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【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲专题2.5 特殊三角形（二）（勾股定理与直角三角形及其全等的判定 十大题型）重难点题型（解析版）
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这是一份【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲专题2.5 特殊三角形（二）（勾股定理与直角三角形及其全等的判定 十大题型）重难点题型（解析版），共55页。
专题2.5 特殊三角形（二）（勾股定理与直角三角形及其全等的判定 十大题型）重难点题型 注意：该部分包含2.6节---2.8节的重难点题型 题型1.勾股树与面积问题再探究 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题. 1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，，∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 2．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可． 【详解】解：在图①中，正方形的边长为4，∴等腰直角三角形①的直角边长为： ∴等腰直角三角形①的面积= 在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是 故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2 ∴ 如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为 ∴= = = = 由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n，故选A． 【点睛】此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和． 3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是，，，则正方形D的面积是______． 【答案】15 【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可知， ∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1， ∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49． ∴正方形D的面积=49-8-12-14=15（cm2）； 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积． 4．（2022·浙江省初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ） 图1 图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解． 【解析】如图2： 设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c−b，DG＝c−a， 则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c−b）（c−a）＝2， ∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32− ，∴S＝c2−c（a＋b）＋ab＝c2−8c＋32−＝2， 解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 5．（2021·浙江省八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 【答案】12 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则， 观察图形可得：，即， ∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键． 6．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可． 【详解】解：如图1， 在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得： ∵为等边三角形，∴高为∴ ∵为等边三角形，∴高为∴ ∴即：解得： 在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键． 题型2.赵爽弦图相关问题 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题. 1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______． 【答案】16 【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【详解】解：由题意作出如下图， 得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34， △ADC面积＝（5×3−2×3）＝，阴影部分的面积S＝34−4×＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解． 2．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 【答案】 ## ## 【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解． 【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， ，， ，，，，，， 四边形是正方形，，， ， ，，，，，， ．故答案为：，． 【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题的关键． 3．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A．19 B．44 C．52 D．76 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长． 【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点， 得，∴， ∵，∴这个风车的外围周长，故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长． 4．（2021·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3， ∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2， S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF， ∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键． 5．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4． (1)当AC＝6，BC＝8时，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值； (2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值为9 (2)S4＝S1+S2+S3，理由见解析 【分析】（1）①直接根据勾股定理可得AD的长，由此可得答案； ②利用勾股定理得AE=BE=5，CF=BF=4，设S△BEG=S5，则S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案； （2）设S△BEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案． (1)①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6， ∴AD=CD=3，∴S1=×3×3=9； ②设AE与BC交于点G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10， ∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形， ∴AE=BE=5，CF=BF=4， 设S△BEG=S5，∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=×5×5-×4×4=9； (2)设S△BEG=S5，如图， ∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB， ∴S△ADC=AC2，S△BFC=BC2，S△ABE=AB2， ∵AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=AB2， ∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，∴AB2-BC2=S4-S2-S3， ∴AC2=S4-S2-S3，∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3，∴S4＝S1+S2+S3． 【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三 角形的面积公式进行灵活的综合和利用． 6．（2022·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误. 【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2， 由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长， ∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确； 根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab， 4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确； 由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误， 由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键． 题型3.勾股定理的应用-梯子滑动问题 解题技巧:梯子滑动问题解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 注意：梯子长度为不变量。 主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。 1．（2022·江苏八年级月考）如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由． 【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案； （2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图， 由题意得，，∴∴即顶端距地面有24米 （2）她的说法不正确；由题意得，，， ∴，∴，∴， ∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用． 2．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 【答案】2.2米 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，米，米， ．在△中，，米，， ，，，米，米， 答：小巷的宽度为2.2米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 3．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴，故答案为：=； （2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中，， ∵，∴在RtΔCFB中，， 由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 4．（2022·福建·龙岩二中八年级期中）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；(2)此时使用不安全 【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可． 【解析】(1)解：由题意可知在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即， ∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m； (2)解：如图所示，，则在中，，， ∴由勾股定理可得，， ∴可得，∴此时使用不安全． ． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键． 5．（2022·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽． 【答案】（1）2.5米；（2）2.7米 【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB 的长度， （2）由（1）知梯子AB 的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案. 【详解】（1）在中，∵，米，米， ∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米 （2）在中，∵，米，， ∴，∴． ∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 6．（2022·新疆·乌鲁木齐市八年级期中）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长为15米（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米． (1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度． 【答案】(1)风筝的高度为21.7米 (2)的长度为9米 【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可； （2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长． 【解析】(1)在中，由勾股定理，得：（米）， 所以（米）， 答：风筝的高度为21.7米． (2)由等积法知：，解得：（米）． 在中，（米）， 答：的长度为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确． 题型4.勾股定理的应用-风吹草动和折竹抵地问题 解题技巧:风吹莲动问题解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 折竹抵地问题解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。 主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。 1．（2021·江苏九年级二模）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________． 【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2． 【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键． 2．（2021·广西八年级期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺． 【答案】12 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺， 因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2， 解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：12 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键． 3．（2021·湖北八年级期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_____m． 【答案】17 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出． 【详解】解：设旗杆高度为，则，，， 在中，，即， 解得：，即旗杆的高度为17米．故答案是：17． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 4．（2021·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺； ∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=尺， ∴可列方程为：，故答案为：． 【点睛】本题属于数学文化题，考查勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可． 5．（2021·安徽八年级期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺) 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 【答案】尺 【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为： x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的绳索长为尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 6．（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 【答案】3米 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（）米， ∴在Rt△CBA中，有， 即：，解得：，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 题型5.勾股定理的应用-台风（噪音）和爆破问题 解题技巧:台风（噪音）、爆破问题解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 注意：通常会用到垂线段最短的原理。 主要题型：常见题型有爆破、台风（爆破）等题型。 1．（2022·山西八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 2．（2022·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s 【答案】8 【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键． 3．（2022·全国九年级专题练习）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟； 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m）， ∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m）， ∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟）， 即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答. 4．（2022·江苏八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有 小时． 【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED＝＝70（km）∴EF＝140km ∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． 5．（2022·山西省运城市八年级阶段练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题． 【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km）， 则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点， 如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时）， ∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型6.勾股定理的应用-位置问题（航行和信号塔） 解题技巧:航行问题解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 信号塔、中转站题型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长； 2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。 1．（2022·湖北省崇阳县八年级期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_______． 【答案】西北方向 【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）． ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°， 即“海天”号沿西北方向航行故答案为：西北方向． 【点睛】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形． 2．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？ 【答案】能，村庄总共能听到8分钟的宣传． 【分析】根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论． 【详解】解：村庄能否听到宣传， 理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传； 如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶到Q点结束对村庄的影响， 则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米）， ∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传． 【点睛】此题主要考查勾股定理在实际问题中的应用，在实际问题中找出相应的直角三角形是解题关键． 3．（2021·广东·佛山市九年级阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上． （1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里） 【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析． 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°， ∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE设AE＝x海里，则AC=2x海里， 在Rt△AEC中，海里，∴海里， ∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里． ∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75° 过点D作DF⊥AC于点F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC 设AF＝y，则AD＝2y， ∴， ∵海里 ∴y＋y＝200，解得：，∴海里； （2）由（1）得 ∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． 【点睛】本题考查的勾股定理的应用−航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 4．（2021·成都八年级期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E点应建在距A站10千米处． 【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． 【详解】解：设AE＝xkm， ∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2， 由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处． 【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可． 5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？ 【答案】走私艇最早在10时41分进入我国领海． 【分析】先判断出△ABC是直角三角形，再用面积相等计算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理计算出CD，算出走私艇行驶的时间，即可求出进入我国领海的时刻． 【详解】∵ ，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°． 又BD⊥AC，∴,∴, 在Rt△BCD中，由勾股定理得：． ∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海． 【点睛】本题是与航海有关的实际应用题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，用面积相等计算直角三角形斜边上的高是常用的方法． 6．（2021·湖北八年级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄河边原有两个取水点其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可． 【详解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2， ∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB， 由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路； (2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x-0.9)2+1.22， 解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米． 【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 题型7. 勾股定理及逆定理的相关计算 1．（2021·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长． 【答案】（1）15；（2） 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则AE=12-x，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【详解】解：（1）在中，∵，，，∴． （2）∵垂直平分，∴，设，则， 在中，∵，∴，解得．∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（2021·安徽八年级期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）2.8． 【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长． 【详解】解：（1）如图所示，连接BE， ∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE， 又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°； （2）Rt△BDE中，∴AE＝10， 设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝ Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．（2021·苏州高新区第五初级中学校九年级月考）如图，在中，，是的平分线，于点E．（1）求证：；（2）若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可证明△ACD≌△AED，即可解题； （2）由（1）结论可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的长，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAE， 在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）； （2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10， ∵△ACD≌△AED，∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，∴BE=AB-AE=4， ∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE， 设DE=CD=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴DE=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△AED是解题的关键． 4．（2021·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可； （2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可． 【详解】解：（1）△BDC是直角三角形， 理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm， ∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形； （2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2， 即（15﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，∴AB＝AC＝（cm）， ∵BC＝17cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键． 5．（2022·江苏）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．（1）求的长．（2）求的长． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的定义求出AD； （2）连接BE，用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．根据勾股定理得：AB=＝10， ∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝AB＝5； （2）连接BE， ∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8−x， ∴在Rt中， 62＋x2＝（8−x）2，解得：x＝，∴AE＝8−＝， 在Rt中，DE＝． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 题型8. 网格中的勾股定理 解题技巧：网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。 1．（2022·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴，∴，故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2022·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为． （1）求四边形的面积；（2）证明：． 【答案】（1）12；（2）见解析 【分析】（1）采用割补法进行解答即可；（2）如图：连接AC，运用勾股定理逆定理即可证明． 【详解】解：（1）由题意得四边形ABCD的面积为：； (2)证明：如图：连接AC ． 【点睛】本题主要考查了运用割补法求不规则图形的面积、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解答本题的关键． 3．（2022·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点 （1）AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． （2）∠ABC＝ ° （3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示） 【答案】（1）（2）（3）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理分别计算出，即可求解； （2）根据（1）中的计算结果，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理找到满足∠APC=90°的格点P即可求解． 【解析】解：（1） 故答案为：． （2） ∴∠ABC=90°． 故答案为： （3）如上图所示： 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．（2022·天津滨海新·八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，都在格点上． （1）线段的长为______； （2）请用无刻度的直尺，在网格中画出点，使与面积相等，且．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________________________． 【答案】 过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D． 【分析】（1）根据勾股定理可求线段AC的长； （2）过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D即为所求． 【详解】解： 故答案为： （2）如图所示，点D即为所求， 作法：如图，找到格点,过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D．则点D即为所求 证明：如图， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ， 与面积相等． 故答案为：过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2022·安徽六安·八年级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题．(1)线段AB的长为______；(2)若三角形ABC是直角三角形，且边BC的长度为5，请在图中确定点C的位置，并补全三角形ABC． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）根据A、B、C三点均在网格点上，即可判断出三角形的斜边为BC，据此画图即可． (1)解：利用勾股定理有：，故答案为：； (2)当AC为斜边时，，即， ∵30无法表示成两个整数的平方和，∴此时无法满足C点在网格点上，故舍去； 当BC为斜边时，， 即，此时C点可在网格点上，作图如下： 【点睛】本题考查了网格图和勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 6．（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积； （3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可； （2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积； （3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积． 【详解】（1）的面积， 所以，的面积为5； （2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长， 作图如下： 的面积； （3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长， 格点三角形OPQ如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型9 .勾股数与直角三角形的判定 解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2 1．（2021·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数． 我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，… 根据规律写出第⑥个等式为 ______________． 【答案】132＋842＝852 【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式． 【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1， ∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2， ∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4， ∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2， ∴第⑥个等式为132＋842＝852，故答案为：132＋842＝852. 【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律. 2．（2021·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___． 【答案】5,12或84,85． 【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可． 【详解】当n=1时，得， 当a=13时，得=13，即，解得m=， ∵m是正整数，∴m=舍去； 当b=13时，即m=13，得a==84，c==85； 当c=13时，得=13，即，解得m=， ∵m是正整数，∴m= -5舍去，∴m= 5, ∴a==12，∴b= 5,故答案为：5,12或84,85． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键． 3．（2021·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析 【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值； （2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案； （3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【详解】解：（1）由图表可以得出： ∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1， n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1， ∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；故答案为：14，48，50； （2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1； （3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题． 4．（2021·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解： ． （2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证． 【答案】（1）或；（2）验证见解析． 【分析】（1）根据勾股数即可得出答案；（2）先分别求出、、，进而求出=，即可得出结论． 【解析】解：（1）当，时，， 当，时，， 方程的两组正整数解为或，故答案为或； （2）以已知的，，为三边的三角形为直角三角形， 理由：∵，，，， ， 以，，为三边的三角形为直角三角形，其中，为直角边，为斜边． 【点睛】此题主要考查了勾股数，勾股定理的逆定理，掌握熟练运用完全平方公式计算是解本题的关键． 5．（2022·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数 定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数． 一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数． 数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数． 通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题： （1）表中可以用，的代数式表示为_____________． （2）若，，则勾股数为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示) 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…， ∴，故答案为：； （2）当，时，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20， ∴勾股数为，故答案为：； （3）根据题意，得， ∴，解得． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 6．（2022·北京四中初二期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值： 平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积． 【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24． 【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8． （2）如图所示： 在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝． 【点睛】本题考查勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键． 题型10. 直角三角形全等的判定（HL） 1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点，，，AE平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】过E点作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质得到EF=EB，则可判断≌,所以AB=AF，∠AEB=∠AEF，由于EC=EB=EF，则可判断≌,所以DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，于是可对②进行判断；利用∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF可对①进行判断；利用DE>EC，EC=BE可对③进行判断；利用AF=AB，DF=DC可对④进行判断． 【详解】解：过E点作EF⊥AD于F，如图， ∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF=EB， 在和中，，∴≌(HL)， ∴AB=AF，∠AEB=∠AEF，∴∠AEB=∠AEF=∠BEF， ∵点E是BC的中点，∴EC=EB，∴EC=EF， 在和中，，∴≌(HL)， ∴DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴∠DEC=∠DEF=∠CEF，， ∵∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF=(∠BEF+∠CEF) =90°，∴∠AED=90°，所以①正确； ∵DE>EC，而EC=BE，∴DE>BE，所以③错误； ∵AF=AB，DF=DC，∴AD=AF+DF=AB+CD，所以④正确．故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是如何添加辅助线，构造全等三角形． 2．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等． 【答案】5或10##10或5 【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果． 【详解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°， 分两种情况：①当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； ②当AP=CA=10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）； 综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论． 3．（2022·江苏镇江·八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线，另一张纸片压住射线且与第一张纸片交于点，若，则__． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，然后由长方形纸片完全相同得到，再用定理证明，进而得到，进而可得到的大小． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，则， 两张长方形纸片完全相同，， 在和中，∵， ∴，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，折叠的性质．解题的关键在于证明三角形全等． 4．（2022·全国·七年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则（1）如图，若为钝角，求证：；（2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证Rt△ABF≌Rt△CDF，再证△AOB≌△COD即可证明BO=DO （2）证法和（1）相同，不过注意AE+EF=EF+CF变成AE-EF=EF-CF． 【详解】（1）∵AE=CF∴AE+EF=EF+CF ∴AF=EC∴在Rt△ABF和Rt△CDF中 ∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C ∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO （2） ∵AE=CF∴AE-EF=EF-CF∴AF=EC ∴在Rt△ABF和Rt△CDF中∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C ∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO 【点睛】本题考查直角三角形HL定理的判定、全等三角形的判定（AAS），在通过全等确定其对应边相等，掌握全等判定方法是本题解题关键． 5．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，． （1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论． （2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由． （3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（1）理由如下： ∵，，∴ 在和中 ∴，∴ ∵，∴， ∴，∴； （2）成立，理由如下：∵，，∴， 在和中， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴； （3）成立，理由如下：∵，，∴ 在和中， ∴，∴， ∵，∴， 在中，，∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 6．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． (1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； (2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。 ∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60° 【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用． n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485abcabc345435512m681072425p15179n41102426116061123537………………
专题2.5 特殊三角形（二）（勾股定理与直角三角形及其全等的判定 十大题型）重难点题型 注意：该部分包含2.6节---2.8节的重难点题型 题型1.勾股树与面积问题再探究 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理，结合正方形、三角形、半圆的面积公式即可解决问题. 1．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示． ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，，∴． 观察，发现规律：，，，S，…， ∴．当时，，故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 2．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可． 【详解】解：在图①中，正方形的边长为4，∴等腰直角三角形①的直角边长为： ∴等腰直角三角形①的面积= 在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是 故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2 ∴ 如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为 ∴= = = = 由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n，故选A． 【点睛】此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和． 3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是，，，则正方形D的面积是______． 【答案】15 【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可知， ∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49， S正方形C+S正方形D=S正方形2， S正方形A+S正方形B=S正方形1， ∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49． ∴正方形D的面积=49-8-12-14=15（cm2）； 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积． 4．（2022·浙江省初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ） 图1 图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解． 【解析】如图2： 设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c−b，DG＝c−a， 则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c−b）（c−a）＝2， ∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32− ，∴S＝c2−c（a＋b）＋ab＝c2−8c＋32−＝2， 解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 5．（2021·浙江省八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 【答案】12 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则， 观察图形可得：，即， ∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键． 6．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可． 【详解】解：如图1， 在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得： ∵为等边三角形，∴高为∴ ∵为等边三角形，∴高为∴ ∴即：解得： 在△中，∴△是直角三角形，∴故选：C． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键． 题型2.赵爽弦图相关问题 解题技巧:解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题. 1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______． 【答案】16 【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【详解】解：由题意作出如下图， 得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34， △ADC面积＝（5×3−2×3）＝，阴影部分的面积S＝34−4×＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解． 2．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 【答案】 ## ## 【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解． 【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， ，， ，，，，，， 四边形是正方形，，， ， ，，，，，， ．故答案为：，． 【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题的关键． 3．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A．19 B．44 C．52 D．76 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长． 【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点， 得，∴， ∵，∴这个风车的外围周长，故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长． 4．（2021·浙江九年级）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【详解】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3， ∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2， S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF， ∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2是解决问题的关键． 5．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如图，作三个等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4． (1)当AC＝6，BC＝8时，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值； (2)请写出S1，S2，S3，S4之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值为9 (2)S4＝S1+S2+S3，理由见解析 【分析】（1）①直接根据勾股定理可得AD的长，由此可得答案； ②利用勾股定理得AE=BE=5，CF=BF=4，设S△BEG=S5，则S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案； （2）设S△BEG=S5，假设一个等腰直角三角形的斜边为a，则可表示出这个三角形的面积，利用勾股定理及三角形面积公式可得答案． (1)①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6， ∴AD=CD=3，∴S1=×3×3=9； ②设AE与BC交于点G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10， ∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形， ∴AE=BE=5，CF=BF=4， 设S△BEG=S5，∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=×5×5-×4×4=9； (2)设S△BEG=S5，如图， ∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB， ∴S△ADC=AC2，S△BFC=BC2，S△ABE=AB2， ∵AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=AB2， ∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，∴AB2-BC2=S4-S2-S3， ∴AC2=S4-S2-S3，∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3，∴S4＝S1+S2+S3． 【点睛】此题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是将勾股定理和直角三 角形的面积公式进行灵活的综合和利用． 6．（2022·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误. 【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2， 由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长， ∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确； 根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab， 4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =49-4=45，即2ab=45，故③正确； 由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误， 由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键． 题型3.勾股定理的应用-梯子滑动问题 解题技巧:梯子滑动问题解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 注意：梯子长度为不变量。 主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。 1．（2022·江苏八年级月考）如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由． 【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案； （2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）如图， 由题意得，，∴∴即顶端距地面有24米 （2）她的说法不正确；由题意得，，， ∴，∴，∴， ∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用． 2．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度． 【答案】2.2米 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，米，米， ．在△中，，米，， ，，，米，米， 答：小巷的宽度为2.2米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 3．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴，故答案为：=； （2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中，， ∵，∴在RtΔCFB中，， 由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 4．（2022·福建·龙岩二中八年级期中）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；(2)此时使用不安全 【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可． 【解析】(1)解：由题意可知在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即， ∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m； (2)解：如图所示，，则在中，，， ∴由勾股定理可得，， ∴可得，∴此时使用不安全． ． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键． 5．（2022·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽． 【答案】（1）2.5米；（2）2.7米 【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB 的长度， （2）由（1）知梯子AB 的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案. 【详解】（1）在中，∵，米，米， ∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米 （2）在中，∵，米，， ∴，∴． ∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 6．（2022·新疆·乌鲁木齐市八年级期中）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长为15米（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米． (1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度． 【答案】(1)风筝的高度为21.7米 (2)的长度为9米 【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可； （2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长． 【解析】(1)在中，由勾股定理，得：（米）， 所以（米）， 答：风筝的高度为21.7米． (2)由等积法知：，解得：（米）． 在中，（米）， 答：的长度为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确． 题型4.勾股定理的应用-风吹草动和折竹抵地问题 解题技巧:风吹莲动问题解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 折竹抵地问题解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。 主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。 1．（2021·江苏九年级二模）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________． 【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2． 【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键． 2．（2021·广西八年级期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺． 【答案】12 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺， 因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2， 解得：x＝13，即水深12尺，故答案为：12 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键． 3．（2021·湖北八年级期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_____m． 【答案】17 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出． 【详解】解：设旗杆高度为，则，，， 在中，，即， 解得：，即旗杆的高度为17米．故答案是：17． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 4．（2021·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺； ∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=尺， ∴可列方程为：，故答案为：． 【点睛】本题属于数学文化题，考查勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可． 5．（2021·安徽八年级期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺) 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 【答案】尺 【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为： x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的绳索长为尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 6．（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 【答案】3米 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（）米， ∴在Rt△CBA中，有， 即：，解得：，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 题型5.勾股定理的应用-台风（噪音）和爆破问题 解题技巧:台风（噪音）、爆破问题解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 注意：通常会用到垂线段最短的原理。 主要题型：常见题型有爆破、台风（爆破）等题型。 1．（2022·山西八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 2．（2022·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s 【答案】8 【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键． 3．（2022·全国九年级专题练习）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟； 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m）， ∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m）， ∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟）， 即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答. 4．（2022·江苏八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有 小时． 【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED＝＝70（km）∴EF＝140km ∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． 5．（2022·山西省运城市八年级阶段练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题． 【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km）， 则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点， 如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时）， ∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型6.勾股定理的应用-位置问题（航行和信号塔） 解题技巧:航行问题解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 信号塔、中转站题型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长； 2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。 1．（2022·湖北省崇阳县八年级期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_______． 【答案】西北方向 【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）． ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°， 即“海天”号沿西北方向航行故答案为：西北方向． 【点睛】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形． 2．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？ 【答案】能，村庄总共能听到8分钟的宣传． 【分析】根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论． 【详解】解：村庄能否听到宣传， 理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传； 如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶到Q点结束对村庄的影响， 则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米）， ∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传． 【点睛】此题主要考查勾股定理在实际问题中的应用，在实际问题中找出相应的直角三角形是解题关键． 3．（2021·广东·佛山市九年级阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上． （1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里） 【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析． 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°， 由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°， ∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE设AE＝x海里，则AC=2x海里， 在Rt△AEC中，海里，∴海里， ∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里． ∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75° 过点D作DF⊥AC于点F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC 设AF＝y，则AD＝2y， ∴， ∵海里 ∴y＋y＝200，解得：，∴海里； （2）由（1）得 ∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险． 【点睛】本题考查的勾股定理的应用−航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 4．（2021·成都八年级期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E点应建在距A站10千米处． 【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． 【详解】解：设AE＝xkm， ∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2， 由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处． 【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可． 5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？ 【答案】走私艇最早在10时41分进入我国领海． 【分析】先判断出△ABC是直角三角形，再用面积相等计算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理计算出CD，算出走私艇行驶的时间，即可求出进入我国领海的时刻． 【详解】∵ ，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°． 又BD⊥AC，∴,∴, 在Rt△BCD中，由勾股定理得：． ∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海． 【点睛】本题是与航海有关的实际应用题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，用面积相等计算直角三角形斜边上的高是常用的方法． 6．（2021·湖北八年级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄河边原有两个取水点其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可． 【详解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2， ∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB， 由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路； (2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x-0.9)2+1.22， 解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米． 【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 题型7. 勾股定理及逆定理的相关计算 1．（2021·江西八年级期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．（1）求的长度；（2）求的长． 【答案】（1）15；（2） 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则AE=12-x，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【详解】解：（1）在中，∵，，，∴． （2）∵垂直平分，∴，设，则， 在中，∵，∴，解得．∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（2021·安徽八年级期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）2.8． 【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长． 【详解】解：（1）如图所示，连接BE， ∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE， 又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°； （2）Rt△BDE中，∴AE＝10， 设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝ Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．（2021·苏州高新区第五初级中学校九年级月考）如图，在中，，是的平分线，于点E．（1）求证：；（2）若，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可证明△ACD≌△AED，即可解题； （2）由（1）结论可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的长，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAE， 在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）； （2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10， ∵△ACD≌△AED，∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，∴BE=AB-AE=4， ∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE， 设DE=CD=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴DE=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△AED是解题的关键． 4．（2021·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可； （2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可． 【详解】解：（1）△BDC是直角三角形， 理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm， ∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形； （2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2， 即（15﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，∴AB＝AC＝（cm）， ∵BC＝17cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键． 5．（2022·江苏）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．（1）求的长．（2）求的长． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的定义求出AD； （2）连接BE，用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．根据勾股定理得：AB=＝10， ∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝AB＝5； （2）连接BE， ∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8−x， ∴在Rt中， 62＋x2＝（8−x）2，解得：x＝，∴AE＝8−＝， 在Rt中，DE＝． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 题型8. 网格中的勾股定理 解题技巧：网格中，根据勾股定理，可求解出三角形或四边形的长度，然后根据长度判断多边形是否是特殊图形。 1．（2022·陕西九年级）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴，∴，故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2022·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为． （1）求四边形的面积；（2）证明：． 【答案】（1）12；（2）见解析 【分析】（1）采用割补法进行解答即可；（2）如图：连接AC，运用勾股定理逆定理即可证明． 【详解】解：（1）由题意得四边形ABCD的面积为：； (2)证明：如图：连接AC ． 【点睛】本题主要考查了运用割补法求不规则图形的面积、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解答本题的关键． 3．（2022·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点 （1）AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． （2）∠ABC＝ ° （3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示） 【答案】（1）（2）（3）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理分别计算出，即可求解； （2）根据（1）中的计算结果，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理找到满足∠APC=90°的格点P即可求解． 【解析】解：（1） 故答案为：． （2） ∴∠ABC=90°． 故答案为： （3）如上图所示： 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 4．（2022·天津滨海新·八年级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，都在格点上． （1）线段的长为______； （2）请用无刻度的直尺，在网格中画出点，使与面积相等，且．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________________________． 【答案】 过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D． 【分析】（1）根据勾股定理可求线段AC的长； （2）过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D即为所求． 【详解】解： 故答案为： （2）如图所示，点D即为所求， 作法：如图，找到格点,过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D．则点D即为所求 证明：如图， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ， 与面积相等． 故答案为：过B点作AC的平行线BE，连接AF，交BE于D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2022·安徽六安·八年级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题．(1)线段AB的长为______；(2)若三角形ABC是直角三角形，且边BC的长度为5，请在图中确定点C的位置，并补全三角形ABC． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）根据A、B、C三点均在网格点上，即可判断出三角形的斜边为BC，据此画图即可． (1)解：利用勾股定理有：，故答案为：； (2)当AC为斜边时，，即， ∵30无法表示成两个整数的平方和，∴此时无法满足C点在网格点上，故舍去； 当BC为斜边时，， 即，此时C点可在网格点上，作图如下： 【点睛】本题考查了网格图和勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 6．（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积； （3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可； （2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积； （3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积． 【详解】（1）的面积， 所以，的面积为5； （2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长， 作图如下： 的面积； （3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长， 格点三角形OPQ如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型9 .勾股数与直角三角形的判定 解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2 1．（2021·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数． 我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，… 根据规律写出第⑥个等式为 ______________． 【答案】132＋842＝852 【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式． 【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1， ∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2， ∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4， ∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2， ∴第⑥个等式为132＋842＝852，故答案为：132＋842＝852. 【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律. 2．（2021·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___． 【答案】5,12或84,85． 【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可． 【详解】当n=1时，得， 当a=13时，得=13，即，解得m=， ∵m是正整数，∴m=舍去； 当b=13时，即m=13，得a==84，c==85； 当c=13时，得=13，即，解得m=， ∵m是正整数，∴m= -5舍去，∴m= 5, ∴a==12，∴b= 5,故答案为：5,12或84,85． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键． 3．（2021·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析 【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值； （2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案； （3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【详解】解：（1）由图表可以得出： ∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1， n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1， ∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50；故答案为：14，48，50； （2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1； （3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题． 4．（2021·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解： ． （2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证． 【答案】（1）或；（2）验证见解析． 【分析】（1）根据勾股数即可得出答案；（2）先分别求出、、，进而求出=，即可得出结论． 【解析】解：（1）当，时，， 当，时，， 方程的两组正整数解为或，故答案为或； （2）以已知的，，为三边的三角形为直角三角形， 理由：∵，，，， ， 以，，为三边的三角形为直角三角形，其中，为直角边，为斜边． 【点睛】此题主要考查了勾股数，勾股定理的逆定理，掌握熟练运用完全平方公式计算是解本题的关键． 5．（2022·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数 定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数． 一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数． 数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数． 通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题： （1）表中可以用，的代数式表示为_____________． （2）若，，则勾股数为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示) 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…， ∴，故答案为：； （2）当，时，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20， ∴勾股数为，故答案为：； （3）根据题意，得， ∴，解得． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 6．（2022·北京四中初二期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值： 平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积． 【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24． 【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8． （2）如图所示： 在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝． 【点睛】本题考查勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键． 题型10. 直角三角形全等的判定（HL） 1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，点E是BC的中点，，，AE平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】过E点作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质得到EF=EB，则可判断≌,所以AB=AF，∠AEB=∠AEF，由于EC=EB=EF，则可判断≌,所以DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，于是可对②进行判断；利用∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF可对①进行判断；利用DE>EC，EC=BE可对③进行判断；利用AF=AB，DF=DC可对④进行判断． 【详解】解：过E点作EF⊥AD于F，如图， ∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF=EB， 在和中，，∴≌(HL)， ∴AB=AF，∠AEB=∠AEF，∴∠AEB=∠AEF=∠BEF， ∵点E是BC的中点，∴EC=EB，∴EC=EF， 在和中，，∴≌(HL)， ∴DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴∠DEC=∠DEF=∠CEF，， ∵∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF=(∠BEF+∠CEF) =90°，∴∠AED=90°，所以①正确； ∵DE>EC，而EC=BE，∴DE>BE，所以③错误； ∵AF=AB，DF=DC，∴AD=AF+DF=AB+CD，所以④正确．故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是如何添加辅助线，构造全等三角形． 2．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等． 【答案】5或10##10或5 【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果． 【详解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°， 分两种情况：①当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）； ②当AP=CA=10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）； 综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论． 3．（2022·江苏镇江·八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线，另一张纸片压住射线且与第一张纸片交于点，若，则__． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，然后由长方形纸片完全相同得到，再用定理证明，进而得到，进而可得到的大小． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，则， 两张长方形纸片完全相同，， 在和中，∵， ∴，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，折叠的性质．解题的关键在于证明三角形全等． 4．（2022·全国·七年级课时练习）已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则（1）如图，若为钝角，求证：；（2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证Rt△ABF≌Rt△CDF，再证△AOB≌△COD即可证明BO=DO （2）证法和（1）相同，不过注意AE+EF=EF+CF变成AE-EF=EF-CF． 【详解】（1）∵AE=CF∴AE+EF=EF+CF ∴AF=EC∴在Rt△ABF和Rt△CDF中 ∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C ∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO （2） ∵AE=CF∴AE-EF=EF-CF∴AF=EC ∴在Rt△ABF和Rt△CDF中∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL）∴∠A=∠C ∴在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△COD（AAS）∴BO=DO 【点睛】本题考查直角三角形HL定理的判定、全等三角形的判定（AAS），在通过全等确定其对应边相等，掌握全等判定方法是本题解题关键． 5．（2022·江西·八年级期末）已知：，，，． （1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论． （2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由． （3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（1）理由如下： ∵，，∴ 在和中 ∴，∴ ∵，∴， ∴，∴； （2）成立，理由如下：∵，，∴， 在和中， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴； （3）成立，理由如下：∵，，∴ 在和中， ∴，∴， ∵，∴， 在中，，∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 6．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案． (1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； (2)∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°。 ∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60° 【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用． n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485abcabc345435512m681072425p15179n41102426116061123537………………
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