还剩38页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第16讲 八年级上学期期中考试考点总结＋各地考卷选练（解析版） 试卷 0 次下载
- 【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第17讲 《函数基本概念及其图形的简单应用》考点分类复习（解析版） 试卷 0 次下载
- 【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第19讲 一次函数与几何图形面积考点分类探究-【专题突破】（解析版） 试卷 0 次下载
- 【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第20讲 一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究-【专题突破】（解析版） 试卷 0 次下载
- 【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第21讲 八上易错选择填空题各地考卷选题专练-【专题突破】（解析版） 试卷 0 次下载
【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第18讲 一次函数考点分类总复习-【专题突破】（解析版）
展开
这是一份【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲 第18讲 一次函数考点分类总复习-【专题突破】（解析版），共41页。
第18讲 一次函数考点分类总复习 考点一 待定系数法求一次函数表达式 【知识点睛】 一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数； 正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的一次函数叫做正比例函数； ☆从定义可知：1.一次函数y=kxm+b需满足的条件有两点：①m=1；②k≠0； 2.正比例函数是特殊的一次函数 待定系数法求一次函数表达式的方法： 一次函数y=kx+b的图象平移规律： 首先明确一次函数的图象是一条直线，具体图象的性质见下一个考点总结； 直线解析式的平移口诀：左加右减（x），上加下减（整体） 【类题训练】 下列y关于x的函数关系式：①y＝x；②y＝；③y＝﹣1；④y＝﹣x+10；⑤y＝+1；⑥；⑦y＝2x﹣1 其中是一次函数的是 ，是正比例函数的是 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：①y＝x是一次函数，也是正比例函数； ②y＝属于二次函数； ③y＝﹣1不属于一次函数； ④y＝﹣x+10是一次函数，不是正比例函数； ⑤y＝+1不是一次函数； ⑥是一次函数，也是正比例函数； ⑦y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数； 综上所述，是一次函数的有：①、④、⑥、⑦；是正比例函数的是：①、⑥ 故答案为：①、④、⑥、⑦ ；①、⑥ 2．若函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ） A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝0 D．m＝2且n＝0 【分析】根据一次函数的定义列出方程组解答即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数， ∴，解得，． 故选：A． 3．若函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，则k的值是（ ） A．k≠2 B．k＝2 C．k＝﹣ D．k＝﹣2 【分析】根据正比例函数的定义得出k﹣2≠0且2k+1＝0，再求出k即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数， ∴k﹣2≠0且2k+1＝0， 解得：k＝﹣， 故选：C． 4．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ． 【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值． 【解答】解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）． 因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0， 解得：t＝﹣3． 故正比例函数为y＝﹣3x， 故答案为：y＝﹣3x． 5．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，对应的y的值为2≤y≤8，则kb的值为（ ） A．15 B．﹣15 C．﹣10或12 D．15或﹣15 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得， 解得k＝3，b＝5．即kb＝15； 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得， 解得k＝﹣3，b＝5．即kb＝﹣15． 故选：D． 6．若y+1与x﹣2成正比例，当x＝0时，y＝1；则当x＝1时，y的值是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据正比例的意义可设y+3＝k（x﹣2），然后把已知的对应值代入求出k即可得到y与x之间的函数关系式，进而求得当x＝1时，y的值． 【解答】解：设y+1＝k（x﹣2）， 把x＝0，y＝1代入得k•（0﹣2）＝1+1，解得k＝﹣1， 所以y+1＝﹣（x﹣2）， 所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+1， 当x＝1时，y＝﹣1+1＝0， 故选：C． 7．若y与z成正比例，z+1与x成正比例，且当x＝1时y＝1，当x＝0时，y＝﹣3，则y与x的函数关系式为 ． 【分析】根据题意设y＝kz，z+1＝mx，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式． 【解答】解：设y＝kz，z+1＝mx，即y＝k （mx﹣1）＝kmx﹣k， 将x＝1，y＝l；x＝0，y＝﹣3代入得：， 解得：， ∴y＝4x﹣3． 故答案为：y＝4x﹣3． 8．将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2 【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解． 【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4． 故选：A． 9．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 ． 【分析】先将A（0，1），B（3，0）两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出一次函数的解析式为y＝﹣x+1，再根据“左加右减”的原则得出新的直线表达式． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+1． 将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到y＝﹣（x+2）+1，即y＝﹣x+． 故答案是：y＝﹣x+． 10．将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 ． 【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3， 故答案为：y＝2x+3． 11．函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到． 【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案． 【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的． 故答案为：上，1． 12．将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点，则平移后的解析式为 ． 【分析】可设平移后的直线解析式为y＝2x+b，把原点的坐标代入可求得b的值，则可求得平移后的解析式； 【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b， ∵将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点， ∴b＝0， ∴平移后的直线解析式为y＝﹣2x， 故答案为y＝﹣2x． 13．（2021•金华模拟）已知经过点（0，2）的直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，则a＝ ，b＝ ． 【分析】相互平行的两条直线的一次项系数相等，故此a＝，将a＝，x＝0，y＝2代入y＝ax+b可求得b的值． 【解答】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行， ∴a＝． ∴直线y＝ax+b的解析式为y＝x+b． 将x＝0，y＝2代入得：b＝2． 故答案为：；2． 14．在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）逆时针旋转60°得到点Q，我们称点Q是点P的“正影射点”．若t＝，则点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是 ．若点P在一次函数y＝x﹣上，对于任意的t值，P的“正影射点”Q都在一条直线上，则这条直线的函数表达式为 ． 【分析】如图1，根据“正影射点“的定义，将点P1（0，3）绕点T（，0）逆时针旋转60°，根据旋转的性质即可求得“正影射点”Q1的坐标；如图2，求得直线y＝x﹣与x、y轴的交点P1（1，0），P2（0，﹣），根据“正影射点“的定义将点P1、P2绕点T（0，0）逆时针旋转60°，得到Q1（，），Q2（，﹣），根据题意求得直线Q1Q2的解析式即可． 【解答】解：如图1，∵点T（，0），点P1（0，3）， ∴OT＝，OP1＝3， ∴tan∠P1TO＝＝， ∴∠P1TO＝60°， ∴P1T＝2， ∴点P1绕点T（，0）逆时针旋转60°得到点Q1在x轴上，且Q1T＝2， ∴点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是（﹣，0）； 如图2，∵点P在一次函数y＝x﹣上， ∴P1（1，0），P2（0，﹣）， ∴OP1＝1，OP2＝， 根据题意设T（0，0），则Q1（，），Q2（，﹣）， 设直线Q1Q2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线Q1Q2的解析式为y＝﹣x+， ∴P的“正影射点”Q所在直线的函数表达式为y＝﹣x+； 故答案为：（﹣，0）；y＝﹣x+． 考点二 一次函数图象与性质 【知识点睛】 图象的画法：（原理：两点确定一条直线） 图象的性质 对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上 【类题训练】 1.下列函数中：①y=-2x； ②y=x-2； ③y=x； ④y=-2x+1； ⑤y=x-4； （1）求出各函数经过的象限 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； （2）y随x的值的增大而增大的函数有： （3）y随x的值的增大而减小的函数有： 【分析】（1）根据每个函数y=kx+b中k、b的正负可以确定所过象限； 根据函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，可以解决此题 根据函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，可以解决此题 【解答】解：（1）①y=-2x中，∵-2＜0，∴函数过第二、四象限 ②y=x-2中，∵1＞0，-2＜0，∴函数过第一、三、四象限 ③y=x中，∵＞0，∴函数过第一、三象限 ④y=-2x+1中，∵-2＜0，1＞0，∴函数过第一、二、四象限 ⑤y=x-4中，∵＜0，-4＜0，∴函数过第二、三、四象限 故答案为：①第二、四象限；②第一、三、四象限；③第一、三象限；④第一、二、四象限；⑤第二、三、四象限； 函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，所以，函数② ③符合题意 故答案为：② ③ 函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，所以，函数① ④ ⑤符合题意 故答案为：① ④ ⑤ 2．下列各点中在函数的图象上的是（ ） A．（3，﹣2） B．（，3） C．（﹣4，1） D．（5，） 【分析】将选项中的坐标代入已知函数的解析式中，能使左右两边相等的即为正确选项． 【解答】解：∵当x＝3时，y＝×3+3≠﹣2， ∴点（3，﹣2）不在函数的图象上； ∵当x＝时，y＝×+3≠3， ∴点（，3）不在函数的图象上； ∵当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+3＝1， ∴点（﹣4，1）在函数的图象上； ∵当x＝5时，y＝×5+3≠， ∴点（5，）不在函数的图象上． 综上，在函数的图象上的点是（﹣4，1）． 故选：C． 3．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1） C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x D．图象经过点（1，2） 【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限； B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点； C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x； D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2． 【解答】解：A：∵一次函数y＝3x﹣1， k＝3＞0， ∴一次函数经过一、三象限， ∵b＝﹣1， ∴一次函数交y轴的负半轴， ∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限， 故A错误； B：令y＝0，x＝， ∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0）， 故B错误； C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x， 故C错误； D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2， ∴图象经过（1，2）， 故D正确． 故选：D． 4．若一次函数y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（ ） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3 【分析】根据一次函数的性质得出k﹣3＜0即可求解． 【解答】解：y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限， ∴k﹣3＜0， ∴k＜3； 故选：D． 5．如图，直线y＝kx+b，与y轴交于点（0，3）与x轴交于点（a，0）当﹣2≤a＜0时，k的取值范围是（ ） A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥ 【分析】把点的坐标代入直线方程得到a＝﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围． 【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得 b＝3．则a＝﹣． ∵﹣2≤a＜0， ∴﹣2≤﹣＜0， 解得：k≥． 故选：D． 6．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）若|k|＜|b|，则它的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】由|k|＜|b|可知﹣＞1或﹣＜﹣1，即可判断直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边，观察四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵|k|＜|b|， ∴||＞1， ∴﹣＞1或﹣＜﹣1， ∴直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边． 故选：D． 7．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能式（ ） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、三象限，故不符合题意； B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、四象限，故符合题意； C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； 故选：B． 8．如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（ ） A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【分析】由一次函数图象经过第二象限及一次函数图象与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0． 【解答】解：依题意可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 故选：D． 9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ） A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0 【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答． 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限， ∴k1＞0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0， ∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意； B、k1+k2＞0，故B不符合题意； C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意； D、b1•b2＜0，故D符合题意； 故选：D． 10．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限； ②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限． 解法二：本题还可用矛盾分析法来解决 A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾． B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾． C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立． D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾． 故选：C． 11．一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【分析】先根据一次函数的增减性判断出（m﹣6）的符号，再求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y的值随x值的增大而减小， ∴m﹣6＜0， ∴m＜6． 故答案为：m＜6． 12．直线y＝﹣2x+b上有三个点（，y1），（﹣1.5，y2），（1.3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3 【分析】利用一次函数y＝﹣2x+b的性质，当﹣2＜0时，y随x的增大而减小，通过比较横坐标x的大小，即可得到对应y值的大小． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴一次函数y＝﹣2x+b中y随x的增大而减小， ∵﹣1.5＜﹣＜1.3， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 13．在下列叙述中：①正比例函数y＝2x的图象经过二、四象限；②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而减小；③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值y＝﹣2；④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数．正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①利用正比例函数的性质判断即可； ②利用一次函数的性质判断即可； ③将x＝﹣1代入y＝3x+1中，计算即可； ④利用一次函数的性质判断即可． 【解答】解：①正比例函数y＝2x的图象经过一、三象限，故①错误； ②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值为y＝﹣2，故③正确； ④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数，故④正确． 则正确的个数为2个． 故选：B． 14．无论m取任何实数，一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点，此定点坐标为 【分析】解析式变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0，令，解得即可． 【解答】解：由一次函数变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0， 令， 解得， 故一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 15．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据一次函数的性质说明函数的递增情况，确定a的取值范围，再从选项中确定正确的结果． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵y1＞y2， ∴1＜a． ∴a的值可能是2， 故选：A． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 【知识点睛】 【类题训练】 1．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标是（ ） A．（2，0） B．（6，0） C．（﹣3，0） D．（0，6） 【分析】令y＝0，可求得与x轴交点横坐标，进而求出与x轴交点坐标． 【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+6得，x＝2， ∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）． 故选：A． 2．若直线y＝4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是（ ） A．2 B．4 C．11 D．5 【分析】利用函数的解析式求得点A，B的坐标，进而得出线段OA，OB的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：当y＝0时，4x+4＝0， 解得：x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）． ∴OA＝1． 当x＝0时，y＝4x+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∴OB＝4． ∴S△AOB＝OA•OB＝×1×4＝2． 故选：A． 3．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（4，0）和（3，2）两点，则方程kx+b＝4的解为（ ） A．x＝0 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5 【分析】先求出函数的解析式，再把y＝4代入，即可求出x． 【解答】解：把（4，0）和（3，2）代入y＝kx+b得：， 解得：， 即y＝﹣2x+8， 当y＝4时，﹣2x+8＝4， 解得：x＝2， ∴方程kx+b＝4的解为x＝2， 故选：B． 4．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ） A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：A． 5．已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3 【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解． 【解答】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0）， ∴当y＝0时，x＝3， ∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3． 故选：D． 6．若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0，n＞0）的解，则一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（ ） A．（2，0） B．（3，0） C．（0，2） D．（0，3） 【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n，即可求得一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵方程的解为x＝2， ∴当x＝2时mx+n＝0； ∴一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n， ∴一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B． 7．如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＜0；③x＝﹣2是方程3x+b＝ax﹣2的解，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＞0；直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2交点的横坐标为x＝﹣2，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2． 【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，故①正确，②错误； 当x＝﹣2时，直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2相交，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2，故③正确； 故选：C． 8．下表是一次函数y＝kx+b（k≠0）的部分自变量和相应的函数值，方程kx+b＝0的解x0所在的范围是（ ） A．﹣2＜x0＜﹣1 B．﹣1＜x0＜0 C．0＜x0＜1 D．1＜x0＜2 【分析】由表格知当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，即可得出y＝0时，对应的x的取值即可． 【解答】解：由题知，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程kx+b＝0的解x0所在的范围是﹣1＜x＜0， 故选：B． 9．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，直线y1＝x+m都在直线y2＝kx﹣1下方，即x+m＜kx﹣1． 【解答】解：根据题意得当x＜﹣1时，y1＜y2， 所以不等式x+m＜kx﹣1的解集为x＜﹣1． 故选：D． 10．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（ ） A．x＜5 B．1＜x＜5 C．﹣2＜x＜5 D．x＜﹣2 【分析】y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，即可求解． 【解答】解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2， y＝mx+n＞0，则x＜5， 关于x的不等式组的解集为：x＜﹣2， 故选：D． 11．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确； a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确； 4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确； 故选：B． 12．一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4），则二元一次方程组的解和b的值分别是（ ） A．，b＝﹣6 B．，b＝0 C．，b＝0 D．，b＝﹣6 【分析】直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4）， ∴二元一次方程组的解是， 将点P（2，4）的坐标代y＝2x+b，得b＝0， 故选：C． 13．一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组的解是．其中信息正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线y＝ax+b在y＝mx+n下方的部分对应的x的取值范围就是不等式mx+n≥ax+b的解集，由此判断②；直线y＝ax+b在y＝mx+n的交点坐标就是方程组的解，由此判断③． 【解答】解：如图，∵直线y＝ax+b经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴ab＞0 ∵直线y＝mx+n经过一、二、四象限， ∴m＜0，n＞0， ∴mn＜0， ∴ab＞mn，故①错误； ∵当x≤1时，直线y＝ax+b在y＝mx+n下方， ∴不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1，故②正确； ∵直线y＝ax+b与y＝mx+n的交点坐标为（1，3）， ∴方程组的解是，故③正确． 故选：B． 14．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x﹣y＝b（b＜﹣1）的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x＞0，解方程组求得x＝﹣＞0，由b＜﹣1，得出﹣（b﹣1）＞0，即可得出a﹣1＞0，解得a＞1． 【解答】解：∵点A在第一象限， ∴x＞0， ， ②﹣①得（a﹣1）x＝﹣（b﹣1）， ∴x＝﹣＞0， ∵b＜﹣1， ∴﹣（b﹣1）＞0， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：D． 15．直线y＝mx+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则方程组的解为 ，关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为 ． 【分析】根据图象可得，直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），所以当x＞﹣1时，直线y＝mx+b，落在直线y＝kx的下方，可得关于x的不等式mx+b＜kx．即可得结论． 【解答】解：根据图象可知： 直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3）， 则方程组的解为：； 则关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为﹣1＜x＜0， 故答案为：；﹣1＜x＜0． 16．如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝﹣x+5交于点（1，m），则关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系解决此题． 【解答】解：当y＝0，﹣x+5＝0． ∴x＝5． 由图可知，当0＜y2＜y1，则5＞x＞1． ∴关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有2、3、4，共3个． 故选：B． 17．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，（n+1）x＜m﹣4n，其中正确的有 （填所有正确的序号）． 【分析】①由直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确； ②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，求出y＝0，即可判断结论②正确； ③将x＝﹣2代入两解析式由纵坐标相等，即可判断结论③正确； ④观察函数图象，可知当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，即nx+4n＞﹣x+m，即可判断结论④错误． 【解答】解：①∵直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴， ∴m＜0； ∵y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升， ∴n＞0， 故结论①正确； ②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，得y＝﹣4n+4n＝0， ∴直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）． 故结论②正确； ③∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，y＝2+m＝﹣2n+4n， ∴m＝2n﹣2． 故结论③正确； ④∵当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，即（n+1）x＞m﹣4n， 故结论④错误， 故答案为：①②③． 18．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，以下说法错误的是（ ） A．△ABD的面积为 3 B．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，2） C．△BCD为直角三角形 D．方程组的解为 【分析】求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）；利用勾股定理的逆定理进行判断；根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解． 【解答】解：A、把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b， 可得，解得， ∴直线l1：y＝2x+4， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AO＝2． 把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m， 可得﹣×（﹣）+m＝，解得m＝1， ∴直线l2：y＝﹣x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴D（0，1）， ∴BD＝4﹣1＝3， ∴S△ABD＝BD•AO＝×3×2＝3， 故本选项正确，不符合题意； B、点A关于y轴对称的点为A'（2，0）， 由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）， 故本选项错误，符合题意； C、∵B（0，4），C（﹣，），D（0，1）， ∴BC2＝（0+）2+（4﹣）2＝，CD2＝（0+）2+（1﹣）2＝，BD2＝（1﹣4）2＝9， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， 故本选项正确，不符合题意； D、∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，）， ∴方程组的解为， 故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 19．已知一次函数y1＝mx﹣2m+4（m≠0）． （1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由； （2）若一次函数y2＝﹣x+6，当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小； （3）函数y1随x的增大而减小，且与y轴交于点A，若点A到坐标原点的距离小于6，点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC面积的取值范围． 【分析】（1）把点（2，4）代入解析式即可判断； （2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小； （3）根据题意求得A的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝mx﹣2m+4得，y1＝2m﹣2m+4＝4， ∴点（2，4）在该一次函数的图象上； （2）∵一次函数y2＝﹣x+6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y1＝mx﹣2m+4的图象上， ∴一次函数y2＝﹣x+6的图象与函数y1＝mx﹣2m+4的图象的交点为（2，4）， ∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大， ∴当x＞2时，y1＞y2； 当x＝2时，y1＝y2； 当x＜2时，y1＜y2； （3）由题意可知，﹣2m+4＝±6且m＜0， ∴m＝﹣1， ∴A（0，6）， ∵点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）． ∴AB＝8， ∵＝8， ∴6＜S△ABC＜8． 20．如图，过点B（1，0）的直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝2x+4相交于点P（﹣1，a）． （1）求直线l1的解析式． （2）不等式y1≥y2的解集为 ；（直接写出答案） （3）求四边形PAOC的面积． 【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式； （2）不等式y1≥y2即y＝kx+b的函数值不小于2x+4的函数值，观察函数图象得到当x≤﹣1时满足条件； （3）根据S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC可得结论． 【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y2＝2x+4上， ∴a＝2×（﹣1）+4＝2， 则P的坐标为（﹣1，2）， ∵直线l1：y1＝kx+b过点B（1，0），P（﹣1，2）， ∴，解得． ∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1； （2）不等式y1≥y2的解集为x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1； （3）∵直线l1与y轴相交于点C， ∴C的坐标为（0，1）， 又∵直线l2与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为（﹣2，0）， ∴AB＝3， ∴S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC ＝×3×2−×1×1 ＝3﹣ ＝． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图象交于点B（a，2）． （1）求a的值及△ABO的面积； （2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值； （3）直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式，可得C（﹣4，0），根据S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO即可求解； （2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得m的值； （3）找出直线y＝﹣x落在直线y＝kx+b上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（a，2）， ∴2＝﹣a，解得，a＝﹣3， ∴B（﹣3，2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2）， ∴，解得， ∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8， ∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C， 则2x+8＝0，解得x＝﹣4， ∴C（﹣4，0）， ∴S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO＝×4×4﹣×4×2＝4； （2）∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C， ∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x﹣m， ∴0＝﹣×（﹣4）﹣m，解得m＝； （3）∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣3，2）， ∴根据图象可知﹣x＞kx+b的解集为：x＜﹣3． 考点四 一次函数的实际应用 【知识点睛】 一次函数与行程问题方法总结： 图象问题首先确定x轴、y轴的具体意义，其次找拐点； 图象中的拐点一般指行程形式的改变，如从行进到停止、从停止再出发等； 行程问题中，函数图象的表示式中的|k|通常等于速度； 甲乙相距a㎞的问题中，甲在乙的前方a㎞，等价函数关系式为：y甲-y乙=a㎞；乙在甲的前方a㎞，等价函数关系式为：y乙-y甲=a㎞； 另外，注意题目中是否有谁晚出发几小时，因为早出发的人离出发地a㎞，使两人相距a㎞； 或者谁先到目的地后，因为另一个人离目的地a㎞，使两人相距a㎞； 一次函数与几何图形结合问题要点提示： 1.首先明确x轴、y轴的具体意义 2.其次注意拐点的意义 3.一次函数与谁结合，多注意所结合图形的特殊性质的应用。 【类题训练】 1．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米． （2）小明在书店停留了 分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟． （4）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分． 【分析】（1）因为y轴表示路程，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；（2）与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可． （3）共行驶的路程＝小明家到学校的距离+折回书店的路程×2．（4）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【解答】解：（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校， ∴小明家到学校的路程是1500米． （2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟． （3）1500+600×2＝2700（米） 即：本次上学途中，小明一共行驶了 2700米．一共用了 14分钟． （4）折回之前的速度＝1200÷6＝200（米/分） 折回书店时的速度＝（1200﹣600）÷2＝300（米/分）， 从书店到学校的速度＝（1500﹣600）÷2＝450（米/分） 经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快 即：在整个上学的途中 从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分 2．一条公路沿线有A，B，C三个站点，甲、乙两车分别从A，B站点同时出发，匀速驶达C站．设甲、乙两车行驶xh后，与B站的距离分别为y1km，y2km．y1，y2与x的函数关系如图，则两车相遇的时间是（ ） A．20min B．30min C．60min D．80min 【分析】根据图象，理解甲、乙在行程问题中的路程、速度、时间，由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象过（0，20）（0.5，0）可知A、B两站距离为20km，从A站到B站所用时间位0.5h，可求出甲车的速度为20÷0.5＝40km/h；由乙的图象可知B、C两站的距离是100km，所用时间为4h，则可求乙车的速度；再根据追及问题的数量关系：追及时间＝追及路程÷速度差，即可求出追及时间，即相遇时间．主要考查函数中自变量、因变量的变化关系，图象中点的坐标所表示的实际意义，以及行程问题中速度、路程、时间的关系． 【解答】解：由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象可知： A，B两个站点的距离为：AB＝20 km，甲车的速度为：20÷0.5＝40km/h； 由乙车行驶xh，与B站的距离分别为y2km的图象可知： B，C两个站点的距离为：BC＝100 km，乙车的速度为：100÷4＝25km/h； 两车相遇的时间就是甲车追上乙车所用时间：20÷（40﹣25）＝h＝80min 故选：D． 3．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为 ． 【分析】设实线表示甲的函数图象，求得在第15到33分时甲的速度，让15分加上甲行1千米用的时间即为第一次相遇的时间；易得乙的速度，乘以48即为全程；设t分时，第2次相遇，易得BC段甲的速度，相遇时甲走的路程等于乙走的路程，把相关数值代入求解后可得正误． 【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min， ∴再行1千米用的时间为9分钟， ∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确； ②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min， 所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min， 所以全长为48×0.25＝12km，故错误； ③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t， 解得t＝38，正确， 故答案为：①③． 4．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ） A．75 B．80 C．85 D．90 【分析】从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，则AH＝＝4a＝BC，当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90，即可求解． 【解答】解：从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC， 过点A作AH⊥CD于点H，则DH＝CH＝CD， 在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH， 则AH＝＝4a＝BC， 当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5， 则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90， 故选：D． 5．如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①AB＝10； ②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6； ③点D（，）； 正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③，即可求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B， ∴点A（8，0），点B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝＝＝10，故①正确； ∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处， ∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴（8﹣OC）2＝16+OC2， ∴OC＝3， ∴点C（3，0）， 设直线BC解析式为：y＝kx+6， ∴0＝3k+6， ∴k＝﹣2， ∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确； 如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵CD＝OC＝3， ∴CA＝5， ∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD， ∴DH＝＝， ∴当y＝时，＝﹣x+6， ∴x＝， ∴点D（，），故③正确； 故选：D． 6．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ． 【分析】求出B（0，3）、点C（﹣1，0），分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可． 【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b， 解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1， 即点C（﹣1，0）； ①如图，当BD平行x轴时， 点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形， 则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3）， ②当BD不平行x轴时， 则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等， 则直线DD′∥AB， 设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n， 将点D的坐标代入上式并解得：n＝7， 直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7， 设点D′（n，7﹣n）， A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等， 则BD′＝BC＝＝， 解得：n＝3， 故点D′（3，4）； 故答案为：（4，3）或（3，4）． 7．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D，与直线y＝2x﹣4相交于点C． （1）不等式kx+b＞4的解集是 ； （2）求直线AB的函数表达式； （3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据图象即可确定不等式的解集； （2）待定系数法求解析式即可； （3）先求出E点坐标和D点坐标，再求出交点C的坐标，进一步可得△DEC的面积，根据S△DEC＝3S△DEP，可得S△DEP＝，设点P的坐标为（p，﹣p+5），根据△DEP的面积列方程，即可求出点P坐标． 【解答】解：（1）根据图象，可知不等式kx+b＞4的解集是x＜1， 故答案为：x＜1； （2）将点A（5，0），B（1，4）代入直线y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+5； （3）存在满足条件的点P，理由如下： ∵直线y＝2x﹣4与y轴交于点E， ∴点E坐标为（0，﹣4）， ∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点D， ∴点D坐标为（0，5）， ∴DE＝9， 联立， 解得， ∴点C坐标为（3，2）， ∴S△DEC＝＝， ∵S△DEC＝3S△DEP， ∴S△DEP＝， 设点P的坐标为（p，﹣p+5）， ∴S△DEP＝＝， ∴|p|＝1， ∴p＝1或p＝﹣1， ∴点P坐标为（1，4）或（﹣1，6）． 8．如图，甲乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）试用文字说明，交点P的实际意义． （2）甲车、乙车的行驶速度分别是多少？ （3）求出图中m、a的值． （4）甲车在休息前和休息后行驶距离y（km）与时间x（h）的函数图象的位置是什么关系？写出其各自的函数表达式，并标注相应的x的取值范围． （5）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？ 【分析】（1）根据图象以及点P的坐标即可得出交点P的实际意义； （2）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以分别求出甲车、乙车的行驶速度； （3）根据图象即可求出a的值和m的值； （4）甲车在休息前0≤x≤1，甲车在休息前和休息后1.5＜x≤7，根据图象利用待定系数法分别求出各自的函数表达式； （5）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）交点P的实际意义是：甲出发3.5小时时，甲车和乙车在距离B地120千米处相遇； （2）由图象可知，甲车3.5﹣0.5＝3小时行驶120千米， 所以甲车的行驶速度是120÷（3.5﹣0.5）＝40（千米/时）， 乙车的行驶速度是120÷（3.5﹣2）＝80（千米/时）； （3）由题意，得 m＝1.5﹣0.5＝1． ∵甲车的行驶速度是40千米/时， ∴a＝40×1＝40． 故a＝40，m＝1； （4）①甲车在休息前即当0≤x≤1时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x， 由题意，得40＝k1，则y＝40x； ②甲车在休息后即当1.5＜x≤7时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b， 由题意，得，解得：， 则y＝40x﹣20； （3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3， 由题意，得，解得：， 则y＝80x﹣160． 当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝． 当40x﹣20+50＝80x﹣160时，解得：x＝． ﹣2＝，﹣2＝． 答：乙车行驶或小时，两车恰好相距50km． 步骤普通一次函数具体操作正比例函数具体操作1.“设”设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0）2.“代入”把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程3.“解”解这个关于k、b的二元一次方程组解这个关于k的一元一次方程4.“再代入”把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式步骤一次函数正比例函数找点找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点找除原点外的任意一个点描点在平面直角坐标系中描出所找的点的位置连线过这两个点画一条直线过原点和这个点画一条直线k＞0k＜0性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小直线走势从左往右看上升从左往右看下降增减应用当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）必过象限直线必过第一、三象限直线必过第二、四象限b＞0直线过第一、二、三象限直线过第一、二、四象限b=0（正比例函数）直线过第一、三象限直线过第二、四象限正比例函数必过原点（0,0）b＜0直线过第一、三、四象限直线过第二、三、四象限一次函数y=kx+b作用具体应用与一元一次方程的关系求与x轴交点坐标方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点横坐标与二元一次方程组的关系求两直线交点坐标方程组的解是直线与直线的交点坐标与一元一次不等式（组）的关系一元一次不等（如kx+b＞0）的解可以由函数图象观察得出由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标， ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。x﹣2﹣1012y﹣3﹣1135
第18讲 一次函数考点分类总复习 考点一 待定系数法求一次函数表达式 【知识点睛】 一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数； 正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的一次函数叫做正比例函数； ☆从定义可知：1.一次函数y=kxm+b需满足的条件有两点：①m=1；②k≠0； 2.正比例函数是特殊的一次函数 待定系数法求一次函数表达式的方法： 一次函数y=kx+b的图象平移规律： 首先明确一次函数的图象是一条直线，具体图象的性质见下一个考点总结； 直线解析式的平移口诀：左加右减（x），上加下减（整体） 【类题训练】 下列y关于x的函数关系式：①y＝x；②y＝；③y＝﹣1；④y＝﹣x+10；⑤y＝+1；⑥；⑦y＝2x﹣1 其中是一次函数的是 ，是正比例函数的是 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：①y＝x是一次函数，也是正比例函数； ②y＝属于二次函数； ③y＝﹣1不属于一次函数； ④y＝﹣x+10是一次函数，不是正比例函数； ⑤y＝+1不是一次函数； ⑥是一次函数，也是正比例函数； ⑦y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数； 综上所述，是一次函数的有：①、④、⑥、⑦；是正比例函数的是：①、⑥ 故答案为：①、④、⑥、⑦ ；①、⑥ 2．若函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，则m，n应满足的条件是（ ） A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝0 D．m＝2且n＝0 【分析】根据一次函数的定义列出方程组解答即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数， ∴，解得，． 故选：A． 3．若函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数，则k的值是（ ） A．k≠2 B．k＝2 C．k＝﹣ D．k＝﹣2 【分析】根据正比例函数的定义得出k﹣2≠0且2k+1＝0，再求出k即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+1是正比例函数， ∴k﹣2≠0且2k+1＝0， 解得：k＝﹣， 故选：C． 4．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ． 【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值． 【解答】解：根据题意，特征数是特征数为[t，t+3]的一次函数表达式为：y＝tx+（t+3）． 因为此一次函数为正比例函数，所以t+3＝0， 解得：t＝﹣3． 故正比例函数为y＝﹣3x， 故答案为：y＝﹣3x． 5．一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤1时，对应的y的值为2≤y≤8，则kb的值为（ ） A．15 B．﹣15 C．﹣10或12 D．15或﹣15 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得， 解得k＝3，b＝5．即kb＝15； 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得， 解得k＝﹣3，b＝5．即kb＝﹣15． 故选：D． 6．若y+1与x﹣2成正比例，当x＝0时，y＝1；则当x＝1时，y的值是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据正比例的意义可设y+3＝k（x﹣2），然后把已知的对应值代入求出k即可得到y与x之间的函数关系式，进而求得当x＝1时，y的值． 【解答】解：设y+1＝k（x﹣2）， 把x＝0，y＝1代入得k•（0﹣2）＝1+1，解得k＝﹣1， 所以y+1＝﹣（x﹣2）， 所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+1， 当x＝1时，y＝﹣1+1＝0， 故选：C． 7．若y与z成正比例，z+1与x成正比例，且当x＝1时y＝1，当x＝0时，y＝﹣3，则y与x的函数关系式为 ． 【分析】根据题意设y＝kz，z+1＝mx，将x与y的两对值代入求出k与m的值，即可确定出y与x的函数关系式． 【解答】解：设y＝kz，z+1＝mx，即y＝k （mx﹣1）＝kmx﹣k， 将x＝1，y＝l；x＝0，y＝﹣3代入得：， 解得：， ∴y＝4x﹣3． 故答案为：y＝4x﹣3． 8．将直线y＝2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A．y＝2x﹣4 B．y＝2x+4 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2 【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解． 【解答】解：y＝2（x﹣2）﹣3+3＝2x﹣4． 故选：A． 9．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0），若将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到的直线表达式为 ． 【分析】先将A（0，1），B（3，0）两点的坐标代入y＝kx+b，运用待定系数法求出一次函数的解析式为y＝﹣x+1，再根据“左加右减”的原则得出新的直线表达式． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，1），B（3，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+1． 将该图象沿着x轴向左平移2个单位，得到y＝﹣（x+2）+1，即y＝﹣x+． 故答案是：y＝﹣x+． 10．将直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，平移后所得直线的解析式为 ． 【分析】直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线y＝2x﹣1向上平移4个单位，所得直线解析式是：y＝2x﹣1+4，即y＝2x+3， 故答案为：y＝2x+3． 11．函数y＝﹣3x+1的图象，可以看作直线y＝﹣3x向 平移 个单位长度而得到． 【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案． 【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象是由直线y＝﹣3x向上平移1个单位长度得到的． 故答案为：上，1． 12．将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点，则平移后的解析式为 ． 【分析】可设平移后的直线解析式为y＝2x+b，把原点的坐标代入可求得b的值，则可求得平移后的解析式； 【解答】解：设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b， ∵将直线y＝﹣2x+3平移后经过原点， ∴b＝0， ∴平移后的直线解析式为y＝﹣2x， 故答案为y＝﹣2x． 13．（2021•金华模拟）已知经过点（0，2）的直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行，则a＝ ，b＝ ． 【分析】相互平行的两条直线的一次项系数相等，故此a＝，将a＝，x＝0，y＝2代入y＝ax+b可求得b的值． 【解答】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝x+1平行， ∴a＝． ∴直线y＝ax+b的解析式为y＝x+b． 将x＝0，y＝2代入得：b＝2． 故答案为：；2． 14．在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）逆时针旋转60°得到点Q，我们称点Q是点P的“正影射点”．若t＝，则点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是 ．若点P在一次函数y＝x﹣上，对于任意的t值，P的“正影射点”Q都在一条直线上，则这条直线的函数表达式为 ． 【分析】如图1，根据“正影射点“的定义，将点P1（0，3）绕点T（，0）逆时针旋转60°，根据旋转的性质即可求得“正影射点”Q1的坐标；如图2，求得直线y＝x﹣与x、y轴的交点P1（1，0），P2（0，﹣），根据“正影射点“的定义将点P1、P2绕点T（0，0）逆时针旋转60°，得到Q1（，），Q2（，﹣），根据题意求得直线Q1Q2的解析式即可． 【解答】解：如图1，∵点T（，0），点P1（0，3）， ∴OT＝，OP1＝3， ∴tan∠P1TO＝＝， ∴∠P1TO＝60°， ∴P1T＝2， ∴点P1绕点T（，0）逆时针旋转60°得到点Q1在x轴上，且Q1T＝2， ∴点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是（﹣，0）； 如图2，∵点P在一次函数y＝x﹣上， ∴P1（1，0），P2（0，﹣）， ∴OP1＝1，OP2＝， 根据题意设T（0，0），则Q1（，），Q2（，﹣）， 设直线Q1Q2的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线Q1Q2的解析式为y＝﹣x+， ∴P的“正影射点”Q所在直线的函数表达式为y＝﹣x+； 故答案为：（﹣，0）；y＝﹣x+． 考点二 一次函数图象与性质 【知识点睛】 图象的画法：（原理：两点确定一条直线） 图象的性质 对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上 【类题训练】 1.下列函数中：①y=-2x； ②y=x-2； ③y=x； ④y=-2x+1； ⑤y=x-4； （1）求出各函数经过的象限 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； （2）y随x的值的增大而增大的函数有： （3）y随x的值的增大而减小的函数有： 【分析】（1）根据每个函数y=kx+b中k、b的正负可以确定所过象限； 根据函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，可以解决此题 根据函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，可以解决此题 【解答】解：（1）①y=-2x中，∵-2＜0，∴函数过第二、四象限 ②y=x-2中，∵1＞0，-2＜0，∴函数过第一、三、四象限 ③y=x中，∵＞0，∴函数过第一、三象限 ④y=-2x+1中，∵-2＜0，1＞0，∴函数过第一、二、四象限 ⑤y=x-4中，∵＜0，-4＜0，∴函数过第二、三、四象限 故答案为：①第二、四象限；②第一、三、四象限；③第一、三象限；④第一、二、四象限；⑤第二、三、四象限； 函数y=kx+b中，k＞0时，y随x的值的增大而增大，所以，函数② ③符合题意 故答案为：② ③ 函数y=kx+b中，k＜0时，y随x的值的增大而减小，所以，函数① ④ ⑤符合题意 故答案为：① ④ ⑤ 2．下列各点中在函数的图象上的是（ ） A．（3，﹣2） B．（，3） C．（﹣4，1） D．（5，） 【分析】将选项中的坐标代入已知函数的解析式中，能使左右两边相等的即为正确选项． 【解答】解：∵当x＝3时，y＝×3+3≠﹣2， ∴点（3，﹣2）不在函数的图象上； ∵当x＝时，y＝×+3≠3， ∴点（，3）不在函数的图象上； ∵当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+3＝1， ∴点（﹣4，1）在函数的图象上； ∵当x＝5时，y＝×5+3≠， ∴点（5，）不在函数的图象上． 综上，在函数的图象上的点是（﹣4，1）． 故选：C． 3．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ） A．图象经过第一、二、三象限 B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1） C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x D．图象经过点（1，2） 【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限； B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点； C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x； D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2． 【解答】解：A：∵一次函数y＝3x﹣1， k＝3＞0， ∴一次函数经过一、三象限， ∵b＝﹣1， ∴一次函数交y轴的负半轴， ∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限， 故A错误； B：令y＝0，x＝， ∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0）， 故B错误； C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x， 故C错误； D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2， ∴图象经过（1，2）， 故D正确． 故选：D． 4．若一次函数y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（ ） A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3 【分析】根据一次函数的性质得出k﹣3＜0即可求解． 【解答】解：y＝（k﹣3）x+8的图象经过第一、二、四象限， ∴k﹣3＜0， ∴k＜3； 故选：D． 5．如图，直线y＝kx+b，与y轴交于点（0，3）与x轴交于点（a，0）当﹣2≤a＜0时，k的取值范围是（ ） A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥ 【分析】把点的坐标代入直线方程得到a＝﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围． 【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得 b＝3．则a＝﹣． ∵﹣2≤a＜0， ∴﹣2≤﹣＜0， 解得：k≥． 故选：D． 6．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）若|k|＜|b|，则它的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】由|k|＜|b|可知﹣＞1或﹣＜﹣1，即可判断直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边，观察四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵|k|＜|b|， ∴||＞1， ∴﹣＞1或﹣＜﹣1， ∴直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与x轴的交点在（1，0）的右边或在（﹣1，0）的左边． 故选：D． 7．一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能式（ ） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝bx+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、三象限，故不符合题意； B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、二、四象限，故符合题意； C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0； ∴一次函数y2＝bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； 故选：B． 8．如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二象限，且与y轴的负半轴相交，那么（ ） A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【分析】由一次函数图象经过第二象限及一次函数图象与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0． 【解答】解：依题意可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 故选：D． 9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ） A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0 【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判断即可解答． 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限， ∴k1＞0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0， ∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意； B、k1+k2＞0，故B不符合题意； C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意； D、b1•b2＜0，故D符合题意； 故选：D． 10．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx+n过第一，二，三象限，同负时过二，三，四象限，y＝mnx过原点，一、三象限； ②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限，y＝mnx过原点，二、四象限． 解法二：本题还可用矛盾分析法来解决 A、一次函数m＞0，n＞0；正比例mn＜0，与一次矛盾． B、一次m＞0，n＜O；正比例mn＞0，与一次矛盾． C、一次m＞0，n＜0，正比例mn＜0，成立． D、一次m＜0，n＞0，正比例mn＞0，矛盾． 故选：C． 11．一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【分析】先根据一次函数的增减性判断出（m﹣6）的符号，再求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣6）x+5中，y的值随x值的增大而减小， ∴m﹣6＜0， ∴m＜6． 故答案为：m＜6． 12．直线y＝﹣2x+b上有三个点（，y1），（﹣1.5，y2），（1.3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3 【分析】利用一次函数y＝﹣2x+b的性质，当﹣2＜0时，y随x的增大而减小，通过比较横坐标x的大小，即可得到对应y值的大小． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴一次函数y＝﹣2x+b中y随x的增大而减小， ∵﹣1.5＜﹣＜1.3， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 13．在下列叙述中：①正比例函数y＝2x的图象经过二、四象限；②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而减小；③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值y＝﹣2；④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数．正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①利用正比例函数的性质判断即可； ②利用一次函数的性质判断即可； ③将x＝﹣1代入y＝3x+1中，计算即可； ④利用一次函数的性质判断即可． 【解答】解：①正比例函数y＝2x的图象经过一、三象限，故①错误； ②一次函数y＝2x﹣3中，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数y＝3x+1中，当x＝﹣1时，函数值为y＝﹣2，故③正确； ④一次函数y＝x+1的自变量x的取值范围是全体实数，故④正确． 则正确的个数为2个． 故选：B． 14．无论m取任何实数，一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点，此定点坐标为 【分析】解析式变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0，令，解得即可． 【解答】解：由一次函数变形为m（x+1）﹣x﹣y＝0， 令， 解得， 故一次函数y＝（m﹣1）x+m必过一定点（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 15．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据一次函数的性质说明函数的递增情况，确定a的取值范围，再从选项中确定正确的结果． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵y1＞y2， ∴1＜a． ∴a的值可能是2， 故选：A． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 【知识点睛】 【类题训练】 1．一次函数y＝﹣3x+6的图象与x轴的交点坐标是（ ） A．（2，0） B．（6，0） C．（﹣3，0） D．（0，6） 【分析】令y＝0，可求得与x轴交点横坐标，进而求出与x轴交点坐标． 【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+6得，x＝2， ∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）． 故选：A． 2．若直线y＝4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是（ ） A．2 B．4 C．11 D．5 【分析】利用函数的解析式求得点A，B的坐标，进而得出线段OA，OB的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：当y＝0时，4x+4＝0， 解得：x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）． ∴OA＝1． 当x＝0时，y＝4x+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∴OB＝4． ∴S△AOB＝OA•OB＝×1×4＝2． 故选：A． 3．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（4，0）和（3，2）两点，则方程kx+b＝4的解为（ ） A．x＝0 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5 【分析】先求出函数的解析式，再把y＝4代入，即可求出x． 【解答】解：把（4，0）和（3，2）代入y＝kx+b得：， 解得：， 即y＝﹣2x+8， 当y＝4时，﹣2x+8＝4， 解得：x＝2， ∴方程kx+b＝4的解为x＝2， 故选：B． 4．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ） A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：A． 5．已知直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n＝0的解为（ ） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝3 【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n＝0的解． 【解答】解：∵直线y＝mx+n（m，n为常数）经过点（3，0）， ∴当y＝0时，x＝3， ∴关于x的方程mx+n＝0的解为x＝3． 故选：D． 6．若x＝2是关于x的方程mx+n＝0（m≠0，n＞0）的解，则一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（ ） A．（2，0） B．（3，0） C．（0，2） D．（0，3） 【分析】直线y＝mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n，即可求得一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵方程的解为x＝2， ∴当x＝2时mx+n＝0； ∴一次函数y＝mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数y＝﹣mx﹣n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y＝﹣mx﹣n的图象向右平移一个单位得到y＝﹣m（x﹣1）﹣n， ∴一次函数y＝﹣m（x﹣1）﹣n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B． 7．如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＜0；③x＝﹣2是方程3x+b＝ax﹣2的解，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＞0；直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2交点的横坐标为x＝﹣2，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2． 【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，故①正确，②错误； 当x＝﹣2时，直线y＝3x+b与直线y＝ax﹣2相交，即方程3x+b＝ax﹣2的解为x＝﹣2，故③正确； 故选：C． 8．下表是一次函数y＝kx+b（k≠0）的部分自变量和相应的函数值，方程kx+b＝0的解x0所在的范围是（ ） A．﹣2＜x0＜﹣1 B．﹣1＜x0＜0 C．0＜x0＜1 D．1＜x0＜2 【分析】由表格知当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，即可得出y＝0时，对应的x的取值即可． 【解答】解：由题知，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程kx+b＝0的解x0所在的范围是﹣1＜x＜0， 故选：B． 9．如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，直线y1＝x+m都在直线y2＝kx﹣1下方，即x+m＜kx﹣1． 【解答】解：根据题意得当x＜﹣1时，y1＜y2， 所以不等式x+m＜kx﹣1的解集为x＜﹣1． 故选：D． 10．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（ ） A．x＜5 B．1＜x＜5 C．﹣2＜x＜5 D．x＜﹣2 【分析】y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，即可求解． 【解答】解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2， y＝mx+n＞0，则x＜5， 关于x的不等式组的解集为：x＜﹣2， 故选：D． 11．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确； a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确； 4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确； 故选：B． 12．一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4），则二元一次方程组的解和b的值分别是（ ） A．，b＝﹣6 B．，b＝0 C．，b＝0 D．，b＝﹣6 【分析】直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2与y＝2x+b的图象的交点为P（2，4）， ∴二元一次方程组的解是， 将点P（2，4）的坐标代y＝2x+b，得b＝0， 故选：C． 13．一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组的解是．其中信息正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线y＝ax+b在y＝mx+n下方的部分对应的x的取值范围就是不等式mx+n≥ax+b的解集，由此判断②；直线y＝ax+b在y＝mx+n的交点坐标就是方程组的解，由此判断③． 【解答】解：如图，∵直线y＝ax+b经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴ab＞0 ∵直线y＝mx+n经过一、二、四象限， ∴m＜0，n＞0， ∴mn＜0， ∴ab＞mn，故①错误； ∵当x≤1时，直线y＝ax+b在y＝mx+n下方， ∴不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1，故②正确； ∵直线y＝ax+b与y＝mx+n的交点坐标为（1，3）， ∴方程组的解是，故③正确． 故选：B． 14．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程x﹣y＝b（b＜﹣1）的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据点A的位置可知方程组中x的值x＞0，解方程组求得x＝﹣＞0，由b＜﹣1，得出﹣（b﹣1）＞0，即可得出a﹣1＞0，解得a＞1． 【解答】解：∵点A在第一象限， ∴x＞0， ， ②﹣①得（a﹣1）x＝﹣（b﹣1）， ∴x＝﹣＞0， ∵b＜﹣1， ∴﹣（b﹣1）＞0， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：D． 15．直线y＝mx+b与y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则方程组的解为 ，关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为 ． 【分析】根据图象可得，直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3），所以当x＞﹣1时，直线y＝mx+b，落在直线y＝kx的下方，可得关于x的不等式mx+b＜kx．即可得结论． 【解答】解：根据图象可知： 直线y＝mx+b与y＝kx的交点坐标为：（﹣1，﹣3）， 则方程组的解为：； 则关于x的不等式mx+b＜kx＜0的解集为﹣1＜x＜0， 故答案为：；﹣1＜x＜0． 16．如图，直线y1＝kx+b与直线y2＝﹣x+5交于点（1，m），则关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系解决此题． 【解答】解：当y＝0，﹣x+5＝0． ∴x＝5． 由图可知，当0＜y2＜y1，则5＞x＞1． ∴关于x的不等式组0＜y2＜y1的整数解有2、3、4，共3个． 故选：B． 17．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则下列结论：①m＜0，n＞0；②直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）；③m与n满足m＝2n﹣2；④当x＞﹣2时，（n+1）x＜m﹣4n，其中正确的有 （填所有正确的序号）． 【分析】①由直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴，可得m＜0；y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升，可得n＞0，即可判断结论①正确； ②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，求出y＝0，即可判断结论②正确； ③将x＝﹣2代入两解析式由纵坐标相等，即可判断结论③正确； ④观察函数图象，可知当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方，即nx+4n＞﹣x+m，即可判断结论④错误． 【解答】解：①∵直线y＝﹣x+m与y轴交于负半轴， ∴m＜0； ∵y＝nx+4n（n≠0）的图象从左往右逐渐上升， ∴n＞0， 故结论①正确； ②将x＝﹣4代入y＝nx+4n，得y＝﹣4n+4n＝0， ∴直线y＝nx+4n一定经过点（﹣4，0）． 故结论②正确； ③∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，y＝2+m＝﹣2n+4n， ∴m＝2n﹣2． 故结论③正确； ④∵当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴当x＞﹣2时，nx+4n＞﹣x+m，即（n+1）x＞m﹣4n， 故结论④错误， 故答案为：①②③． 18．如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，以下说法错误的是（ ） A．△ABD的面积为 3 B．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，2） C．△BCD为直角三角形 D．方程组的解为 【分析】求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）；利用勾股定理的逆定理进行判断；根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解． 【解答】解：A、把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b， 可得，解得， ∴直线l1：y＝2x+4， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AO＝2． 把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m， 可得﹣×（﹣）+m＝，解得m＝1， ∴直线l2：y＝﹣x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴D（0，1）， ∴BD＝4﹣1＝3， ∴S△ABD＝BD•AO＝×3×2＝3， 故本选项正确，不符合题意； B、点A关于y轴对称的点为A'（2，0）， 由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）， 故本选项错误，符合题意； C、∵B（0，4），C（﹣，），D（0，1）， ∴BC2＝（0+）2+（4﹣）2＝，CD2＝（0+）2+（1﹣）2＝，BD2＝（1﹣4）2＝9， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， 故本选项正确，不符合题意； D、∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝−x+m都经过C（﹣，）， ∴方程组的解为， 故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 19．已知一次函数y1＝mx﹣2m+4（m≠0）． （1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由； （2）若一次函数y2＝﹣x+6，当m＞0，试比较函数值y1与y2的大小； （3）函数y1随x的增大而减小，且与y轴交于点A，若点A到坐标原点的距离小于6，点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC面积的取值范围． 【分析】（1）把点（2，4）代入解析式即可判断； （2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小； （3）根据题意求得A的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝mx﹣2m+4得，y1＝2m﹣2m+4＝4， ∴点（2，4）在该一次函数的图象上； （2）∵一次函数y2＝﹣x+6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y1＝mx﹣2m+4的图象上， ∴一次函数y2＝﹣x+6的图象与函数y1＝mx﹣2m+4的图象的交点为（2，4）， ∵y2随x的增大而减小，y1随x的增大而增大， ∴当x＞2时，y1＞y2； 当x＝2时，y1＝y2； 当x＜2时，y1＜y2； （3）由题意可知，﹣2m+4＝±6且m＜0， ∴m＝﹣1， ∴A（0，6）， ∵点B，C的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）． ∴AB＝8， ∵＝8， ∴6＜S△ABC＜8． 20．如图，过点B（1，0）的直线l1：y1＝kx+b与直线l2：y2＝2x+4相交于点P（﹣1，a）． （1）求直线l1的解析式． （2）不等式y1≥y2的解集为 ；（直接写出答案） （3）求四边形PAOC的面积． 【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式； （2）不等式y1≥y2即y＝kx+b的函数值不小于2x+4的函数值，观察函数图象得到当x≤﹣1时满足条件； （3）根据S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC可得结论． 【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y2＝2x+4上， ∴a＝2×（﹣1）+4＝2， 则P的坐标为（﹣1，2）， ∵直线l1：y1＝kx+b过点B（1，0），P（﹣1，2）， ∴，解得． ∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1； （2）不等式y1≥y2的解集为x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1； （3）∵直线l1与y轴相交于点C， ∴C的坐标为（0，1）， 又∵直线l2与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为（﹣2，0）， ∴AB＝3， ∴S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC ＝×3×2−×1×1 ＝3﹣ ＝． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图象交于点B（a，2）． （1）求a的值及△ABO的面积； （2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值； （3）直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式，可得C（﹣4，0），根据S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO即可求解； （2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得m的值； （3）找出直线y＝﹣x落在直线y＝kx+b上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（a，2）， ∴2＝﹣a，解得，a＝﹣3， ∴B（﹣3，2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2）， ∴，解得， ∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8， ∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C， 则2x+8＝0，解得x＝﹣4， ∴C（﹣4，0）， ∴S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO＝×4×4﹣×4×2＝4； （2）∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C， ∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x﹣m， ∴0＝﹣×（﹣4）﹣m，解得m＝； （3）∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣3，2）， ∴根据图象可知﹣x＞kx+b的解集为：x＜﹣3． 考点四 一次函数的实际应用 【知识点睛】 一次函数与行程问题方法总结： 图象问题首先确定x轴、y轴的具体意义，其次找拐点； 图象中的拐点一般指行程形式的改变，如从行进到停止、从停止再出发等； 行程问题中，函数图象的表示式中的|k|通常等于速度； 甲乙相距a㎞的问题中，甲在乙的前方a㎞，等价函数关系式为：y甲-y乙=a㎞；乙在甲的前方a㎞，等价函数关系式为：y乙-y甲=a㎞； 另外，注意题目中是否有谁晚出发几小时，因为早出发的人离出发地a㎞，使两人相距a㎞； 或者谁先到目的地后，因为另一个人离目的地a㎞，使两人相距a㎞； 一次函数与几何图形结合问题要点提示： 1.首先明确x轴、y轴的具体意义 2.其次注意拐点的意义 3.一次函数与谁结合，多注意所结合图形的特殊性质的应用。 【类题训练】 1．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 米． （2）小明在书店停留了 分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了 米．一共用了 分钟． （4）在整个上学的途中 （哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是 米/分． 【分析】（1）因为y轴表示路程，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的路程是1500米；（2）与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可． （3）共行驶的路程＝小明家到学校的距离+折回书店的路程×2．（4）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【解答】解：（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校， ∴小明家到学校的路程是1500米． （2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟． （3）1500+600×2＝2700（米） 即：本次上学途中，小明一共行驶了 2700米．一共用了 14分钟． （4）折回之前的速度＝1200÷6＝200（米/分） 折回书店时的速度＝（1200﹣600）÷2＝300（米/分）， 从书店到学校的速度＝（1500﹣600）÷2＝450（米/分） 经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快 即：在整个上学的途中 从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是 450 米/分 2．一条公路沿线有A，B，C三个站点，甲、乙两车分别从A，B站点同时出发，匀速驶达C站．设甲、乙两车行驶xh后，与B站的距离分别为y1km，y2km．y1，y2与x的函数关系如图，则两车相遇的时间是（ ） A．20min B．30min C．60min D．80min 【分析】根据图象，理解甲、乙在行程问题中的路程、速度、时间，由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象过（0，20）（0.5，0）可知A、B两站距离为20km，从A站到B站所用时间位0.5h，可求出甲车的速度为20÷0.5＝40km/h；由乙的图象可知B、C两站的距离是100km，所用时间为4h，则可求乙车的速度；再根据追及问题的数量关系：追及时间＝追及路程÷速度差，即可求出追及时间，即相遇时间．主要考查函数中自变量、因变量的变化关系，图象中点的坐标所表示的实际意义，以及行程问题中速度、路程、时间的关系． 【解答】解：由甲车行驶xh，与B站的距离分别为y1km的图象可知： A，B两个站点的距离为：AB＝20 km，甲车的速度为：20÷0.5＝40km/h； 由乙车行驶xh，与B站的距离分别为y2km的图象可知： B，C两个站点的距离为：BC＝100 km，乙车的速度为：100÷4＝25km/h； 两车相遇的时间就是甲车追上乙车所用时间：20÷（40﹣25）＝h＝80min 故选：D． 3．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为 ． 【分析】设实线表示甲的函数图象，求得在第15到33分时甲的速度，让15分加上甲行1千米用的时间即为第一次相遇的时间；易得乙的速度，乘以48即为全程；设t分时，第2次相遇，易得BC段甲的速度，相遇时甲走的路程等于乙走的路程，把相关数值代入求解后可得正误． 【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min， ∴再行1千米用的时间为9分钟， ∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确； ②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min， 所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min， 所以全长为48×0.25＝12km，故错误； ③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t， 解得t＝38，正确， 故答案为：①③． 4．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ） A．75 B．80 C．85 D．90 【分析】从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，则AH＝＝4a＝BC，当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90，即可求解． 【解答】解：从图2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC， 过点A作AH⊥CD于点H，则DH＝CH＝CD， 在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH， 则AH＝＝4a＝BC， 当点P在点D处时，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5， 则四边形ABCD的面积＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）•4a＝18a2＝90， 故选：D． 5．如图，直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①AB＝10； ②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6； ③点D（，）； 正确的结论是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③，即可求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B， ∴点A（8，0），点B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝＝＝10，故①正确； ∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处， ∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴（8﹣OC）2＝16+OC2， ∴OC＝3， ∴点C（3，0）， 设直线BC解析式为：y＝kx+6， ∴0＝3k+6， ∴k＝﹣2， ∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确； 如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵CD＝OC＝3， ∴CA＝5， ∵S△ACD＝AC×DH＝CD×AD， ∴DH＝＝， ∴当y＝时，＝﹣x+6， ∴x＝， ∴点D（，），故③正确； 故选：D． 6．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ． 【分析】求出B（0，3）、点C（﹣1，0），分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可． 【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b， 解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1， 即点C（﹣1，0）； ①如图，当BD平行x轴时， 点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形， 则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3）， ②当BD不平行x轴时， 则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等， 则直线DD′∥AB， 设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n， 将点D的坐标代入上式并解得：n＝7， 直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7， 设点D′（n，7﹣n）， A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等， 则BD′＝BC＝＝， 解得：n＝3， 故点D′（3，4）； 故答案为：（4，3）或（3，4）． 7．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），并与y轴交于点D，与直线y＝2x﹣4相交于点C． （1）不等式kx+b＞4的解集是 ； （2）求直线AB的函数表达式； （3）直线y＝2x﹣4与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△DEC＝3S△DEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据图象即可确定不等式的解集； （2）待定系数法求解析式即可； （3）先求出E点坐标和D点坐标，再求出交点C的坐标，进一步可得△DEC的面积，根据S△DEC＝3S△DEP，可得S△DEP＝，设点P的坐标为（p，﹣p+5），根据△DEP的面积列方程，即可求出点P坐标． 【解答】解：（1）根据图象，可知不等式kx+b＞4的解集是x＜1， 故答案为：x＜1； （2）将点A（5，0），B（1，4）代入直线y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+5； （3）存在满足条件的点P，理由如下： ∵直线y＝2x﹣4与y轴交于点E， ∴点E坐标为（0，﹣4）， ∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点D， ∴点D坐标为（0，5）， ∴DE＝9， 联立， 解得， ∴点C坐标为（3，2）， ∴S△DEC＝＝， ∵S△DEC＝3S△DEP， ∴S△DEP＝， 设点P的坐标为（p，﹣p+5）， ∴S△DEP＝＝， ∴|p|＝1， ∴p＝1或p＝﹣1， ∴点P坐标为（1，4）或（﹣1，6）． 8．如图，甲乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）试用文字说明，交点P的实际意义． （2）甲车、乙车的行驶速度分别是多少？ （3）求出图中m、a的值． （4）甲车在休息前和休息后行驶距离y（km）与时间x（h）的函数图象的位置是什么关系？写出其各自的函数表达式，并标注相应的x的取值范围． （5）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？ 【分析】（1）根据图象以及点P的坐标即可得出交点P的实际意义； （2）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以分别求出甲车、乙车的行驶速度； （3）根据图象即可求出a的值和m的值； （4）甲车在休息前0≤x≤1，甲车在休息前和休息后1.5＜x≤7，根据图象利用待定系数法分别求出各自的函数表达式； （5）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）交点P的实际意义是：甲出发3.5小时时，甲车和乙车在距离B地120千米处相遇； （2）由图象可知，甲车3.5﹣0.5＝3小时行驶120千米， 所以甲车的行驶速度是120÷（3.5﹣0.5）＝40（千米/时）， 乙车的行驶速度是120÷（3.5﹣2）＝80（千米/时）； （3）由题意，得 m＝1.5﹣0.5＝1． ∵甲车的行驶速度是40千米/时， ∴a＝40×1＝40． 故a＝40，m＝1； （4）①甲车在休息前即当0≤x≤1时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x， 由题意，得40＝k1，则y＝40x； ②甲车在休息后即当1.5＜x≤7时，设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b， 由题意，得，解得：， 则y＝40x﹣20； （3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3， 由题意，得，解得：， 则y＝80x﹣160． 当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝． 当40x﹣20+50＝80x﹣160时，解得：x＝． ﹣2＝，﹣2＝． 答：乙车行驶或小时，两车恰好相距50km． 步骤普通一次函数具体操作正比例函数具体操作1.“设”设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0）2.“代入”把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程3.“解”解这个关于k、b的二元一次方程组解这个关于k的一元一次方程4.“再代入”把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式步骤一次函数正比例函数找点找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点找除原点外的任意一个点描点在平面直角坐标系中描出所找的点的位置连线过这两个点画一条直线过原点和这个点画一条直线k＞0k＜0性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小直线走势从左往右看上升从左往右看下降增减应用当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）必过象限直线必过第一、三象限直线必过第二、四象限b＞0直线过第一、二、三象限直线过第一、二、四象限b=0（正比例函数）直线过第一、三象限直线过第二、四象限正比例函数必过原点（0,0）b＜0直线过第一、三、四象限直线过第二、三、四象限一次函数y=kx+b作用具体应用与一元一次方程的关系求与x轴交点坐标方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴的交点横坐标与二元一次方程组的关系求两直线交点坐标方程组的解是直线与直线的交点坐标与一元一次不等式（组）的关系一元一次不等（如kx+b＞0）的解可以由函数图象观察得出由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标， ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。x﹣2﹣1012y﹣3﹣1135
相关资料
更多
