2023-2024学年广东省肇庆市封开县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市封开县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是分式的是( )
A. 23B. a+3b2C. 2xyπD. 3n+2m
2.下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是( )
A. 5，1，3B. 2，4，2C. 3，3，7D. 2，3，4
3.下列图标中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5B. a2⋅a3=a6C. a3÷a=a2D. (a3)2=a5
6.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=37°，∠C′=23°，则∠B=( )
A. 60°
B. 100°
C. 120°
D. 135°
7.下列分式中，最简分式是( )
A. 9b6aB. a+ba2−b2C. a−ba2−b2D. a+ba2+b2
8.如图，成都某公园有一个假山林立的池塘．A、B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽AB，小明想出了这样一个办法：先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再过点D作BF的垂线DE，交AC的延长线于E.线段ED的长即为A、B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是( )
A. SASB. ASAC. SSSD. HL
9.如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为2v，所用时间为t；第二阶段的平均速度为v，所用时间为12t，则小明在爬这一小山的平均速度为( )
A. 32vB. 3vC. 52vD. 53v
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：a2−14=______；
12.已知分式x−2x，当x= ______ 时，分式的值为0．
13.如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出(此时∠1=∠2)，若测得∠DCF=100°，则∠A=______．
14.如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为16，BC=5，则AB= ______ ．
15.如图，△ABC中，AB=AC=DC，D在BC上，且AD=DB，则∠BAC= ．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.解分式方程：xx−1−2x+1=1．
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)化简：(x+2)2+x(x−4)．
(2)计算：13x+1+3x3x+1．
18.(本小题7分)
如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.求证：BC/​/EF．
19.(本小题9分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C点在格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点C′的坐标；
(2)求△ABC的面积．
20.(本小题9分)
先化简，再求值：x−1x÷(2x−1+x2x)，其中x=3．
21.(本小题9分)
某校为了创建书香校园，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的单价少20元，用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等．
(1)文学书和科普书的单价分别是多少元？
(2)该校计划用不超过5000元的费用购进一批文学书和科普书，问购进60本文学书后最多还能购进多少本科普书？
22.(本小题12分)
数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系.现用砖块相同的面(如材料图，长为a，宽为b的小长方形)拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．

(1)求图1中空白部分的面积S1(用含ab的代数式表示)．
(2)图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为16、62，求ab值．
(3)图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：
①S3−(2a2+3b2).
②S3−2a2−b2+2ab．
23.(本小题12分)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF/​/AC，交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A．23是整式，故此选项不合题意；
B.a+3b2是整式，故此选项不合题意；
C.2xyπ是整式，故此选项不合题意；
D.3n+2m是分式，故此选项符合题意．
故选：D．
分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
此题主要考查了分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、3+1<5，不能构成三角形，故A错误；
B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；
C、3+3<7，不能构成三角形，故C错误；
D、2+3>4，能构成三角形，故D正确，
故选：D．
看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3.【答案】B
【解析】解：A、图标不属于轴对称图形，不符合题意；
B、图标属于轴对称图形，符合题意；
C、图标不属于轴对称图形，不符合题意；
D、图标不属于轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4.【答案】B
【解析】解：360°÷40°=9．
故选：B．
正多边形的每一个外角都相等，利用多边形的外角和为360°求解．
此题主要考查了多边形的外角和定理，比较基础，准确把握外角和定理是做题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项不合题意；
C、应为a3÷a=a3−1=a2，故本选项符合题意；
D、应为(a3)2=a3×2=a6，故本选项不合题意．
故选：C．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
6.【答案】C
【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
根据全等三角形的性质得出∠C=∠C′=23°，再根据三角形的内角和定理求出即可．
解：∵△ABC≌△A′B′C′，∠C′=23°，
∴∠C=∠C′=23°．
∵∠A=37°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−37°−23°=120°．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：A．9b6a=3b2a，故原式不是最简分式，不合题意；
B.原式=a+b(a+b)(a−b)=1a−b，故原式不是最简分式，不合题意；
C.原式=a−b(a+b)(a−b)=1a+b，故原式不是最简分式，不合题意；
D.a+ba2+b2，是最简分式，符合题意；
故选：D．
直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分式一个分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可．
此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDCBC=CD∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC(ASA)．
故选：B．
根据ASA可判定三角形全等．
本题考查了全等三角形的应用；在测量长度或者角度问题中，如果不能直接到达，可以构造全等三角形，利用对应边(角)相等，来解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，AB=AC，BC=6，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD=3，
故选：B．
根据等腰三角形的性质即可得到答案．
本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可得：(2vt+12vt)÷(t+12t)=52vt÷32t=53v.
故选：D．
直接利用总路程÷总运动时间=平均速度，进而得出答案．
此题主要考查了整式的除法，正确掌握整式的除法运算法则是解题关键．
11.【答案】(a+12)(a−12)
【解析】解：a2−14=(a+12)(a−12).
故答案为：(a+12)(a−12).
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵x−2=0且x≠0，
∴x=2．
故答案为：2．
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
13.【答案】50°
【解析】解：∵DE/​/AF，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠A，
∵∠DCF=∠A+∠1=2∠A=100°，
∴∠A=50°，
故答案为：50°．
由平行线的性质可得∠1=∠2=∠A，由外角的性质可求解．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
14.【答案】11
【解析】解：由已知得，BC+BE+CE=16，
∵BC=5，
∴BE+CE=11，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴AE+CE=11，
即AC=11，
∵AB=AC，
∴AB=11．
故答案为：11．
根据已知能求出BE+CE的值，根据线段垂直平分线求出AE=BE，求出AC即可．
本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是根据题意求出BE=AE和求出AC的长，通过做此题培养了学生运用线段的垂直平分线定理进行推理的能力，题目较好，难度适中．
15.【答案】108°
【解析】【分析】
先设∠B=x，由AB=AC可知，∠C=x，由AD=DB可知∠B=∠DAB=x，由三角形外角的性质可知∠ADC=∠B+∠DAB=2x，根据DC=CA可知∠ADC=∠CAD=2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．
本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．
【解答】
解：设∠B=x，
因为AB=AC，
所以∠C=∠B=x，
因为AD=DB，
所以∠B=∠DAB=x，
所以∠ADC=∠B+∠DAB=2x，
因为DC=CA，
所以∠ADC=∠CAD=2x，
在△ABC中，x+x+2x+x=180°，
解得x=36°．
所以∠BAC=∠CAD+∠DAB=2x+x=108°．
故答案为：108°．
16.【答案】解：去分母得x(x+1)−2(x−1)=(x−1)(x+1)
去括号得，x2+x−2x+2=x2−1，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：(1)原式=x2+4x+4+x2−4x
=2x2+4；
(2)原式=3x+13x+1
=1．
【解析】(1)利用完全平方公式及单项式乘多项式法则计算即可；
(2)利用分式的加法法则计算即可．
本题考查整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ACB和△DFE中
AB=DE∠A=∠DAC=DF,
∴△ACB≌△DFE(ASA)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC/​/EF．
【解析】根据已知条件得出△ACB≌△DFE，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC/​/EF．
本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求：
(2)△ABC的面积=2×3−12×(1×2+1×2+1×3)=2.5．
【解析】(1)根据网格找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，进而得到点A′，B′，C′的坐标；
(2)利用三角形所在的矩形的面积减去三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x−1x÷2x2−x2+1x
=x−1x÷x2−1x
=x−1x÷(x−1)(x+1)x
=x−1x⋅x(x−1)(x+1)
=1x+1，
当x=3时，原式=1x+1=13+1=14．
【解析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21.【答案】解：(1)设文学书的单价为x元/本，
则科普书的单价为(x+20)元/本，
依题意，得：800x=1200x+20，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+20=60．
答：文学书的单价为40元/本，科普书的单价为60元/本．
(2)设购进m本科普书，
依题意，得：40×60+60m≤5000，
解得：m≤4313．
∵m为整数，
∴m的最大值为43．
答：购进60本文学书后最多还能购进43本科普书．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设文学书的单价为x元/本，则科普书的单价为(x+20)元/本，根据数量=总价÷单价，结合用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进m本科普书，根据总价=文学书的单价×购进本数+科普书的单价×购进本数，结合总价不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
22.【答案】解：(1)S1=(a+b)2−3ab
=a2+b2−ab；
(2)S1=(a+b)2−3ab=a2+b2−ab=16①，
S2=(2a+b)(a+2b)−5ab=2a2+2b2=62②，
∴②−①×2得：ab=15；
(3)由图形得：S3=(3a+b)(a+2b)−7ab=3a2+2b2，
①S3−(2a2+3b2)
=3a2+2b2−2a2−3b2
=a2−2b2
=(a+ 2b)(a− 2b)；
②S3−2a2−b2+2ab
=3a2+2b2−2a2−b2+2ab
=a2+b2+2ab
=(a+b)2．
【解析】(1)S1等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
(2)先用a，b表示S1、S2，再整体求解；
(3)①先用a，b表示S3，再分解因式；
②先用a，b表示S3，再分解因式．
本题考查了因式分解的应用以及完全平方公式的几何背景，数形结合思想是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，
∵BF/​/AC，
∴∠ABF=∠CAB=45°，
∴∠DBE=∠FBE，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠FEB=90°，
∵BE=BE，
∴△DBE≌△FBE(AAS)，
∴BD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD=FB，
∵∠CBF=90°=∠ACB，AC=BC，
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴AD=CF；
(2)解：△ACF是等腰三角形
∵BD=BF，∠ABD=∠ABF，AB=AB，
∴△ABD≌△ABF，
∴AF=AD，
∵AD=CF，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形．
．
【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质及平行线的性质证明△DBE≌△FBE，推出BD=BF，得到CD=FB，再证明△ACD≌△CBF，即可推出结论；
(2)△ACF是等腰三角形．证明△ABD≌△ABF，推出AF=AD，即可得到结论．
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟记全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．