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26.1 反比例函数 初中数学人教版九年级下册同步精品讲义
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第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数 目标导航 知识精讲 知识点01 反比例函数的概念 1.成反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy=k，或表示为，其中k是不等于零的常数。 2.反比例函数：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 【微点拨】①在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是。故函数图象与x轴、y轴无交点。 ②()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一条件。 ③()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式。 【即学即练1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，， ∴ 故选B 知识点02 确定反比例函数的解析式 1.确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有1个待定系数k，因此只需要知道1对x，y的对应值或图象上的1个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤如下： ①设：设所求的反比例函数为()。 ②代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程。 ③解：解方程求出待定系数k的值。 ④得：把求出的k值代回所设的函数解析式中，得到结果。 【即学即练2】已知y与x成反比例函数，且时，，则该函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义设，利用待定系数法求解． 【详解】解：∵y与x成反比例函数， ∴设， 把代入得， 所以该函数表达式是． 故选：C． 知识点03 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】①若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(-a，-b)也在此函数图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称。 ②在反比例函数(k为常数，)中，因为，且，所以两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不能到达x轴和y轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤 ①列表：自变量的取值应以O为中心，在O的两侧取3对(或3对以上)互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数。 ②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点。 ③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 【微点拨】双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。 3.反比例函数的性质 ①如图①，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。 ②如图②，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。 【微点拨】①反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 ②反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性反映的是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 【即学即练3】已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．其图像经过点 B．其图像分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意； 由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意； ∵时，，且当时y随x的增大而减小 ∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 知识点04 反比例函数()中的比例系数k的几何意义 1.如图，过双曲线()上任意一点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形OAPB的面积为。 2.过双曲线()上任意一点Q作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得Rt△OQC的面积为。 【微点拨】只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的矩形面积始终是不变的。 【即学即练4】如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得出轴、轴，再根据点在反比例函数的图象上利用反比例函数系数的几何意义即可得出矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形， 轴，轴， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：C． 能力拓展 考法01 反比例函数与几何的综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系内，正方形的顶点A，B在第二象限内，且点A，B在反比例函数的图象上，点C在第三象限内．其中，点A的纵坐标为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于E，过点B作轴，交于F，证明得到，根据图象上点的坐标特征得出，即可得到∴，则，解得即可． 【详解】解：过点A作轴于E，过点B作轴，交于F， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得（正数舍去）， ∴ 故选B． 考法02 反比例函数与一次函数的综合 【典例2】如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得，再根据角的对称性得出，由勾股定理求出，设，利用四边形是正方形，列方程求出的值，确定点坐标，进而求出的值． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，作交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， 平分，，， ， 四边形是正方形， 又平分，，， ， 在中， ， 由对称可得，，， 设，则，， ，， ， 解得， 即， 点， ， 故选：B． 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列函数中，是的反比例函数的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数据此分析即可． 【详解】根据反比例函数的定义可得： ①；②；③；是反比例函数， ④；⑤；⑥不是反比例函数， 故选：B． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，点不满足关系式，因此A选项不符合题意； B、； 它的图象在第二、四象限，因此选项不符合题意； C、； 它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此C选项不符合题意； D、； 它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此D选项符合题意． 故选：D． 3．已知反比例函数的图象上有一点，则下列各点中一定在此反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入即可求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有一点， ， A、，∴点不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意； B、，∴点在此反比例函数图象上，故此选项符合题意； C、，∴点不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意； D、，∴点不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 5．已知点，，在反比例函数的图像上，则y1 ，y2的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可； 【详解】解：函数的图像在二、四象限； 当时，随的增大而增大； ∵ ∴ 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，一次函数y = 6x与反比例函数y=（0）的图象交于A（），B（）两点，则的值是 _____． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】由一次函数y =6x与反比例函数y=（0）的图象和性质可知，其交点A（），B（）两点关于原点对称， ∴， 故答案为：0． 7．反比例函数的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，如果，那么________． 【答案】 【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得△AOB的面积为矩形面积的一半，即 ． 【详解】设，由可知 ， 所以 而点A在第二象限， 则， 因为点A是函数图象上的一点， 所以， 则 故答案为：． 8．如图，点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，，则 ________． 【答案】4 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，然后将代入即可求得，最后求和即可． 【详解】解：∵点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为．求反比例函数的解析式，并确定点的坐标． 【答案】， 【分析】先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再根据对称性求出点B的坐标即可． 【详解】解：对于函数，当时，， ∵正比例函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由对称性可知点B的坐标为 ． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设点 是反比例函数图象上的两个点，若，试比较与的大小； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)6 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分，三种情况讨论得解； （3）设一次函数与y轴的交点为D，利用即可得解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数解析式：， 将点代入， 得， 解得， ∴， 将A，B点坐标代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数解析式：； （2）∵， ， ∴图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， 若， 分三种情况： ①， ②， ③； （3）设一次函数与y轴的交点为D，则D点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为6． 题组B 能力提升练 1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、当时，， 此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意； B、， 此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； C、， 当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； D、当时，， 当时，，故本选项错误，符合题意， 故选:D． 2．在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可． 【详解】解：A、中，，则当时，y随x的增大而增大， 即当时，必有， 此时，故本选项不成立； B、∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， ∴当时，当时，必有， 此时，故本选项不成立； C、∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∴当时，当时，必有， 此时，故本选项成立； D、∵中，， ∴y随x的增大而增大，即当时，必有， 此时，故本选项不成立； 故选：C． 3．如图，点B为反比例函数（）上的一点，点为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可证得，得出再得出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点， ∴点， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．若将双曲线向下平移3个单位后，交抛物线于点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出平移后的函数的解析式，由两个函数交于点可得出关于a的方程，利用方程的根的正负关系可得出结论． 【详解】解：双曲线向下平移3个单位后的函数为， ∵交抛物线于点， ∴，整理得，， 令，且y随a的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，， ∴若，则a的取值范围为：． 故选：B． 5．如图，已知点A是函数与的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且，则的面积为（ ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先求出A点坐标，再由求出B点的坐标，再由即可求得． 【详解】解：点A是函数与的图象在第一象限内的交点， 可得 解得 ，故点A的坐标为， ， ， ， 则． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离的值为______． 【答案】 【分析】根据矩形性质得出，，即可得出点的坐标，则矩形平移后的坐标是，的坐标是，得出，求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，平行于轴，且，，点的坐标为， ，， ，， 矩形平移后的坐标是，的坐标是， 、落在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 7．如图，矩形的面积为8，反比例函数的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数的解析式是______． 【答案】 【分析】作轴，轴，根据矩形的性质得矩形的面积=矩形的面积=，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可得到． 【详解】解：如图，作轴，轴． ∵点P为矩形对角线的交点， ∴矩形的面积=矩形的面积=， ∴， 而， ∴， ∴过P点的反比例函数的解析式为． 故答案为：． 8．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰Rt△OAB的顶点B在第一象限，直角边OA在y轴上，点P是边AB上的一个三等分点，过点P的反比例函数的图象交斜边OB于点Q，△AOQ的面积为3，则k的值为_______． 【答案】或 【分析】过点作轴于点，根据等腰三角形的性质可设点、点，则点为或，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合的面积为3，即可求出的值，进而即可得出值． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形，轴， 为等腰直角三角形， 设点，点，其中，则点为或． 点、在反比例函数的图象上， 或， 或． 又， 或， 或． 故答案为：或． 9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若M是x轴上一点，，求点M的坐标． (3)当时，根据图像直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)点M的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数解析式求出点的坐标，运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设直线交x轴于点P，根据一次函数解析式得出点的坐标，然后根据求出的面积，则的面积可得，设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解即可； （3）根据函数图像可得结果． 【详解】（1）解：把点代入 得：，， ∴， ∴， 设一次函数的表达式为， 则：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）设直线交x轴于点P， 令，即， ∴， ∴， ∴, ∴， 设点的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为或； （3）由图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像的上方， ∴当时，． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交与、B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P点坐标及面积的最小值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）先将代入一次函数解析式，求出，再求出反比例函数解析式，联立两个解析式求出点B的坐标； （2）将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小，即可得解． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立一次函数和反比例函数解析式得： ， 整理得：， 解得：或， 当时，， ∴； （2）解：由题意得：将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小， 设直线平移后的直线的解析式为：， 联立一次函数和反比例函数解析式得： ， 整理得：， 则：， 解得：， 当时，，解得：（不符合题意，舍掉）； 当时，，解得：； 当时，， ∴， 如图：过作轴，轴，过作轴，与交于点，过作轴，与交于点，与交于点， 则：， ． 题组C 培优拔尖练 1．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为 ，由“倒数点”的定义，得点B坐标为 ，分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况讨论：点B在ED上，由ED//x轴，得，解出 ，得点B的纵坐标为1，此时 ；点B在DC上，得点B横坐标为3，即 ，求出点B纵坐标为： ，此时 ． 【详解】设点A坐标为， ∵B是点A的“倒数点” ∴点B坐标为， ∵点B的纵坐标满足 ， ∴点B在某个反比例函数上， ∴点B不可能在OE，OC上， 分两种情况讨论： 点B在ED上，由ED//x轴， ∴点B点A的纵坐标相等，即， ∴ ∴B的纵坐标为1， 此时 ； 点B在DC上，得点B横坐标为3，即， ∴点B纵坐标为：， ∴ ． 故选：D． 2．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可． 【详解】 过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F， 设点A（m，n）， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴， ∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点， ∴DF=，即点D的纵坐标为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴D（2m，）， 设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b， 将A（m，n），D（2m，）代入得：， 解得：， ∴AD所在的直线函数表达式为：， 当y=0时，解得x=3m， ∴C（3m，0）， ∴OA=OC=3m， 在Rt△OAE中，AE=， ∵菱形的面积为， ∴OC×AE=，解得：m=， ∴AE=， ∴A（，2）， 故选：A 3．如图，中，点在第一象限，且，，反比例函数图像经过点，反比例函数图像经过点，且点的纵坐标为2，则的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图:作轴于，轴于，则直线与直线交于点,在确定点B的坐标，进而确定BE、OE的长，再证明得到、，则可确定A点坐标，然后将A点坐标代入求出k，最后再根据函数图像所在的象限解答即可． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，则直线与直线交于点， 反比例函数图像经过点，点的纵坐标为2， 点， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， 反比例函数图像经过点， ， 解得， 反比例函数图像在第一象限， ， ． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD证明△DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（a，4a），利用S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF−S△OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求． 【详解】解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H， ∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD， ∴AG⊥x轴． ∵AO⊥AD， ∴∠DAE＋∠OAG＝90°， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE＋∠D＝90°． ∴∠D＝∠OAG， 在△DAE和△AOG中，， ∴△DAE≌△AOG（AAS）， ∴DE＝AG，AE＝OG， ∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE， ∴AD＝CD＝DE， 设DE＝4a，则AD＝OA＝5a， ∴OG＝AE＝＝3a， ∴EG＝AE＋AG＝7a， ∴E（3a，7a）， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴k＝21a2， ∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG， ∴四边形AGHF为矩形， ∴HF＝AG＝4a， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴x＝， ∴F（，4a）， ∴OH＝，FH＝4a， ∴GH＝OH−OG＝， ∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF−S△OFH，S△EOF＝， ∴OG•EG＋（EG＋FH）•GH－OH•HF＝， ∴×21a2＋ (7a＋4a)×－×21a2＝， 解得：a2＝， ∴k＝21a2＝21×＝． 故选：A． 5．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，……，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则______． 【答案】2 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， … 由上可知， …，3个为一组依次循环， ∵， ∴， 故答案为：2 7．如图，点、在反比例函数的图像上，连接、，以、为边作平行四边形．若点恰好落在反比例函数的图像上，则______． 【答案】 【分析】如图所示，过点B作轴于B，过点C作轴于E，连接，设点C的坐标为，点B的坐标为，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出点A的坐标为，再根据点A在反比例函数上，推出，根据求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于B，过点C作轴于E，连接， 设点C的坐标为，点B的坐标为， ∴中点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与的中点坐标相同， ∴点A的坐标为， 又∵点A在反比例函数上， ∴， ∴， ∴（正值不合题意已舍）， ∴ ， ∴， 故答案为： 8．如图，点为y轴上一点，，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．过y轴上另一点作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．若，求m与n的数量关系是_____________________． 【答案】或 【分析】设关于的对称点为，当时，时，，根据反比例函数关系式和可得：，，易得，可得，当时，同理可得，则，，将代入得，即，所以． 【详解】解：设关于的对称点为，当时，时，如图， ， 在上，则， ， ， 将代入得， 即， ， 当时，如图， 同理可得， 在上，则， AN＝2BN， ， 将代入得， 即， ． 故答案为：或． 9．如图，在反比例函数（x＞0）的图像上，有点，，，，…，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，则+++…+＝___________________．（用n的代数式表示） 【答案】 【分析】过点、点作y轴的垂线段，垂足分别是点A、B，过点作x轴的垂线段，垂足是点C，交于点D，所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形的面积，即可得到答案． 【详解】如图，过点、点作y轴的垂线段，垂足分别是点A、B，过点作x轴的垂线段，垂足是点C，交于点D， 根据点，，，，…，均在反比例函数（x＞0）的图像上，且横坐标依次为 1，2，3，4，…n． 则点的坐标为（n+1,）， 则OB=， ∵点P1的横坐标为1， ∴点P1的纵坐标为2，， ∴AB=AO-BO=2-， ∴， 故答案为：． 10．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边， ，且轴． (1)若点C在反比例函数（）的图象上，求该反比例函数的解析式； (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，取的中点M，将线段沿着y轴上下移动，线段的对应线段是，直接写出四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）如图1中，作轴于．首先证明四边形是矩形，利用反比例函数的几何意义解决问题即可． （2）如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，．求出的坐标，证明四边形是菱形即可． （3）作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为，求得，，，代入即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作轴于． 轴，轴， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，． 是等边三角形，面积为，设，则， ， 或（舍弃）， ，，， N点纵坐标为1， 代入可得， ， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， 存在点N，使四边形是菱形，此时． （3）解：如图，作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵C关于y轴对称点， ∴， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴四边形周长的最小值为． 11．定义：对于函数图像上任意一点（，），当满足（m、n为正实数）时，函数图像上都存在唯一的点（，），其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”． (1)判断函数在时是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数（）在时是“依赖函数”，求k的值； (3)已知函数（）在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数t都成立，求实数s的取值范围． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题干中“依赖函数”的定义求解即可； （2）根据一次函数的性质及“依赖函数”的定义得出一元二次方程求解即可； （3）根据二次函数的性质及“依赖函数”定义得出a＞4，再由二次函数的性质及不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：时，， 若，则，此时，不在3≤x≤4，内， 所以函数在时不是“依赖函数”. （2）当k＞0时，函数y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而增大； k＜0时，y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而减小， 当x=1时，y=k+2，当x=5时，y=5k+2， ∴当时，函数y=kx+2在1≤x≤5时为“依赖函数”， ， 解得， 又k≠0， ∴. （3）若， 函数在时最小值为0，此时不存在； ∴a＞4， 此时函数在时y随x的增大而减少， ∵函数在时为“依赖函数”， ∴， 解得 a=2（舍去）或a=5； ∴a=5， ∵存在x在时，使得对于任意实数t的不等式成立,即对于任意实数t都成立， ∴恒成立， 化简可得， ∵， ∴在时恒成立， ∴只要9即可， 解得． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积； (3)以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数解析式即可得到答案； （2）如图所示，过点C作轴于E交于F，根据中点坐标公式求出点C的纵坐标，进而求出点C的坐标和点F的坐标，再由进行求解即可； （3）如图所示，过点A作轴于H，连接，证明，得到，求出点E的坐标为，同理可得点F的坐标为，求出直线的解析式为；证明，设， 利用勾股定理得到，推出则，求出，利用勾股定理得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴对于函数，当时，，解得， ∴， ∴点A的坐标为， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于E交于F， ∵， ∴A为的中点， ∵点D在x轴上，点A的坐标为， ∴点C的纵坐标为6， ∴点C的横坐标为， ∴点C的坐标为， ∴点F的坐标为， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作轴于H，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点E的坐标为， ∵直线与y轴交于B， ∴点B的坐标为， 同理可得点F的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，M是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∵G在上（不包括B、F）， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，，都有，则称A、两点互为“友好点”．已知点． (1)若、、，则点A的“友好点”是 ； (2)若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”．请求出点的坐标； (3)已知抛物线，，，为常数）．顶点为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点．若满足①抛物线过点；②为等边三角形；③、两点互为“友好点”．求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)202 【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论； （2）利用待定系数法求得值，利用互为“友好点”的定义列出关于的方程，解方程求得值即可得出结论； （3）利用待定系数法求得值，利用为等边三角形得到，将抛物线与直线联立得到，设，，，，利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用、两点互为“友好点”，得到，整理得到，将此式子代入中即可得出值，将，值代入运算即可得出结论 【详解】（1）解：， 点A与点不是互为“友好点”； ， 点A与点是互为“友好点”； ， 点A与点不是互为“友好点”， 综上，点A的“友好点”是点， 故答案为：； （2）在双曲线上， ． ． 、两点互为“友好点”， ， 解得：或． 或； （3）抛物线过点， ， ． 抛物线与轴交于A、两点， ． 抛物线的顶点为点， ，． 则中边上的高为． 为等边三角形， ， ， ， ． 抛物线与直线交于、两点， ， ． 设，，，， 则，是方程的两个根， ． 、两点互为“友好点”， ， ， ． ． ． ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接． (1)求直线的表达式． (2)求的值． (3)如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数（）于点．在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2) (3)存在，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝−（x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论； （2）把B（−1，−3）代入y＝得y＝，解方程组得到D（−4，−），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论； （3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论． 【详解】（1）反比例函数经过点， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为； （2）， ， ， 解得，或不合题意舍去， ， 如图，过作于， ，， ； （3）存在，理由如下， 当四边形是平行四边形时，如图， ， ， ， 把代入得，， ； 当四边形是平行四边形时，如图， ， ， ， 把代入得，， ， 综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 课程标准课标解读1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k ≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。 1.掌握反比例函数的定义，能够求出反比例函数的解析式。 2.理解和掌握反比例函数的图像和性质，理解反比例函数系数的几何意义。
第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数 目标导航 知识精讲 知识点01 反比例函数的概念 1.成反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy=k，或表示为，其中k是不等于零的常数。 2.反比例函数：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 【微点拨】①在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是。故函数图象与x轴、y轴无交点。 ②()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一条件。 ③()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式。 【即学即练1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，， ∴ 故选B 知识点02 确定反比例函数的解析式 1.确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有1个待定系数k，因此只需要知道1对x，y的对应值或图象上的1个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤如下： ①设：设所求的反比例函数为()。 ②代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程。 ③解：解方程求出待定系数k的值。 ④得：把求出的k值代回所设的函数解析式中，得到结果。 【即学即练2】已知y与x成反比例函数，且时，，则该函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义设，利用待定系数法求解． 【详解】解：∵y与x成反比例函数， ∴设， 把代入得， 所以该函数表达式是． 故选：C． 知识点03 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】①若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(-a，-b)也在此函数图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称。 ②在反比例函数(k为常数，)中，因为，且，所以两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不能到达x轴和y轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤 ①列表：自变量的取值应以O为中心，在O的两侧取3对(或3对以上)互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数。 ②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点。 ③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 【微点拨】双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。 3.反比例函数的性质 ①如图①，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。 ②如图②，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。 【微点拨】①反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 ②反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性反映的是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 【即学即练3】已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．其图像经过点 B．其图像分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意； 由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意； ∵时，，且当时y随x的增大而减小 ∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 知识点04 反比例函数()中的比例系数k的几何意义 1.如图，过双曲线()上任意一点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形OAPB的面积为。 2.过双曲线()上任意一点Q作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得Rt△OQC的面积为。 【微点拨】只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的矩形面积始终是不变的。 【即学即练4】如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得出轴、轴，再根据点在反比例函数的图象上利用反比例函数系数的几何意义即可得出矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形， 轴，轴， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：C． 能力拓展 考法01 反比例函数与几何的综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系内，正方形的顶点A，B在第二象限内，且点A，B在反比例函数的图象上，点C在第三象限内．其中，点A的纵坐标为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于E，过点B作轴，交于F，证明得到，根据图象上点的坐标特征得出，即可得到∴，则，解得即可． 【详解】解：过点A作轴于E，过点B作轴，交于F， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得（正数舍去）， ∴ 故选B． 考法02 反比例函数与一次函数的综合 【典例2】如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得，再根据角的对称性得出，由勾股定理求出，设，利用四边形是正方形，列方程求出的值，确定点坐标，进而求出的值． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，作交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， 平分，，， ， 四边形是正方形， 又平分，，， ， 在中， ， 由对称可得，，， 设，则，， ，， ， 解得， 即， 点， ， 故选：B． 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列函数中，是的反比例函数的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数据此分析即可． 【详解】根据反比例函数的定义可得： ①；②；③；是反比例函数， ④；⑤；⑥不是反比例函数， 故选：B． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，点不满足关系式，因此A选项不符合题意； B、； 它的图象在第二、四象限，因此选项不符合题意； C、； 它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此C选项不符合题意； D、； 它的图象在第二、四象限，当时，随的增大而增大，因此D选项符合题意． 故选：D． 3．已知反比例函数的图象上有一点，则下列各点中一定在此反比例函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入即可求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有一点， ， A、，∴点不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意； B、，∴点在此反比例函数图象上，故此选项符合题意； C、，∴点不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意； D、，∴点不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 5．已知点，，在反比例函数的图像上，则y1 ，y2的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可； 【详解】解：函数的图像在二、四象限； 当时，随的增大而增大； ∵ ∴ 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，一次函数y = 6x与反比例函数y=（0）的图象交于A（），B（）两点，则的值是 _____． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】由一次函数y =6x与反比例函数y=（0）的图象和性质可知，其交点A（），B（）两点关于原点对称， ∴， 故答案为：0． 7．反比例函数的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，如果，那么________． 【答案】 【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得△AOB的面积为矩形面积的一半，即 ． 【详解】设，由可知 ， 所以 而点A在第二象限， 则， 因为点A是函数图象上的一点， 所以， 则 故答案为：． 8．如图，点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，，则 ________． 【答案】4 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，然后将代入即可求得，最后求和即可． 【详解】解：∵点A、B是反比例图像上任意两点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为．求反比例函数的解析式，并确定点的坐标． 【答案】， 【分析】先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再根据对称性求出点B的坐标即可． 【详解】解：对于函数，当时，， ∵正比例函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由对称性可知点B的坐标为 ． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设点 是反比例函数图象上的两个点，若，试比较与的大小； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)6 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分，三种情况讨论得解； （3）设一次函数与y轴的交点为D，利用即可得解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数解析式：， 将点代入， 得， 解得， ∴， 将A，B点坐标代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数解析式：； （2）∵， ， ∴图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， 若， 分三种情况： ①， ②， ③； （3）设一次函数与y轴的交点为D，则D点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为6． 题组B 能力提升练 1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、当时，， 此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意； B、， 此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； C、， 当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； D、当时，， 当时，，故本选项错误，符合题意， 故选:D． 2．在下列函数图象上任取不同的两点，一定能使的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可． 【详解】解：A、中，，则当时，y随x的增大而增大， 即当时，必有， 此时，故本选项不成立； B、∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， ∴当时，当时，必有， 此时，故本选项不成立； C、∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∴当时，当时，必有， 此时，故本选项成立； D、∵中，， ∴y随x的增大而增大，即当时，必有， 此时，故本选项不成立； 故选：C． 3．如图，点B为反比例函数（）上的一点，点为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转90°；点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且C点的横坐标是A点横坐标的两倍，则k＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可证得，得出再得出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最后根据，建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点， ∴点， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．若将双曲线向下平移3个单位后，交抛物线于点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出平移后的函数的解析式，由两个函数交于点可得出关于a的方程，利用方程的根的正负关系可得出结论． 【详解】解：双曲线向下平移3个单位后的函数为， ∵交抛物线于点， ∴，整理得，， 令，且y随a的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，， ∴若，则a的取值范围为：． 故选：B． 5．如图，已知点A是函数与的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且，则的面积为（ ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先求出A点坐标，再由求出B点的坐标，再由即可求得． 【详解】解：点A是函数与的图象在第一象限内的交点， 可得 解得 ，故点A的坐标为， ， ， ， 则． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离的值为______． 【答案】 【分析】根据矩形性质得出，，即可得出点的坐标，则矩形平移后的坐标是，的坐标是，得出，求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，平行于轴，且，，点的坐标为， ，， ，， 矩形平移后的坐标是，的坐标是， 、落在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 7．如图，矩形的面积为8，反比例函数的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数的解析式是______． 【答案】 【分析】作轴，轴，根据矩形的性质得矩形的面积=矩形的面积=，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可得到． 【详解】解：如图，作轴，轴． ∵点P为矩形对角线的交点， ∴矩形的面积=矩形的面积=， ∴， 而， ∴， ∴过P点的反比例函数的解析式为． 故答案为：． 8．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰Rt△OAB的顶点B在第一象限，直角边OA在y轴上，点P是边AB上的一个三等分点，过点P的反比例函数的图象交斜边OB于点Q，△AOQ的面积为3，则k的值为_______． 【答案】或 【分析】过点作轴于点，根据等腰三角形的性质可设点、点，则点为或，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合的面积为3，即可求出的值，进而即可得出值． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形，轴， 为等腰直角三角形， 设点，点，其中，则点为或． 点、在反比例函数的图象上， 或， 或． 又， 或， 或． 故答案为：或． 9．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若M是x轴上一点，，求点M的坐标． (3)当时，根据图像直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)点M的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据反比例函数解析式求出点的坐标，运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设直线交x轴于点P，根据一次函数解析式得出点的坐标，然后根据求出的面积，则的面积可得，设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解即可； （3）根据函数图像可得结果． 【详解】（1）解：把点代入 得：，， ∴， ∴， 设一次函数的表达式为， 则：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）设直线交x轴于点P， 令，即， ∴， ∴， ∴, ∴， 设点的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为或； （3）由图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像的上方， ∴当时，． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交与、B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P点坐标及面积的最小值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）先将代入一次函数解析式，求出，再求出反比例函数解析式，联立两个解析式求出点B的坐标； （2）将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小，即可得解． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立一次函数和反比例函数解析式得： ， 整理得：， 解得：或， 当时，， ∴； （2）解：由题意得：将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小， 设直线平移后的直线的解析式为：， 联立一次函数和反比例函数解析式得： ， 整理得：， 则：， 解得：， 当时，，解得：（不符合题意，舍掉）； 当时，，解得：； 当时，， ∴， 如图：过作轴，轴，过作轴，与交于点，过作轴，与交于点，与交于点， 则：， ． 题组C 培优拔尖练 1．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图像与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为 ，由“倒数点”的定义，得点B坐标为 ，分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况讨论：点B在ED上，由ED//x轴，得，解出 ，得点B的纵坐标为1，此时 ；点B在DC上，得点B横坐标为3，即 ，求出点B纵坐标为： ，此时 ． 【详解】设点A坐标为， ∵B是点A的“倒数点” ∴点B坐标为， ∵点B的纵坐标满足 ， ∴点B在某个反比例函数上， ∴点B不可能在OE，OC上， 分两种情况讨论： 点B在ED上，由ED//x轴， ∴点B点A的纵坐标相等，即， ∴ ∴B的纵坐标为1， 此时 ； 点B在DC上，得点B横坐标为3，即， ∴点B纵坐标为：， ∴ ． 故选：D． 2．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可． 【详解】 过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F， 设点A（m，n）， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴， ∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点， ∴DF=，即点D的纵坐标为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴D（2m，）， 设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b， 将A（m，n），D（2m，）代入得：， 解得：， ∴AD所在的直线函数表达式为：， 当y=0时，解得x=3m， ∴C（3m，0）， ∴OA=OC=3m， 在Rt△OAE中，AE=， ∵菱形的面积为， ∴OC×AE=，解得：m=， ∴AE=， ∴A（，2）， 故选：A 3．如图，中，点在第一象限，且，，反比例函数图像经过点，反比例函数图像经过点，且点的纵坐标为2，则的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图:作轴于，轴于，则直线与直线交于点,在确定点B的坐标，进而确定BE、OE的长，再证明得到、，则可确定A点坐标，然后将A点坐标代入求出k，最后再根据函数图像所在的象限解答即可． 【详解】解：如图，作轴于，轴于，则直线与直线交于点， 反比例函数图像经过点，点的纵坐标为2， 点， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， 反比例函数图像经过点， ， 解得， 反比例函数图像在第一象限， ， ． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD证明△DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（a，4a），利用S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF−S△OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求． 【详解】解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H， ∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD， ∴AG⊥x轴． ∵AO⊥AD， ∴∠DAE＋∠OAG＝90°， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE＋∠D＝90°． ∴∠D＝∠OAG， 在△DAE和△AOG中，， ∴△DAE≌△AOG（AAS）， ∴DE＝AG，AE＝OG， ∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE， ∴AD＝CD＝DE， 设DE＝4a，则AD＝OA＝5a， ∴OG＝AE＝＝3a， ∴EG＝AE＋AG＝7a， ∴E（3a，7a）， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴k＝21a2， ∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG， ∴四边形AGHF为矩形， ∴HF＝AG＝4a， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴x＝， ∴F（，4a）， ∴OH＝，FH＝4a， ∴GH＝OH−OG＝， ∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF−S△OFH，S△EOF＝， ∴OG•EG＋（EG＋FH）•GH－OH•HF＝， ∴×21a2＋ (7a＋4a)×－×21a2＝， 解得：a2＝， ∴k＝21a2＝21×＝． 故选：A． 5．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，……，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则______． 【答案】2 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， … 由上可知， …，3个为一组依次循环， ∵， ∴， 故答案为：2 7．如图，点、在反比例函数的图像上，连接、，以、为边作平行四边形．若点恰好落在反比例函数的图像上，则______． 【答案】 【分析】如图所示，过点B作轴于B，过点C作轴于E，连接，设点C的坐标为，点B的坐标为，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出点A的坐标为，再根据点A在反比例函数上，推出，根据求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于B，过点C作轴于E，连接， 设点C的坐标为，点B的坐标为， ∴中点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与的中点坐标相同， ∴点A的坐标为， 又∵点A在反比例函数上， ∴， ∴， ∴（正值不合题意已舍）， ∴ ， ∴， 故答案为： 8．如图，点为y轴上一点，，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数的图象交于点P．把直线l下方反比例函数的图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“G图象”．过y轴上另一点作y轴垂线，与“G图象”交于点A、B．若，求m与n的数量关系是_____________________． 【答案】或 【分析】设关于的对称点为，当时，时，，根据反比例函数关系式和可得：，，易得，可得，当时，同理可得，则，，将代入得，即，所以． 【详解】解：设关于的对称点为，当时，时，如图， ， 在上，则， ， ， 将代入得， 即， ， 当时，如图， 同理可得， 在上，则， AN＝2BN， ， 将代入得， 即， ． 故答案为：或． 9．如图，在反比例函数（x＞0）的图像上，有点，，，，…，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，则+++…+＝___________________．（用n的代数式表示） 【答案】 【分析】过点、点作y轴的垂线段，垂足分别是点A、B，过点作x轴的垂线段，垂足是点C，交于点D，所有的阴影部分平移到左边，阴影部分的面积之和就等于矩形的面积，即可得到答案． 【详解】如图，过点、点作y轴的垂线段，垂足分别是点A、B，过点作x轴的垂线段，垂足是点C，交于点D， 根据点，，，，…，均在反比例函数（x＞0）的图像上，且横坐标依次为 1，2，3，4，…n． 则点的坐标为（n+1,）， 则OB=， ∵点P1的横坐标为1， ∴点P1的纵坐标为2，， ∴AB=AO-BO=2-， ∴， 故答案为：． 10．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边， ，且轴． (1)若点C在反比例函数（）的图象上，求该反比例函数的解析式； (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，取的中点M，将线段沿着y轴上下移动，线段的对应线段是，直接写出四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）如图1中，作轴于．首先证明四边形是矩形，利用反比例函数的几何意义解决问题即可． （2）如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，．求出的坐标，证明四边形是菱形即可． （3）作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为，求得，，，代入即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作轴于． 轴，轴， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，． 是等边三角形，面积为，设，则， ， 或（舍弃）， ，，， N点纵坐标为1， 代入可得， ， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， 存在点N，使四边形是菱形，此时． （3）解：如图，作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵C关于y轴对称点， ∴， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴四边形周长的最小值为． 11．定义：对于函数图像上任意一点（，），当满足（m、n为正实数）时，函数图像上都存在唯一的点（，），其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”． (1)判断函数在时是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数（）在时是“依赖函数”，求k的值； (3)已知函数（）在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数t都成立，求实数s的取值范围． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题干中“依赖函数”的定义求解即可； （2）根据一次函数的性质及“依赖函数”的定义得出一元二次方程求解即可； （3）根据二次函数的性质及“依赖函数”定义得出a＞4，再由二次函数的性质及不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：时，， 若，则，此时，不在3≤x≤4，内， 所以函数在时不是“依赖函数”. （2）当k＞0时，函数y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而增大； k＜0时，y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而减小， 当x=1时，y=k+2，当x=5时，y=5k+2， ∴当时，函数y=kx+2在1≤x≤5时为“依赖函数”， ， 解得， 又k≠0， ∴. （3）若， 函数在时最小值为0，此时不存在； ∴a＞4， 此时函数在时y随x的增大而减少， ∵函数在时为“依赖函数”， ∴， 解得 a=2（舍去）或a=5； ∴a=5， ∵存在x在时，使得对于任意实数t的不等式成立,即对于任意实数t都成立， ∴恒成立， 化简可得， ∵， ∴在时恒成立， ∴只要9即可， 解得． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积； (3)以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数解析式即可得到答案； （2）如图所示，过点C作轴于E交于F，根据中点坐标公式求出点C的纵坐标，进而求出点C的坐标和点F的坐标，再由进行求解即可； （3）如图所示，过点A作轴于H，连接，证明，得到，求出点E的坐标为，同理可得点F的坐标为，求出直线的解析式为；证明，设， 利用勾股定理得到，推出则，求出，利用勾股定理得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴对于函数，当时，，解得， ∴， ∴点A的坐标为， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于E交于F， ∵， ∴A为的中点， ∵点D在x轴上，点A的坐标为， ∴点C的纵坐标为6， ∴点C的横坐标为， ∴点C的坐标为， ∴点F的坐标为， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作轴于H，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点E的坐标为， ∵直线与y轴交于B， ∴点B的坐标为， 同理可得点F的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，M是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∵G在上（不包括B、F）， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，，都有，则称A、两点互为“友好点”．已知点． (1)若、、，则点A的“友好点”是 ； (2)若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”．请求出点的坐标； (3)已知抛物线，，，为常数）．顶点为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点．若满足①抛物线过点；②为等边三角形；③、两点互为“友好点”．求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)202 【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论； （2）利用待定系数法求得值，利用互为“友好点”的定义列出关于的方程，解方程求得值即可得出结论； （3）利用待定系数法求得值，利用为等边三角形得到，将抛物线与直线联立得到，设，，，，利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用、两点互为“友好点”，得到，整理得到，将此式子代入中即可得出值，将，值代入运算即可得出结论 【详解】（1）解：， 点A与点不是互为“友好点”； ， 点A与点是互为“友好点”； ， 点A与点不是互为“友好点”， 综上，点A的“友好点”是点， 故答案为：； （2）在双曲线上， ． ． 、两点互为“友好点”， ， 解得：或． 或； （3）抛物线过点， ， ． 抛物线与轴交于A、两点， ． 抛物线的顶点为点， ，． 则中边上的高为． 为等边三角形， ， ， ， ． 抛物线与直线交于、两点， ， ． 设，，，， 则，是方程的两个根， ． 、两点互为“友好点”， ， ， ． ． ． ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，四边形为菱形，反比例函数（）经过点，反比例函数经过点，且交边于点，连接． (1)求直线的表达式． (2)求的值． (3)如图，是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，交反比例函数（）于点．在点运动过程中，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2) (3)存在，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝−（x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论； （2）把B（−1，−3）代入y＝得y＝，解方程组得到D（−4，−），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论； （3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论． 【详解】（1）反比例函数经过点， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为； （2）， ， ， 解得，或不合题意舍去， ， 如图，过作于， ，， ； （3）存在，理由如下， 当四边形是平行四边形时，如图， ， ， ， 把代入得，， ； 当四边形是平行四边形时，如图， ， ， ， 把代入得，， ， 综上所述，当点的坐标为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 课程标准课标解读1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k ≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。 1.掌握反比例函数的定义，能够求出反比例函数的解析式。 2.理解和掌握反比例函数的图像和性质，理解反比例函数系数的几何意义。
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