【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练第五章 一元函数的导数及其应用（单元综合测试卷）-练习

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，故，
所以在点处的切线方程为，
即.
故选：C
2．一质点运动的位移方程为，当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以当时，.
故选：C.
3．函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为
D．最小值为0，最大值为2
【答案】B
【解析】，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
4．若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
因为是函数的极值点，
所以，则，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故选：C
5．已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值
B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值
D．的极小值为，无极大值
【答案】C
【解析】的定义域为，，
所以，
求导得，令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．
故选：C．
6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，则函数的定义域是，
又函数在区间上单调递减，
则，得，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：A．
7．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且
若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以，此时易知单调递增，
要满足题意则需.
故选：D
8．设，，其中e为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，当时，，单调递增，
因此，即，
令，则，当时，，单调递减，
因此，即
所以.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递减B．有极小值
C．有2个极值点D．在处取得最大值
【答案】AB
【解析】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确；
又或时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；
当时，，则单调递增，
所以，在处不能取得最大值，故D错误．
故选：AB．
10．如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】BCD
【解析】函数开口向上，对称轴，因为在上是减函数，
所以.
故选：BCD.
11．已知函数，则所有正确的结论是（ ）
A．函数是增函数
B．函数的值域为
C．曲线关于点对称
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】ABC
【解析】对于：函数，
函数在上为增函数，则复合函数在上为增函数，
所以函数是增函数，故A正确；
对于：函数，
函数在上为增函数且，则，
于是，即，
所以，即函数的值域为，故B正确；
对于C：，，
则有，曲线关于点对称，故C正确；
对于D：，其导数，
若，变形可得，
令，则，
因为，所以，又，
于是 ，即关于的一元二次方程无实数根，
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，故D错误.
故选：ABC.
12．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（ ）
A．不可能在定义域内单调递增B．有一个极小值点
C．无极大值点D．无极小值点
【答案】BC
【解析】根据题意由可得，
即，
又可知，其中为常数，
所以，即；
又因为，则；所以，
则，
令，则，
由可得或；
所以时，，当或时，；
因此函数在上单调递减，在和上单调递增，
又，，；
函数的图象如下图所示：
显然函数存在唯一变号零点，且，又恒成立，
所以也存在唯一变号零点，且；
因此可知时，，当时，；
可得函数在上单调递减，在上单调递增，可知A错误；
此时即为函数的一个极小值点，即B正确，D错误；且无极大值点，C正确；
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【解析】由求导得，设切点为，
则切线的斜率为，解得，则切点坐标为，
将代入直线，得，解得，
所以.
故答案为：
14．已知函数，若不等式对于所有恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【解析】，，
，
函数在闭区间上为增函数，
而，
函数在上的最大值为4，
由对于所有，恒成立，
得，即，
解得：或.
实数的取值范围是或.
故答案为：或.
15．知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得的定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立，
即，设，开口向上，对称轴为，
所以当时，单调递增，所以，
所以，则，即.
故答案为：.
16．已知函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则之间的最短距离是 .
【答案】
【解析】函数，直线，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直，
则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离，
由题意可得，．
令，则，解得，
，取点，
点到直线的距离，
则，之间的最短距离是．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设函数
(1)求的极大值点与极小值点及单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
【解析】（1）函数的导数为．
令，解得，．
由，得，即的单调递增区间为，
由，得或，即的单调递减区间为，．
的极大值点，极小值点．
（2）列表
当x变化时，，的变化表为：
当时，，
当时，，
当时，．
∴在区间上的最大值为63，最小值为0.
18．（12分）
已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在上单调递增．
【解析】（1）因为，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由（1）知，，
因为，，
所以，
所以
设，则导函数，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增
19．（12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
【解析】（1）由题意可知，，∴，
又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又，，
所以定义域为.
（2）因为，
所以令，得，令，得，
又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.
20．（12分）
已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则恒成立，
所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减：
所以当时，在处取极大值，无极小值；
（2），
令，得，令，在区间有2个零点，
即与在区间有2个交点，
，，，
当，，在上单增，
当，，在上单减，
，的最大值为，，
与在区间有2个交点，则．
21．（12分）
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时，在恒成立，求的最大值.
【解析】（1）由得，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，所以；
（2）因为在恒成立，所以，
当时，，则，
记，，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，
所以，使得，即，
故在上单调递减，上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，从而，
因为，所以，所以的最大值为0.
22．（12分）
已知函数，且曲线在原点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)讨论在R上的零点个数，并证明.
【解析】（1）由已知可得，.
根据导数的几何意义结合已知可得，，
所以，，.
（2）由（1）可得，，.
①当时，有，
所以恒成立，
所以，在上单调递减，是一个零点；
②当时，，
设，则恒成立，
所以，，即在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可知，，使得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又，所以.
因为，
根据零点存在定理可知，，使得.
综上所述，在R上的零点个数为2.
因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值.
又，
所以，.
因为，
所以，，
所以，，.
x
0
－
0
＋
极小值