＝1时，ymax＝17.当推广促销费投入1万元时，此批产品的利润最大，最大利润为17万元.
反思感悟
(1)应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立.(2)数学建模是对现实问题进行数学抽象， y＝x＋ (a>0)就是一个生活中应用广泛的函数模型.
　　　志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.
(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
由题意可得AD＝(4－x)cm，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4.则CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.
利用基本不等式解决恒(能)成立问题

三
由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0，
∴m≤4，即m的取值范围为(－∞，4].
由例3的解答可知，
反思感悟
(1)恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，将问题转化为求y的最值问题.(2)y的最值问题可能会用到基本不等式或转化为函数最值问题，还要注意等号是否取到.
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课堂小结
1.知识清单： (1)“和定积最大，积定和最小”. (2)求解应用题的方法与步骤： ①审题，②建模(列式)，③解模，④作答.2.方法归纳：配凑法、常值代换法.3.常见误区：缺少等号成立的条件.
随堂演练

1.已知01
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A.2 B.3 C.4 D.5
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∵a，b都是正数，且满足2a＋b＝3，
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由x>0，可得x＋1>1，
5.已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是_____.
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∵x>0，y>0，x＋2y－2xy＝0，
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课时对点练

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A.3 B.4 C.5 D.6
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∵x>1，∴2x－1>1，
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2.已知a>0，b>0且2a＋b＝2，则ab的最大值为
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A.2 B.8 C.4 D.6
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A.－3 B.－2 C.－1 D.0
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∵－41
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即x＝0时取等号.
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6.已知x>0，y>0，且x＋4y＝xy，则4x＋y的最小值为_____.
25
所以4x＋y的最小值为25.
7.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_____.
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9.某企业需要建造一个容积为8立方米，深度为2米的无盖长方体水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底造价为每平方米300元，设水池底面一边长为x米，水池总造价为y元，求y关于x的函数关系式，并求出水池的最低造价.
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而池底的造价为每平方米300元，池底的面积为4平方米，因此池底的总造价为1 200元，
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10.已知a>0，b>0.
∵a>0，b>0，
当且仅当a＝b时等号成立，
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由于0∴所求式子的最小值为1.
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∵a>1，∴a－1>0，∵a＋b＝2，∴(a－1)＋b＝1，
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因为a＋2b＝1，
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故所求的最小值为4.
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15.在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a；(2)对任意a∈R，a*0＝a；(3)对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c.则函数y＝x* (x>0)的最小值为_____.
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16.时隔35年，三星堆的发掘再次震惊世人，三千多年前的“中国制造”持续登上热搜.新发现6座三星堆文化“祭祀坑”，已出土众多重要文物，某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18 000元(长方体保护罩最大容积为10立方米).(1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；
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由基本不等式可得
故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小值为23 000元.
(2)求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.