寒假作业12 第五章一元函数的导数及其应用 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考）

这是一份寒假作业12 第五章一元函数的导数及其应用 综合提升卷-2021-2022学年高二人教A版（2019）数学（新高考），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．设函数在点处附近有定义，且为常数，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．-1D．
4．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．函数有两个零点，（），则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知的导数为，则必有（ ）
A．B．（）
C．D．（）
10．已知函数的定义域为，其导函数为，对于任意，都有，则使不等式成立的的值可以为（ ）
A．B．1C．2D．3
11．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）为周期函数，且最小正周期为π
B．函数f（x）为奇函数
C．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D．函数有最大值为7
12．已知直线与曲线和分别交于B、C两点，点A的坐标为，则的面积的可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空题
13．函数.的图象在点处的切线的斜率为___________.
14．已知函数在处可导，若，则____________．
15．已知在区间上不单调，则实数的取值范围是__________.
16．已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数在处的切线方程．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间与极小值．
18．已知函数.
（1）若函数的定义域为，求的极值点；
（2）若，，证明：.
19．已知函数在处取得极值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
20．已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数过点处的切线方程.
21．已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
22．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
参考答案
1．A
【分析】
先求出的导函数，再求出的值即可．
【详解】
解：，
.
故选：A．
2．C
【分析】
由导函数的定义可得选项.
【详解】
解：因为为常数，所以，
故选：C.
3．D
【分析】
求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故.
故选：D.
4．B
【分析】
利用导数法求解.
【详解】
因为，
所以，
当时，，
所以函数的单调递减区间为，
故选：B
5．B
【分析】
求出函数的导数，根据函数在上是单调递减函数，由在上恒成立求解.
【详解】
解：，
，
因为函数在上是单调递减函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
，
解得，
所以实数的取值范围是
故选:B．
6．A
【分析】
求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为是的极值点，可得，解得，
所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
由，
又由，所以，
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故选：A.
7．C
【分析】
根据题意设与相切于，进而求得，切线方程为，再数形结合求解即可得答案.
【详解】
解：设与相切于，
所以，即，解得
所以函数在点处的切线方程为，
因为函数函数有两个零点，（），
所以与的图像如图所示，
由上图可知.
故选：C
8．A
【分析】
推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，则，
故，
，
又因为，都有，所以，，
所以，，
，，
因为当时，，，
当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，
因为，则，故.
故选：A.
9．BD
【分析】
求出导数，作差可得出答案.
【详解】
由，得，所以，
当时，，当时，，所以选项BD正确.
故选：BD.
10．CD
【分析】
构造函数，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定正确选项．
【详解】
令，所以，
因为，，所以，所以在上单调递增，
又，可得的解集为.
故选：CD.
11．BCD
【分析】
由判断A错误；由函数的奇偶性判断B选项的正确性；由函数的对称性判断C选项的正确性；根据导数判断D选项的正确性.
【详解】
A，，
，所以不是的周期，A错误.
B，，是奇函数，B正确.
C，
，所以关于对称，C选项正确.
D，，
，，所以D选项正确.
故选：BCD
12．CD
【分析】
根据题意求出的面积关于t的函数式，利用导数研究其最小值即可．
【详解】
由已知可得，，则，
，
令，，，
令，，
在R上单调递增，又，
时，，时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
所以面积的最小值为3．
则的面积的可能为3，4．
故选：CD．
13．
【分析】
根据导数的运算法则进行求导，然后根据导数的几何意义求出结果．
【详解】
因为，所以.
故答案为：.
14．2
【分析】
根据导数与极限的定义求解．
【详解】
，所以
．
故答案为：2．
15．
【分析】
求出函数的导函数，根据在区间上不单调，即函数在上有零点，即方程在上有解，分离参数，从而可得出答案.
【详解】
解：因为函数在区间上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有解，
即在上有解，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】
由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.
【详解】
∵，，使得成立，
∴．
由，得，
当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为．
又在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是．
故答案为：.
17．（1）；（2）在单调递减，在单调递增，的极小值为．
【分析】
（1）根据导数的几何意义，有，又，联立方程组即可求解.
（2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值．
【详解】
解：（1），由已知可得，解得.
（2）由（1）可得，
∴，
令，解得；令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，的极小值为．
18．
（1）和
（2）证明见解析
【分析】
（1）首先求出，令即可求解.
（2）求出，判断是凸函数，即证.
（1）
令，
，或，，
令，则，
解得，
令，则，
解得，


又
故极值点为和，
（2）
时，
故是凸函数，
故，
有
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；
（2）依题意有唯一解，即函数与只有1个交点，由（1）可得函数的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
（1）
解：因为，所以，
在处取得极值，，即解得，
，所以，所以当或时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在上的最小值为.
（2）
解：由（1）知，，
若函数有且只有一个零点，
则方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，函数图象如下所示：
或，得或，
即b的取值范围为.
20．
（1）
（2）或
【分析】
（1）求导，求出切线斜率即可
（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程
（1）
由已知，
则，
故切线方程为，即
（2）
设切点为，
则
切线方程为，
代入点可得，解得或
又，
故切线方程为或
即切线方程为或
21．
（1）答案见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，
（2）要证，只要证，由于时，，当时，令，再利用导数求出其最小值大于零即可
（1）
的定义域为
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）
，，即证：
，即证：
当时，，，
当时，令，则
在上单调递增
在上单调递增
综上所述：，即
22．（1）；（2）证明见详解
【分析】
（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】
（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】
本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.