北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程集体备课课件ppt

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二次函数与一元二次方程的关系二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系
二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系一般地，由二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0 时，函数值是0，因此x=x0 是方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的一个根.
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 与二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下：
拓宽视野已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函数y=ax2+bx+c 的函数值y=m，求自变量x 的值. 一元二次方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=m 的公共点的横坐标.
二次函数y=x2－6x+n 的图象如图2-5-1，若关于x的一元二次方程x2－6x+n=0 的一个根为x1=1，则另一个根x2=________ .
解题秘方：紧扣抛物线与x 轴两交点与对称轴的关系求解.
解：由图象知抛物线与x轴的一个交点为(1，0).由题知抛物线的对称轴为直线x=－ =3.∴抛物线与x 轴的另一个交点是(5，0).∴方程的另一个根为x2=5.
可用一元二次方程根与系数的 关系进行验证.
1-1. 抛物线y=x2+2x+m－1 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A.m<2 B.m>2 C.0二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根.
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根(1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0 的根的个数.
(2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
方法提醒估计一元二次方程的根的方法：对于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1与x2之间存在一个根，取x3= ，若ax23+bx3+c>0，则取x4= ；若ax23+bx3+c<0，则取x4= .这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.
(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的根(1)将方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式；(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2 和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8 的近似根(结果精确到0.1).
解题秘方：画出二次函数y=－x2+2x+5 的图象，利用二次函数的图象与x 轴的公共点计算一元二次方程的近似根.
解：整理方程，得－x2+2x+5=0.作函数y=－x2+2x+5 的图象如图2-5-2.
由图象可知，抛物线与x 轴公共点的横坐标分别在－2 和－1之间，3 和4 之间，即方程－x2+2x－3=－8 的两个实数根分别在－2和－1 之间，3 和4 之间，用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，从而确定方程的近似根为x1 ≈ －1.4，x2 ≈ 3.4.
2-1.［中考·苏州］若二次函数y=ax2+1 的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x－2)2+1=0 的实数根为( )A. x1=0，x2=4B. x1=－2，x2=6C. x1= ，x2=D. x1=－4，x2=0
二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系
二次函数y=ax2+bx+c 中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab 的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴的交点情况，具体如下表：
收藏夹二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的函数值：当x=1时，y=a+b+c；当x=－1 时，y=ab+c；当x=2 时，y=4a+2b+c.
已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图2-5-3，有下列结论： ① a+b+c<0； ② a－b+c>0； ③ abc>0； ④ b2<4ac；⑤ b=2a. 其中正确的结论有( )A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断.
解：当x=1 时，对应的函数值y<0，即a+b+c<0，故①正确；当x=－1 时，对应的函数值y>0，即a－b+c>0，故②正确；观察图象知抛物线过原点，∴ c=0，∴ abc=0，故③错误；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴ b2－4ac ＞ 0，即b2 ＞ 4ac，故④错误；∵抛物线的对称轴是直线x=－1，∴ － =－1，∴ b=2a，故⑤正确.
3-1. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，有下列说法：① a>0；② b>0；③ c<0； ④ b2－4ac>0.其中正确的有( )A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个
二次函数与一元二次方程
图象与字母系数a，b，c的关系
二次函数图象与x轴的公共点个数
函数值为0时的一元二次方程根的个数