【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第15讲 平面直角坐标系规律题-【专题突破】（解析版）

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第15讲 平面直角坐标系规律题 【类题训练】 1．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（4，0），F（﹣4，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以4个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2） 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体甲是物体乙的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【解答】解：由题意知：矩形的边长为8和4， ①第一次相遇物体甲与物体乙运动的时间为（2+4+4+2）÷（4+2）＝2（秒）， ∴第一次相遇地点的坐标是（﹣2，2）； ②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为（8×2+4×2）÷（4+2）＝4（秒）， ∴第二次相遇地点的坐标是（4，0）； ③第三次相遇地点的坐标是（﹣2，﹣2）； ④第四次相遇地点的坐标是（﹣2，2）； … 则每相遇三次，为一个循环， ∵2022÷3＝674， 故两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标为：（﹣2，﹣2）， 故答案为：B． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个点按如下规律排列：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）……，则第50个点的坐标为（　　） A．（7，6） B．（8，8） C．（9，6） D．（10，5） 【分析】设横坐标为n的点的个数为an，横坐标≤n的点的个数为Sn（n为正整数），结合图形找出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝n”，再罗列出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律“Sn＝”，依次变化规律解不等式100≤即可得出结论． 【解答】解：设横坐标为n的点的个数为an，横坐标≤n的点的个数为Sn（n为正整数）， 观察，发现规律：a1＝1，a2＝2，a3＝3，…， ∴an＝n． S1＝a1＝1，S2＝a1+a2＝3，S3＝a1+a2+a3＝6，…， ∴Sn＝1+2+…+n＝． 当50≤Sn，即50≤， 解得：n≤﹣（舍去），或n≥． ∵9＜＜10， 则第50个点的横坐标为10． 故选：D． 3．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　） A．（0，3） B．（5，0） C．（1，4） D．（8，3） 【分析】动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2019除以6得到336，且余数为3，说明点P第2022次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，因此点P的坐标为（0，3）． 【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 解：如图，第6次反弹时回到出发点， ∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环， ∵2022÷6＝337， ∴点P第2022次碰到矩形的边时是第336个循环组的第6次碰边， 坐标为（0，3）． 故选：A． 4．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第30次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（30，1） B．（30，0） C．（30，2） D．（31，0） 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第30次运动后，动点P的坐标． 【解答】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点（1，1）， 第2次接着运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次接着运动到点（4，0）， 第5次接着运动到点（5，1）， … 按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环， 因为30÷4＝7……2， 所以经过第30次运动后， 动点P的坐标是（30，0）． 故选：B． 5．如图，动点P从坐标原点（0，0）出发，以每秒一个单位长度的速度 按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2），……则第2022秒点P所在位置的坐标是（　　） A．（44，2） B．（44，3） C．（45，3） D．（45，2） 【分析】分析点P在坐标系中的运动路线，寻找点P运动至x轴或y轴时的点坐标的规律． 【解答】解：根据题意列出P的坐标寻找规律． P1（1，0）； P8（2，0）； P9（3，0）； P24（4，0）； P48（6，0）； 即P2n（2n+2）坐标为（2n，0）． P2024（44，0）． ∴P2022坐标为P2024（44，0）退回两个单位→（44，1）→（44，2）． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（　　） A．（﹣1012，﹣） B．（﹣1011，） C．（﹣1011，﹣） D．（﹣1012，﹣） 【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果． 【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现， ∵2022÷4＝505……2， ∴点C2022在第二象限， ∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，）， 点C6的坐标为（﹣3，）， 点C10的坐标为（﹣5，）， …… ∴点∁n的坐标为（﹣，）， ∴当n＝2022时，﹣＝﹣＝﹣1011，＝＝， ∴点C2022的坐标为（﹣1011，）， 故选：B． 7．如图，已知A1（1，2）A2（2，2）A3（3，0）A4（4，﹣2）A5（5，﹣2）A6（6，0）……，按这样的规律，则点A2021的坐标为（　　） A．（2021，2） B．（2020，2） C．（2021，﹣2） D．2020，﹣2） 【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标． 【解答】解：观察发现，每6个点形成一个循环， ∵A6（6，0）， ∴OA6＝6， ∵2021÷6＝336…5， ∴点A2021的位于第337个循环组的第5个， ∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2， ∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）． 故选：C． 8．如图，正方形的边长依次为2，4，6，8，……，他们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1（1，1），A2（﹣1，1），A3（﹣1．﹣1），A1（1，﹣1），A5（2．，2），A6（﹣2，2），A7（﹣2，﹣2），A8（2．﹣2），A9（3，3），A10（﹣3，3），……，按此规律接下去，则A2016的坐标为（　　） A．（﹣504，﹣504） B．（504，﹣504） C．（﹣504，504） D．（504，504） 【分析】由正方形的中心都是位于原点，边长依次为2，4，6，8，…，可得第n个正方形的顶点横坐标与纵坐标的绝对值都是n．计算2016÷4，根据商和余数知道是第几个正方形的顶点，且在哪一个象限，进而得出A2016的坐标． 【解答】解：∵2016÷4＝504， ∴顶点A2016是第504个正方形的顶点，且在第二象限， 横坐标是﹣504，纵坐标是504， ∴A2016（﹣504，504）， 故选：C． 9．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第一次移动到A1，第二次移动到A2，…，第n次移动到An，则A2022的坐标是（　　） A．（2022，0） B．（1011，1） C．（1011，0） D．（2022，1） 【分析】根据图象可得移动4次完成一个循环，从而可得出点A2022的坐标． 【解答】解：A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），…， 2022÷4＝505……2， 所以A2022的坐标为（505×2+1，1）， 则A2021的坐标是（1011，1）． 故选：B． 10．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 　 　． 【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）． 【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1， ∴D1（1，2）， ∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5…… ∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……， 观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2）， ∵2022＝4×505+2， ∴D2022（﹣2023，2022）； 故答案为：（﹣2023，2022）． 11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 　 　，第55个点的坐标为 　 　． 【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55， ∴第10个点在第4列自下而上第4行， 所以奇数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，）； 偶数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，1﹣）， 由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行． 代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5）， 故答案为：（4，2），（10，5）． 12．如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D，C，P，H在x轴上，A（1，2），B（﹣1，2），D（﹣3，0），E（﹣3，﹣2），G（3，﹣2）． （1）若点M在线段EG上，当点M与点A的距离最小时，点M的坐标为 　 　； （2）把一条长为2022个单位长度且无弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按AB→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标为 　 　． 【分析】（1）根据“垂线段最短”可确定点M的坐标； （2）先计算出该图形的周长是20，再由2022÷20的计算结果确定此题结果． 【解答】解：（1）由垂线段最短可得， 当AM⊥EG时点M与点A的距离最小， 由题意得此时M的坐标为（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）由题意得，此图形的周长为： 2×[3﹣（﹣3）+2﹣（﹣2）] ＝2×（6+4） ＝2×10 ＝20， ∵2022÷20＝101……2， ∴细线的另一端在点B的位置， 即另一端所在位置的点的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 13．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的规律第13次运动到点的坐标 　 　；经过第2022次运动后，动点P的坐标 　 　． 【分析】由题意可得点P的运动按4次一周期的规律循环出现，再根据计算2022÷4＝5…2可得此题结果． 【解答】解：由题意可得，点P第n次运动后的横坐标为n，纵坐标按1，0，2，0，1，…4次一周期的规律循环出现， ∵13÷4＝3•••1，2022÷4＝5…2， ∴第13次运动到点的坐标（13，1）；经过第2022次运动后，动点P的坐标是（2022，0）， 故答案为：（13，1），（2022，0）． 14．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第22个点的坐标为 　 　． 【分析】观察图形，可知：每列的个数成等差数列，由等差数列的求和公式可得出第22个点为第7列的由上往下第1个，可求出第22个点的坐标（此处纵坐标为6﹣1）． 【解答】解：观察图形，可知：每列的个数成等差数列． ∵1+2+3+4+5+6＝21， ∴第22个点为第7列从上往下的第1个． ∴第22个点的坐标为（7，6）． 故答案为：（7，6）． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，且OA1＝1，以点A1为直角顶点，逆时针方向作Rt△A1OA2，使A1A2＝OA1；再以点A2为直角顶点，逆时针方向作Rt△A2OA3，使A2A3＝OA2；再以点A3为直角顶点，逆时针方向作Rt△A3OA4，使A3A4＝OA3；依次进行作下去，则点A2022的坐标为 　 　． 【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系． 【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍， ∵2022＝252×8+6， 根据规律OAn＝（）n﹣1， ∴OA2022＝（）2021， ∴点A2022的在第三象限的角平分线上， ∴点A2022的横坐标为：﹣（）2021÷＝﹣（）2020＝﹣21010， 点A2022的纵坐标为：﹣（）2021÷＝﹣（）2020＝﹣21010 ∴点A2022的坐标为（﹣21010，﹣21010）， 故答案为：（﹣21010，﹣21010）． 16．在平面直角坐标系中，﹣蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：A4（ 　 　，　 　），A8（ 　 　，　 　）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）A4n（ 　 　，　 　）； （3）求出A2022的坐标． 【分析】根据题意可直接找出点的坐标规律，A4n（ 2n，0），A4n+1（ 2n，1），A4n+2（ 2n+1，1），A4n+3（ 2n+1，0），根据规律直接求出A4（ 2，0），A8（ 4，0），A4n（ 2n，0）A2022（ 1012，1）． 【解答】解：观察图形可知，A1（ 0，1），A2（ 1，1），A3（ 1，0），A4（ 2，0），A5（ 2，1），A6（ 3，1），...，A4n（ 2n，0），A4n+1（ 2n，1），A4n+2（ 2n+1，1），A4n+3（ 2n+1，0）， （1）根据题意，可直接读出A4（ 2，0），A8（ 4，0）， 故答案为：2，0，4，0； （2）根据点的坐标规律可知，A4n（ 2n，0）， 故答案为：2n，0； （3）∵2022＝4×505+2， ∴A2022（ 1011，1）． 17．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分．例如：[1.3]＝1，{﹣2.6}＝0.4． （1）[]＝　 　，{﹣}＝　 　； （2）在平面直角坐标系中，有一序列点P1（[1]，{1}），P2（[]，{}），P3（[]，{}），P4（[2]，{2}），P5（[]，{}），… 请根据这个规律解决下列问题： ①点P10的坐标是 　 　； ②横坐标为10的点共有 　 　个； ③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有 　 　个，并求出这些点的横坐标之和． 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）①根据题意找出点Pn的坐标为Pn（[]，{}），然后再求出点P10的坐标即可； ②根据[]＝10，可推出100≤n＜121，再找出其中的整数即可； ③将前几个点的坐标求出，找出规律：当n的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，再根据44＜＜45进行求解即可． 【解答】解：（1）∵1＜2＜4， ∴1＜＜2， ∴[]＝1， ∵﹣4＜﹣3＜﹣1， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴{﹣}＝﹣﹣（﹣2）＝2﹣， 故答案为：1，2﹣； （2）∵P1（[1]，{1}），P2（[]，{}），P3（[]，{}），P4（[2]，{2}），P5（[]，{}），… ∴可发现点Pn的坐标为Pn（[]，{}）， ①根据规律可知，点P10的坐标为（[]，{}）， ∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴[]＝3，{}＝﹣3， ∴点P10的坐标是（3，﹣3）， 故答案为：（3，﹣3）； ②∵点Pn的坐标为Pn（[]，{}）， ∴当[]＝10时，100≤n＜121，其中的整数共21个， 故答案为：21； ③根据题意可得，P1（1，0），P2（1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（2，0），P5（2，﹣2），P6（2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2﹣2），P9（3，0），P10（3，﹣3），… 可以发现，当n的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等， ∵44＜＜45， ∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为1+2+3+...+44＝990， ∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990， 故答案为：44． 18．在平面直角坐标系中，乙蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动一个单位，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：A4（　 　）；A8（　 　）；A12（　 　） （2）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 【分析】（1）观察图形可知，A4，A8、A12都在x轴上，求出OA4、OA8、OA12的长度，然后写出坐标即可； （2）根据100是4的倍数，可知从点A100到A101的移动方向与从点O到A1的方向一致． 【解答】解：（1）由图可知，A4，A8、A12都在x轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4＝2，OA8＝4，OA12＝6， ∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0） （2））∵100÷4＝25， ∴100是4的倍数， ∴从点A100到A101的移动方向与从点O到A1的方向一致，为↑． 故答案为：2，0；4，0； 6，0． 19．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为　 　，B4的坐标为　 　． （2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为　 　，Bn的坐标为　 　； （3）△OAnBn的面积为　 　． 【分析】（1）根据题目中的信息可以发现A1、A2、A3各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3，故可求得A4的坐标；B1、B2、B3各点的坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都为0，从而可求得点B4的坐标． （2）根据（1）中发现的规律可以求得An、Bn点的坐标； （3）依据An、Bn点的坐标，利用三角形面积计算公式，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）． ∴A4的横坐标为：24＝16，纵坐标为：3． 故点A4的坐标为：（16，3）． 又∵B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）． ∴B4的横坐标为：25＝32，纵坐标为：0． 故点B4的坐标为：（32，0）． 故答案为：（16，3），（32，0）． （2）由A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3． 故An的坐标为：（2n，3）． 由B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0． 故Bn的坐标为：（2n+1，0）； 故答案为：（2n，3），（2n+1，0）； （3）∵An的坐标为：（2n，3），Bn的坐标为：（2n+1，0）， ∴△OAnBn的面积为×2n+1×3＝3×2n．