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2022-2023学年广西壮族自治区部分学校、部分地区高二下学期5月检测数学试题（含解析）
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这是一份2022-2023学年广西壮族自治区部分学校、部分地区高二下学期5月检测数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(3−i)2=( )
A. 10−6iB. 10+6iC. 8−6iD. 8+6i
2.已知集合A={x||x−2|<1}，B=x|y=ln(2−x) x+1，则A∩B= ．
A. {x|13.某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12.这组数据的第80百分位数是
( )
A. 12B. 13C. 13.5D. 14
4.已知向量a=(1,3,0)，b=(2,1,1)，则向量a在向量b上的投影向量c=( )
A. (52,54,54)B. (53,56,56)C. (54,58,58)D. (2,4,4)
5.在等比数列{an}中，a5=7，则
．( )
A. a3+a7没有最小值B. a3+a7的最小值为18
C. a3+a7的最小值为2 7D. a3+a7的最小值为14
6.设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为38，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为35，则事件B发生的概率为
．( )
A. 25B. 35C. 58D. 38
7.已知a=lg32，b=lg64，c=lg96，则( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. a>c>b
8.如图，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若MF=3FN，OM=3OP，OP⋅PF=0，则双曲线的离心率为
( )
A. 62B. 2C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆心在x轴上，半径为2，且与直线x−y=0相切的圆的方程可能是
( )
A. (x−2 2)2+y2=4B. (x−2)2+y2=4
C. (x+2 2)2+y2=4D. (x+2)2+y2=4
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的图象可以由函数g(x)=2sinx的图象( )
A. 先把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到
B. 先把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再所有点的向右平移π12个单位长度得到
C. 先向右平移π12个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到
D. 先向右平移π6个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到
11.如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华、小齐分别在道路网的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有
( )
A. 小明可以选择的不同路径共有20种
B. 小明与小齐能相遇的不同路径共有12种
C. 小明与小华能相遇的不同路径共有164种
D. 小明、小华、小齐三人能相遇的概率为81400
12.若不等式lna+b−aeb−1≥0恒成立(其中e为自然对数的底数)，则ba的值可能为
( )
A. e−1B. e−2C. −e−1D. −e−2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.两个单位向量a，b的夹角为2π3，则|2a−b|= ．
14.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，M(x0,y0)是抛物线C上一点，若|MF|=43x0，则x0= ．
15.定义在R上的奇函数f(x)满足∀x∈R，f(x)+f(4−x)=0，且当016.2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图(1)所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为6 3cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，A1，B1，C1，D1，E1，F1为圆O上的点，如图(2)所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F1重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF的边长为 cm．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a+2b=3ccs B．
(1)求cs C的值；
(2)若c=2 5，a+b=2 6，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，anbn=an+2bn+1．
(1)若{an}是等比数列，且9，3a2，a3成等差数列，求{bn}的通项公式；
(2)若{an}是公差为2的等差数列，证明：b1+b2+b3+…+bn<32．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D为AB的中点，C1E=λC1C(0<λ<1)，A1A= 3AB=2 3．
(1)若λ=12，证明：DE⊥平面A1B1E．
(2)若直线BC1与平面A1B1E所成角为π3，求λ的值．
20.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，已知A(−5,0)，B(5,0)，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为−15，记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点，且线段MN的中点Q53,−13，求|MN|.
21.(本小题12分)
甲、乙两人进行了一次羽毛球比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛结束．假设在一局比赛中若甲先发球，则这局甲获胜的概率是23；若乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是12.已知第1局比赛甲先发球，以后每局比赛由前1局获胜的一方先发球，且各局比赛结果相互独立，每局比赛都分出胜负．
(1)求比赛只进行3局就结束的概率；
(2)记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−x，g(x)=xlnx−x2．
(1)判断f(x)和g(x)的单调性；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．
利用复数的乘法运算法则即可求解．
【解答】
解：(3−i)2=32−2×3×i+i2=8−6i，
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的描述法定义，绝对值不等式和对数、二次根式的定义域，以及交集运算，属于基础题．
可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：集合A={x||x−2|<1}={x|1B=x|y=ln(2−x) x+1={x|−1∴A∩B={x|1故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了百分位数，是基础题．
先将14个数据从小到大排序，再结合百分位数概念可得答案．
【解答】
解：将14个数据从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，
因为14×80%=11.2，
所以第80百分位数是第12个数据，即14．
故选：D
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
【解答】
解：因为向量a=(1,3,0)，b=(2,1,1)，
所以向量a在向量b上的投影向量
c=acs·b|b|=56b=(53,56,56).
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质及基本不等式求最值，属于基础题．
根据等比数列的性质及基本不等式求最值即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a5=7>0，
所以a3=a5q2>0，a7=a5q2>0，
所以a3+a7≥2 a3a7=2a5=14，
当且仅当a3=a7时取等号．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
由条件概率得出PB=PABPA|B，代入数值计算即可．
【解答】
解：因为PA|B=PABPB，所以PB=PABPA|B=3835=58．
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质及对数运算，属基础题．
利用不等式的性质及对数运算比较大小．
【解答】
解：因为lg2lg3所以lg32即c>b>a．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了求双曲线的离心率，属于中档题．
【解答】
解：设M(x1,bax1)，N(x2,−bax2)，
因为F(c,0)，所以MF=(c−x1,−bax1)，FN=(x2−c,−bax2).
又MF=3FN，
所以c−x1=3x2−3c−bax1=−3bax2则x1=2c，x2=2c3．
因为OP⋅PF=0，所以|OP|=a．
又OM=3OP，所以|OM|=3a，
所以4c2+4b2c2a2=9a2，则c4a4=94，则e= 62．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离公式的应用，关键是求圆心坐标，属于基础题．
设圆心坐标为(a,0)，由题意利用点到直线的距离公式求得a的值，可得圆的方程．
【解答】
解：依题可设圆心坐标为(a,0)，
则|a| 2=2，解得a=±2 2，
则圆的方程为(x−2 2)2+y2=4或(x+2 2)2+y2=4，
故选 AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象变换及由图象求解析式，属于中档题．
先根据图象求出解析式，再根据正弦型函数图象的变换即可求解．
【解答】
解：由图象可得，f(x)的图象经过点(0,−1)和(π3,2)，
代入解析式可得2sinφ=−1,2sin(πω3+φ)=2,
结合图象解得φ=−π6+2kπ,k∈Z,πω3+φ=π2+2kπ,k∈Z.，
又因为ω>0，|φ|<π，T=2π|ω|>π3×2，
所以φ=−π6,ω=2,
故f(x)=2sin(2x−π6).
根据三角函数的平移变换规则可得AD正确．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了古典概型及其计算、组合数公式等，属中档题．
小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小华从B到A需要走6步，其中有3步向下走，3步向左走，结合组合数公式进行分析即可判断各选项．
【解答】
解：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以选择的不同路径共有C63=20种，A正确;
小明与小齐相遇，则小明经过C，小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为C31，再从C到B也有3种方法，所以小明与小齐能相遇的不同路径共有9种，B不正确;
小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，不同路径共有2C33C33C33C33+2C31C31C32C32=164种，C正确;
小明从A到B的不同路径共有C63=20种，小华从B到A的不同路径共有C63=20种，所以一共有400种，则小明、小华、小齐三人相遇的概率P=C31C31C32C32C63C63=81400，D正确．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数判断函数单调性，求值域，属于拔高题．
【解答】
解：因为lna+b−aeb−1≥0，所以lna+b−elnaeb−1≥0，
则lna+b≥elna+b−1．
令f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1．
当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1，从而elna+b−1≥lna+b，当且仅当lna+b−1=0时，等号成立．
又lna+b≥elna+b−1，所以lna+b=1，则b=1−lna，所以ba=1−lnaa．
令g(x)=1−lnxx，则g′(x)=−1−(1−lnx)x2=lnx−2x2．
当x∈(0,e2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减;
当x∈(e2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
故g(x)min=g(e2)=−e−2，且当x→0时，g(x)→+∞，故选ABD．
13.【答案】 7
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量数量积的运算，属于基础题．
由条件即可求出a⋅b=−12，利用向量的数量积求向量的模，|2a−b|= 4a2−4a⋅b+4b2，代入求值即可得解．
【解答】
解：因为单位向量a,b的夹角为2π3，则|a|=1,|b|=1，
所以a⋅b=|a|⋅|b|cs 2π3=−12，
所以|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2= 4−4×(−12)+1= 7．
故答案为 7．
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查准线方程的运用，注意定义法解题，属于基础题．
由已知得，抛物线C：y2=12x的准线方程为x=−3，再由抛物线的定义可得，M到焦点的距离即为M到准线的距离，可得x0+3=43x0，解方程即可得到所求值．
【解答】
解：抛物线C：y2=12x的准线方程为x=−3，
由抛物线的定义可得，M到焦点的距离即为M到准线的距离，
即有|MF|=x0+3=43x0，
解得x0=9．
故答案为：9．
15.【答案】1012
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，利用函数的对称性分析f(x)的周期，利用赋值法求出f(2)，f(3)，f(4)的值，即可得|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|的值，结合周期性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，f(x)为定义域为R的奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由∀x∈R，f(x)+f(4−x)=0，即f(x)=−f(4−x)=f(x−4)，
变形可得f(x+4)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，
当0又由∀x∈R，f(x)+f(4−x)=0，令x=1可得：f(1)+f(3)=0，则f(3)=1，
又f(x)为定义域为R的奇函数，则f(0)=0，
在f(x)+f(4−x)=0中，令x=0可得：f(0)+f(4)=0，即f(4)=0，
令x=2可得：f(2)+f(2)=0，则有f(2)=0，
故|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|=2，
故i=12023|f(i)|=505×(|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|)+(|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|)=1012．
故答案为：1012．
16.【答案】245
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，导数的应用，属于难题．
连接 OE1，交EF于点H，设EF=2xcm，则OH= 3xcm， E1H=6 3− 3xcm，写出棱锥体积公式，构造函数，再由导数求最值，进而得到边长．
【解答】
解：连接 OE1，交EF于点H，由题意得 OE1 ⊥EF，
设EF=2xcm，则OH= 3xcm， E1H=6 3− 3xcm，
因为 0<2x<6 3,6 3− 3x> 3x,所以x∈(0,3)，
六棱锥的高h= E1H2−OH2= (6 3− 3x)2−( 3x)2= 6 3−xcm，
正六边形ABCDEF的面积S=6× 34×(2x)2=6 3x2 cm2，
则六棱锥的体积V=13Sh=13×6 3x2×6 3−x=12 3 3x4−x5cm3．
令函数f(x)=3x4−x5 ，x∈(0,3)，
则f′(x)=12x3−5x4=x312−5x，
当 x∈(0,125)时，f′(x)>0;当x∈(125,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,125)上单调递增，在(125,3)上单调递减，
所以当x=125时，正六棱锥的体积最大，此时正六边形ABCDEF的底面边长为 2x=245cm．
17.【答案】解：(1)因为3a+2b=3ccsB，所以由正弦定理，得3sinA+2sinB=3sinCcsB.
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以3sinBcsC+2sinB=0．
因为sinB≠0，所以csC=−23．
(2)由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC==a2+b2+43ab=(a+b)2−23ab，
因为c=2 5，a+b=2 6，所以ab=6．
又sinC= 1−cs2C= 53，
所以△ABC的面积S=12absinC= 5．
【解析】本题考查了正、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．
(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinB≠0，即可求出csC的值；
(2)利用余弦定理求出ab，再利用三角形面积公式即可求解．
18.【答案】(1)解：设an的公比为q，因为9，3a2，a3成等差数列，
所以6a2=a3+9．
又a1=1，所以q2−6q+9=0，解得q=3．
由anbn=an+2bn+1，得bn+1bn=anan+2=1q2=19．
因为b1=1，所以bn=(19)n−1．
(2)证明：因为{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an=2n−1，an+2=2n+3．
由anbn=an+2bn+1，得bn+1bn=anan+2=2n−12n+3，
则bn=bnbn−1×bn−1bn−2×bn−2bn−3×⋯×b2b1×b1=2n−32n+1×2n−52n−1×2n−72n−3×⋯×37×15×1
=3(2n+1)(2n−1)=32(12n−1−12n+1).
b1+b2+b3+⋯+bn=32(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=32(1−12n+1)<32．
【解析】本题考查等比数列通项公式、等差中项、累乘法求通项公式、裂项相消求和，属于中档题．
(1)设an的公比为q，由9，3a2，a3成等差数列，求出q，再由anbn=an+2bn+1，得bn+1bn=19即可求{bn}的通项公式；
(2)由anbn=an+2bn+1以及an的性质，得bn+1bn=2n−12n+3，由bn=bnbn−1×bn−1bn−2×bn−2bn−3×⋯×b2b1×b1=32(12n−1−12n+1).求和采用裂项相消法即可．
19.【答案】(1)证明：取A1B1的中点F，连接EF，DF，DC，FC1，
由题意得DE=EF= 6，DF=A1A=2 3，
所以DE2+EF2=DF2，则DE⊥EF，
因为A1B1⊥C1F，A1B1⊥DF，C1F⋂DF=F，C1F、DF⊂平面DCC1F，
所以A1B1⊥平面DCC1F，又DE⊂平面DCC1F，所以DE⊥A1B1，
因为A1B1∩EF=F，A1B1、EF⊂平面A1B1E，所以DE⊥平面A1B1E；
(2)解：以D为坐标原点，DB，DC，DF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则A1(−1,0,2 3)，B(1,0,0)，C1(0, 3,2 3)，B1(1,0,2 3)，
设E(0, 3,a)，a∈(0,2 3)，
A1E=(1, 3,a−2 3)，A1B1=(2,0,0)，BC1=(−1, 3,2 3)，
设平面A1B1E的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1B1=2x=0n⋅A1E=x+ 3y+(a−2 3)z=0,
取y=2 3−a，则n=(0,2 3−a, 3)，
设直线BC1与平面A1B1E所成的角为θ，
所以sinθ=|cs|=|n⋅BC1||n||BC1|=|− 3a+12|4 a2−4 3a+15= 32，
化简得3a2−8 3a+12=0，解得a=2 33或a=2 3，
当a=2 3时，点E与点C1重合，此时λ=0，不符合题意，
所以λ=C1EC1C=23，即λ的值为23．
【解析】本题考查了线面垂直的证明，向量法求线面角，属于中档题．
(1)取A1B1的中点F，连接EF，DF，DC，FC1，根据几何体的性质得出DE⊥EF，以及A1B1⊥平面DCC1F，得DE⊥A1B1，利用直线与平面垂直的判定定理即可证明．
(2)建立空间直角坐标系，设E(0, 3,a)，a∈(0,2 3)，求出平面A1B1E的一个法向量n=(0,2 3−a, 3)，即可利用夹角公式求得a=2 33，进而得λ值．
20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题可得x≠±5，
则kPAkPB=yx+5⋅yx−5=−15，整理得x225+y25=1，
故曲线C的方程为x225+y25=1(x≠±5)．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1225+y125=1,x2225+y225=1两式相减得x12−x2225+y12−y225=0，则y1−y2x1−x2=−x1+x25(y1+y2)，
因为线段MN的中点Q(53,−13)，所以x1+x22=53，y1+y22=−13，
所以y1−y2x1−x2=1，故直线l的方程为y−(−13)=x−53，即y=x−2．
联立方程组x225+y25=1,y=x−2,消去y整理得6x2−20x−5=0，
则x1+x2=103，x1x2=−56，
则|MN|= 2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 2⋅ 1009−4·(−56)=2 653．
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率，考查弦长问题，考查中点坐标，属于中档题．
(1)设P(x,y)，由题可得x≠±5，则kPAkPB=yx+5⋅yx−5=−15，化简整理即可；
(2)先利用点差法求出直线的斜率，写出直线方程，再联立椭圆方程利用韦达定理求弦长即可．
21.【答案】解：(1)比赛只进行3局就结束的情况有两种：
第一种情况是甲3: 0获胜，其概率P1=(23)3=827;
第二种情况是乙3:0获胜，其概率P2=13×(12)2=112．
故比赛只进行3局就结束的概率P=P1+P2=827+112=41108．
(2)由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，
P(X=0)=112，
P(X=1)=23×13×(12)2+13×12×13×12+13×12×12×13=19，
P(X=2)=(23)2×13×(12)2+23×13×12×13×12+23×13×12×12×13+13×12×23×13×12+13×12×13×12×13+13×12×12×23×13=13108，
P(X=3)=1−112−19−13108=3754，
则X的分布列为
故E(X)=0×112+1×19+2×13108+3×3754=6527．
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
(1)比赛只进行3局就结束的情况有两种，第一种情况是甲3: 0获胜和第二种情况是乙3:0获胜，由相互独立事件的概率乘法公式可得结果；
(2)由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，得出对应概率，可得X的分布列及期望．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−x，所以f′(x)=aex−1．
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减;
当a>0时，由f′(x)=aex−1=0，得x=ln1a，
所以f(x)在(−∞,ln1a)上单调递减，在(ln1a,+∞)上单调递增．
因为g(x)=xlnx−x2，所以g′(x)=lnx+1−2x．
令h(x)=lnx+1−2x，则h′(x)=1x−2=1−2xx．
当h′(x)>0时，012．
所以h(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，所以h(x)max=h(12)=ln12<0，
所以g′(x)=h(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．
(2)因为f(x)等价于a令φ(x)=xlnx−x2+xex，则φ′(x)=(x−1)(x−2−lnx)ex．
令u(x)=x−2−lnx，则u′(x)=x−1x，
所以u(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以u(x)min=u(1)=−1．
因为u(e−2)=e−2−2+2=e−2>0，u(e2)=e2−2−2=e2−4>0，
所以存在x1∈(e−2,1)，x2∈(1,e2)，使得u(x)=0．
当x∈(0,x1)时，φ′(x)<0，此时φ(x)单调递减;当x∈(x1,1)时，φ′(x)>0，此时φ(x)单调递增;
当x∈(1,x2)时，φ′(x)<0，此时φ(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时，φ′(x)>0，此时φ(x)单调递增．
所以φ(x)存在两个极小值φ(x1)，φ(x2).
因为x1，x2分别为x−2−lnx=0的两根，所以x1−2−lnx1=0，x1−2=lnx1，
所以ex1−2=x1，
所以φ(x1)=x1lnx1−x12+x1ex1=x12−x12−2x1+x1ex1=−x1ex1=−ex1−2ex1=−e−2．
同理可得φ(x2)=−e−2，所以φ(x)min=−e−2．
故实数a的取值范围是(−∞,−e−2).
【解析】本题考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性和最值，涉及导数中的不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于较难题．
(1)先求出函数f(x)的导函数，然后对a分类讨论，确定导函数符号即可得到函数f(x)的单调性；求g(x)的导函数，利用二次求导寻找导函数的最值，确定导函数的符号，得到g(x)的单调性．
(2)根据f(x)0
1
2
3
P
112
19
13108
3754
1.(3−i)2=( )
A. 10−6iB. 10+6iC. 8−6iD. 8+6i
2.已知集合A={x||x−2|<1}，B=x|y=ln(2−x) x+1，则A∩B= ．
A. {x|1
( )
A. 12B. 13C. 13.5D. 14
4.已知向量a=(1,3,0)，b=(2,1,1)，则向量a在向量b上的投影向量c=( )
A. (52,54,54)B. (53,56,56)C. (54,58,58)D. (2,4,4)
5.在等比数列{an}中，a5=7，则
．( )
A. a3+a7没有最小值B. a3+a7的最小值为18
C. a3+a7的最小值为2 7D. a3+a7的最小值为14
6.设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为38，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为35，则事件B发生的概率为
．( )
A. 25B. 35C. 58D. 38
7.已知a=lg32，b=lg64，c=lg96，则( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. a>c>b
8.如图，已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若MF=3FN，OM=3OP，OP⋅PF=0，则双曲线的离心率为
( )
A. 62B. 2C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆心在x轴上，半径为2，且与直线x−y=0相切的圆的方程可能是
( )
A. (x−2 2)2+y2=4B. (x−2)2+y2=4
C. (x+2 2)2+y2=4D. (x+2)2+y2=4
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的图象可以由函数g(x)=2sinx的图象( )
A. 先把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到
B. 先把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再所有点的向右平移π12个单位长度得到
C. 先向右平移π12个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到
D. 先向右平移π6个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到
11.如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华、小齐分别在道路网的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有
( )
A. 小明可以选择的不同路径共有20种
B. 小明与小齐能相遇的不同路径共有12种
C. 小明与小华能相遇的不同路径共有164种
D. 小明、小华、小齐三人能相遇的概率为81400
12.若不等式lna+b−aeb−1≥0恒成立(其中e为自然对数的底数)，则ba的值可能为
( )
A. e−1B. e−2C. −e−1D. −e−2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.两个单位向量a，b的夹角为2π3，则|2a−b|= ．
14.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，M(x0,y0)是抛物线C上一点，若|MF|=43x0，则x0= ．
15.定义在R上的奇函数f(x)满足∀x∈R，f(x)+f(4−x)=0，且当0
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a+2b=3ccs B．
(1)求cs C的值；
(2)若c=2 5，a+b=2 6，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，anbn=an+2bn+1．
(1)若{an}是等比数列，且9，3a2，a3成等差数列，求{bn}的通项公式；
(2)若{an}是公差为2的等差数列，证明：b1+b2+b3+…+bn<32．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D为AB的中点，C1E=λC1C(0<λ<1)，A1A= 3AB=2 3．
(1)若λ=12，证明：DE⊥平面A1B1E．
(2)若直线BC1与平面A1B1E所成角为π3，求λ的值．
20.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，已知A(−5,0)，B(5,0)，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为−15，记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点，且线段MN的中点Q53,−13，求|MN|.
21.(本小题12分)
甲、乙两人进行了一次羽毛球比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛结束．假设在一局比赛中若甲先发球，则这局甲获胜的概率是23；若乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是12.已知第1局比赛甲先发球，以后每局比赛由前1局获胜的一方先发球，且各局比赛结果相互独立，每局比赛都分出胜负．
(1)求比赛只进行3局就结束的概率；
(2)记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−x，g(x)=xlnx−x2．
(1)判断f(x)和g(x)的单调性；
(2)若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．
利用复数的乘法运算法则即可求解．
【解答】
解：(3−i)2=32−2×3×i+i2=8−6i，
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的描述法定义，绝对值不等式和对数、二次根式的定义域，以及交集运算，属于基础题．
可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：集合A={x||x−2|<1}={x|1
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了百分位数，是基础题．
先将14个数据从小到大排序，再结合百分位数概念可得答案．
【解答】
解：将14个数据从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，
因为14×80%=11.2，
所以第80百分位数是第12个数据，即14．
故选：D
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
【解答】
解：因为向量a=(1,3,0)，b=(2,1,1)，
所以向量a在向量b上的投影向量
c=acs
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质及基本不等式求最值，属于基础题．
根据等比数列的性质及基本不等式求最值即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，
因为a5=7>0，
所以a3=a5q2>0，a7=a5q2>0，
所以a3+a7≥2 a3a7=2a5=14，
当且仅当a3=a7时取等号．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
由条件概率得出PB=PABPA|B，代入数值计算即可．
【解答】
解：因为PA|B=PABPB，所以PB=PABPA|B=3835=58．
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质及对数运算，属基础题．
利用不等式的性质及对数运算比较大小．
【解答】
解：因为lg2lg3
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了求双曲线的离心率，属于中档题．
【解答】
解：设M(x1,bax1)，N(x2,−bax2)，
因为F(c,0)，所以MF=(c−x1,−bax1)，FN=(x2−c,−bax2).
又MF=3FN，
所以c−x1=3x2−3c−bax1=−3bax2则x1=2c，x2=2c3．
因为OP⋅PF=0，所以|OP|=a．
又OM=3OP，所以|OM|=3a，
所以4c2+4b2c2a2=9a2，则c4a4=94，则e= 62．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离公式的应用，关键是求圆心坐标，属于基础题．
设圆心坐标为(a,0)，由题意利用点到直线的距离公式求得a的值，可得圆的方程．
【解答】
解：依题可设圆心坐标为(a,0)，
则|a| 2=2，解得a=±2 2，
则圆的方程为(x−2 2)2+y2=4或(x+2 2)2+y2=4，
故选 AC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象变换及由图象求解析式，属于中档题．
先根据图象求出解析式，再根据正弦型函数图象的变换即可求解．
【解答】
解：由图象可得，f(x)的图象经过点(0,−1)和(π3,2)，
代入解析式可得2sinφ=−1,2sin(πω3+φ)=2,
结合图象解得φ=−π6+2kπ,k∈Z,πω3+φ=π2+2kπ,k∈Z.，
又因为ω>0，|φ|<π，T=2π|ω|>π3×2，
所以φ=−π6,ω=2,
故f(x)=2sin(2x−π6).
根据三角函数的平移变换规则可得AD正确．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了古典概型及其计算、组合数公式等，属中档题．
小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小华从B到A需要走6步，其中有3步向下走，3步向左走，结合组合数公式进行分析即可判断各选项．
【解答】
解：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以选择的不同路径共有C63=20种，A正确;
小明与小齐相遇，则小明经过C，小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为C31，再从C到B也有3种方法，所以小明与小齐能相遇的不同路径共有9种，B不正确;
小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，不同路径共有2C33C33C33C33+2C31C31C32C32=164种，C正确;
小明从A到B的不同路径共有C63=20种，小华从B到A的不同路径共有C63=20种，所以一共有400种，则小明、小华、小齐三人相遇的概率P=C31C31C32C32C63C63=81400，D正确．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数判断函数单调性，求值域，属于拔高题．
【解答】
解：因为lna+b−aeb−1≥0，所以lna+b−elnaeb−1≥0，
则lna+b≥elna+b−1．
令f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1．
当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1，从而elna+b−1≥lna+b，当且仅当lna+b−1=0时，等号成立．
又lna+b≥elna+b−1，所以lna+b=1，则b=1−lna，所以ba=1−lnaa．
令g(x)=1−lnxx，则g′(x)=−1−(1−lnx)x2=lnx−2x2．
当x∈(0,e2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减;
当x∈(e2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
故g(x)min=g(e2)=−e−2，且当x→0时，g(x)→+∞，故选ABD．
13.【答案】 7
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，向量数量积的运算，属于基础题．
由条件即可求出a⋅b=−12，利用向量的数量积求向量的模，|2a−b|= 4a2−4a⋅b+4b2，代入求值即可得解．
【解答】
解：因为单位向量a,b的夹角为2π3，则|a|=1,|b|=1，
所以a⋅b=|a|⋅|b|cs 2π3=−12，
所以|2a−b|= 4a2−4a⋅b+b2= 4−4×(−12)+1= 7．
故答案为 7．
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查准线方程的运用，注意定义法解题，属于基础题．
由已知得，抛物线C：y2=12x的准线方程为x=−3，再由抛物线的定义可得，M到焦点的距离即为M到准线的距离，可得x0+3=43x0，解方程即可得到所求值．
【解答】
解：抛物线C：y2=12x的准线方程为x=−3，
由抛物线的定义可得，M到焦点的距离即为M到准线的距离，
即有|MF|=x0+3=43x0，
解得x0=9．
故答案为：9．
15.【答案】1012
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，利用函数的对称性分析f(x)的周期，利用赋值法求出f(2)，f(3)，f(4)的值，即可得|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|的值，结合周期性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，f(x)为定义域为R的奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由∀x∈R，f(x)+f(4−x)=0，即f(x)=−f(4−x)=f(x−4)，
变形可得f(x+4)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，
当0
又f(x)为定义域为R的奇函数，则f(0)=0，
在f(x)+f(4−x)=0中，令x=0可得：f(0)+f(4)=0，即f(4)=0，
令x=2可得：f(2)+f(2)=0，则有f(2)=0，
故|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|=2，
故i=12023|f(i)|=505×(|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|)+(|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|)=1012．
故答案为：1012．
16.【答案】245
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，导数的应用，属于难题．
连接 OE1，交EF于点H，设EF=2xcm，则OH= 3xcm， E1H=6 3− 3xcm，写出棱锥体积公式，构造函数，再由导数求最值，进而得到边长．
【解答】
解：连接 OE1，交EF于点H，由题意得 OE1 ⊥EF，
设EF=2xcm，则OH= 3xcm， E1H=6 3− 3xcm，
因为 0<2x<6 3,6 3− 3x> 3x,所以x∈(0,3)，
六棱锥的高h= E1H2−OH2= (6 3− 3x)2−( 3x)2= 6 3−xcm，
正六边形ABCDEF的面积S=6× 34×(2x)2=6 3x2 cm2，
则六棱锥的体积V=13Sh=13×6 3x2×6 3−x=12 3 3x4−x5cm3．
令函数f(x)=3x4−x5 ，x∈(0,3)，
则f′(x)=12x3−5x4=x312−5x，
当 x∈(0,125)时，f′(x)>0;当x∈(125,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,125)上单调递增，在(125,3)上单调递减，
所以当x=125时，正六棱锥的体积最大，此时正六边形ABCDEF的底面边长为 2x=245cm．
17.【答案】解：(1)因为3a+2b=3ccsB，所以由正弦定理，得3sinA+2sinB=3sinCcsB.
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以3sinBcsC+2sinB=0．
因为sinB≠0，所以csC=−23．
(2)由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC==a2+b2+43ab=(a+b)2−23ab，
因为c=2 5，a+b=2 6，所以ab=6．
又sinC= 1−cs2C= 53，
所以△ABC的面积S=12absinC= 5．
【解析】本题考查了正、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．
(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinB≠0，即可求出csC的值；
(2)利用余弦定理求出ab，再利用三角形面积公式即可求解．
18.【答案】(1)解：设an的公比为q，因为9，3a2，a3成等差数列，
所以6a2=a3+9．
又a1=1，所以q2−6q+9=0，解得q=3．
由anbn=an+2bn+1，得bn+1bn=anan+2=1q2=19．
因为b1=1，所以bn=(19)n−1．
(2)证明：因为{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an=2n−1，an+2=2n+3．
由anbn=an+2bn+1，得bn+1bn=anan+2=2n−12n+3，
则bn=bnbn−1×bn−1bn−2×bn−2bn−3×⋯×b2b1×b1=2n−32n+1×2n−52n−1×2n−72n−3×⋯×37×15×1
=3(2n+1)(2n−1)=32(12n−1−12n+1).
b1+b2+b3+⋯+bn=32(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=32(1−12n+1)<32．
【解析】本题考查等比数列通项公式、等差中项、累乘法求通项公式、裂项相消求和，属于中档题．
(1)设an的公比为q，由9，3a2，a3成等差数列，求出q，再由anbn=an+2bn+1，得bn+1bn=19即可求{bn}的通项公式；
(2)由anbn=an+2bn+1以及an的性质，得bn+1bn=2n−12n+3，由bn=bnbn−1×bn−1bn−2×bn−2bn−3×⋯×b2b1×b1=32(12n−1−12n+1).求和采用裂项相消法即可．
19.【答案】(1)证明：取A1B1的中点F，连接EF，DF，DC，FC1，
由题意得DE=EF= 6，DF=A1A=2 3，
所以DE2+EF2=DF2，则DE⊥EF，
因为A1B1⊥C1F，A1B1⊥DF，C1F⋂DF=F，C1F、DF⊂平面DCC1F，
所以A1B1⊥平面DCC1F，又DE⊂平面DCC1F，所以DE⊥A1B1，
因为A1B1∩EF=F，A1B1、EF⊂平面A1B1E，所以DE⊥平面A1B1E；
(2)解：以D为坐标原点，DB，DC，DF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则A1(−1,0,2 3)，B(1,0,0)，C1(0, 3,2 3)，B1(1,0,2 3)，
设E(0, 3,a)，a∈(0,2 3)，
A1E=(1, 3,a−2 3)，A1B1=(2,0,0)，BC1=(−1, 3,2 3)，
设平面A1B1E的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1B1=2x=0n⋅A1E=x+ 3y+(a−2 3)z=0,
取y=2 3−a，则n=(0,2 3−a, 3)，
设直线BC1与平面A1B1E所成的角为θ，
所以sinθ=|cs
化简得3a2−8 3a+12=0，解得a=2 33或a=2 3，
当a=2 3时，点E与点C1重合，此时λ=0，不符合题意，
所以λ=C1EC1C=23，即λ的值为23．
【解析】本题考查了线面垂直的证明，向量法求线面角，属于中档题．
(1)取A1B1的中点F，连接EF，DF，DC，FC1，根据几何体的性质得出DE⊥EF，以及A1B1⊥平面DCC1F，得DE⊥A1B1，利用直线与平面垂直的判定定理即可证明．
(2)建立空间直角坐标系，设E(0, 3,a)，a∈(0,2 3)，求出平面A1B1E的一个法向量n=(0,2 3−a, 3)，即可利用夹角公式求得a=2 33，进而得λ值．
20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题可得x≠±5，
则kPAkPB=yx+5⋅yx−5=−15，整理得x225+y25=1，
故曲线C的方程为x225+y25=1(x≠±5)．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1225+y125=1,x2225+y225=1两式相减得x12−x2225+y12−y225=0，则y1−y2x1−x2=−x1+x25(y1+y2)，
因为线段MN的中点Q(53,−13)，所以x1+x22=53，y1+y22=−13，
所以y1−y2x1−x2=1，故直线l的方程为y−(−13)=x−53，即y=x−2．
联立方程组x225+y25=1,y=x−2,消去y整理得6x2−20x−5=0，
则x1+x2=103，x1x2=−56，
则|MN|= 2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 2⋅ 1009−4·(−56)=2 653．
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率，考查弦长问题，考查中点坐标，属于中档题．
(1)设P(x,y)，由题可得x≠±5，则kPAkPB=yx+5⋅yx−5=−15，化简整理即可；
(2)先利用点差法求出直线的斜率，写出直线方程，再联立椭圆方程利用韦达定理求弦长即可．
21.【答案】解：(1)比赛只进行3局就结束的情况有两种：
第一种情况是甲3: 0获胜，其概率P1=(23)3=827;
第二种情况是乙3:0获胜，其概率P2=13×(12)2=112．
故比赛只进行3局就结束的概率P=P1+P2=827+112=41108．
(2)由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，
P(X=0)=112，
P(X=1)=23×13×(12)2+13×12×13×12+13×12×12×13=19，
P(X=2)=(23)2×13×(12)2+23×13×12×13×12+23×13×12×12×13+13×12×23×13×12+13×12×13×12×13+13×12×12×23×13=13108，
P(X=3)=1−112−19−13108=3754，
则X的分布列为
故E(X)=0×112+1×19+2×13108+3×3754=6527．
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．
(1)比赛只进行3局就结束的情况有两种，第一种情况是甲3: 0获胜和第二种情况是乙3:0获胜，由相互独立事件的概率乘法公式可得结果；
(2)由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，得出对应概率，可得X的分布列及期望．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−x，所以f′(x)=aex−1．
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减;
当a>0时，由f′(x)=aex−1=0，得x=ln1a，
所以f(x)在(−∞,ln1a)上单调递减，在(ln1a,+∞)上单调递增．
因为g(x)=xlnx−x2，所以g′(x)=lnx+1−2x．
令h(x)=lnx+1−2x，则h′(x)=1x−2=1−2xx．
当h′(x)>0时，0
所以h(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，所以h(x)max=h(12)=ln12<0，
所以g′(x)=h(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．
(2)因为f(x)
令u(x)=x−2−lnx，则u′(x)=x−1x，
所以u(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以u(x)min=u(1)=−1．
因为u(e−2)=e−2−2+2=e−2>0，u(e2)=e2−2−2=e2−4>0，
所以存在x1∈(e−2,1)，x2∈(1,e2)，使得u(x)=0．
当x∈(0,x1)时，φ′(x)<0，此时φ(x)单调递减;当x∈(x1,1)时，φ′(x)>0，此时φ(x)单调递增;
当x∈(1,x2)时，φ′(x)<0，此时φ(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时，φ′(x)>0，此时φ(x)单调递增．
所以φ(x)存在两个极小值φ(x1)，φ(x2).
因为x1，x2分别为x−2−lnx=0的两根，所以x1−2−lnx1=0，x1−2=lnx1，
所以ex1−2=x1，
所以φ(x1)=x1lnx1−x12+x1ex1=x12−x12−2x1+x1ex1=−x1ex1=−ex1−2ex1=−e−2．
同理可得φ(x2)=−e−2，所以φ(x)min=−e−2．
故实数a的取值范围是(−∞,−e−2).
【解析】本题考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性和最值，涉及导数中的不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于较难题．
(1)先求出函数f(x)的导函数，然后对a分类讨论，确定导函数符号即可得到函数f(x)的单调性；求g(x)的导函数，利用二次求导寻找导函数的最值，确定导函数的符号，得到g(x)的单调性．
(2)根据f(x)
1
2
3
P
112
19
13108
3754
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