2022-2023学年湖北省孝感市部分学校高二下学期5月联考数学试题含解析

  高二数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册至第七章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．从5名老师和10名学生中各选1人组成一个小组，则不同的选法共有（    ）．

A．15种 B．50种 C．105种 D．210种

2．曲线在处的切线方程为（    ）．

A． B． C． D．

3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ）．

A． B． C． D．

4．已知随机变量的分布列为（    ）．

若，则（    ）．

A． B． C． D．

5．在一个5×5宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（    ）．

A．1 B．2 C．24 D．25．

6．某班书法兴趣小组有6名男生和4名女生，美术兴趣小组有5名男生和5名女生．从书法兴趣小组中任选2人，与原来的美术兴趣小组成员组成新的美术兴趣小组，然后再从新的美术兴趣小组中任选1人，则选中的人是男生的概率为（    ）．

A． B． C． D．

7．如图，已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点．若，，，则双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C．2 D．

8．2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为O，，，，，，为圆O上的点，如图（2）所示．，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形的边长为（    ）．

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若，则，．已知，且，则（    ）．

A．  B．

C． D．

10．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ）．

A．直线l过定点

B．当时，直线l与圆C相切

C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为

D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则

11．如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华、小齐分别在道路网的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ）．

A．小明可以选择的不同路径共有20种

B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种

C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种

D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为

12．若不等式恒成立（其中e为自然对数的底数），则的值可能为（    ）．

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为__________．

14．甲、乙等五人在某景区站成一排拍照留念，则甲不站在两端，且甲、乙相邻的不同站法有__________种．

15．已知数列满足，，，记，，O为坐标原点，则面积的最大值为__________．

16．已知函数，存在两个极值点，，且，则a的取值范围为__________，的取值范围为__________．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知的展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的和为275．

（1）求n的值；

（2）求展开式中含项的系数．

18．（12分）已知数列，满足，．

（1）若是等比数列，且9，，成等差数列，求的通项公式；

（2）若是公差为2的等差数列，证明：．

19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点．

（1）在直线上找一点F，使得直线平面，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）2023年2月2日，第27个世界湿地日中国主场宣传活动在杭州西溪国家湿地公园举行，2023年世界湿地日将主题定为“湿地修复”．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛，比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境知识，再答3道试题，每答错一道题，用时额外加20秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．

（1）若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；

（2）请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．

21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点．

（1）求椭圆C的方程．

（2）不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线与直线的斜率之积为，试问k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．

高二数学试卷参考答案

1．B   根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有种．

2．D

因为，所以，

则当时，，，

故曲线在处的切线方程为．

3．B

因为向量，，

所以向量在向量上的投影向量．

4．B

由，得，

则，．

因为，所以．

5．A

因为这25个数成等差数列，所以根据等差数列的性质：

当时，，可知新的代数和所能取到的最小非负整数为1．

6．C

记A＝“从新的美术兴趣小组中任选的1人为男生”，

“从书法兴趣小组中任选的2人均是男生”，

“从书法兴趣小组中任选的2人为1男1女”，

“从书法兴趣小组中任选的2人均是女生”，

则，，，

．

7．A

设，，

因为，所以，．

又，所以，则，．

因为，所以．

又，所以，

所以，则，则．

8．D

连接，交于点H，则．

设，则，．

因为，所以．

六棱锥的高．

正六边形的面积，

则六棱锥的体积．

令函数，，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，正六棱锥的体积最大，

此时正六边形的底面边长为．

9．AC

因为，且，

所以，解得．

．故选AC．

10．BC

由，得，即l恒过点，故A错误．

由，得或，故B正确．

若，则圆心C到直线l的距离．

因为，所以，故C正确．

若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则圆心C到直线l的距离．

由，得，故D错误．

11．ACD

小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以选择的不同路径共有种，A正确．

小明与小齐相遇，则小明经过C，小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为，再从C到B也有3种方法，所以小明与小齐能相遇的不同路径共有9种，B不正确．

小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，不同路径共有种，C正确．

小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，

所以一共有400种，则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．

12．ABD

因为，所以，则．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故，即，

从而，当且仅当时，等号成立．

又，所以，则，所以．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故，且当时，，故选ABD．

13．

设，则点M到直线的距离

．

14．36   由题意可得满足条件的不同站法有种．

15．4

因为，所以，

即．

因为，所以是以4为首项，为公比的等比数列，

，所以

．

因为2，所以．

．

令函数，则．

当时，，

所以，且在上单调递减．

，故面积的最大值为4．

16．；

由，，得．

因为存在两个极值点，，且，

所以，，则，

则．

令，，

则，则，

故．

17．解：（1）令，则展开式中各项的系数和为，且二项式系数和为，（2分）

则，（3分）

令，，易知单调递增，且，故．（5分）

（2）展开式的通项公式为，（7分）

由，得，（8分）

则展开式中含项的系数为．（10分）

18．（1）解：设的公比为q，

因为9，，成等差数列，所以．（1分）

又，所以，解得．（3分）

由，得．（4分）

因为，所以．（6分）

（2）证明：因为是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，．（7分）

由，得，（8分）

则（10分）

．（11分）

．（12分）

19．解：（1）F为的中点．理由如下：连接，．（1分）

因为E，F分别为棱，的中点，

所以．（2分）

因为，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以．（4分）

因为，，

所以平面平面．（5分）

因为平面，所以平面．（6分）

（2）因为，

所以以D为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．（7分）

设，则，，，．

设平面的法向量为，

因为，，（8分）

所以，令，得．（9分）

设平面的法向量为，

因为，，（10分）

所以，令，得．（11分）

设二面角为，则为锐角，所以，

故二面角的余弦值为．（12分）

20．解：（1）因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，且甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，

所以第三轮答题中乙要比甲多答对2道题以上才能获胜．（1分）

若乙答对2道试题，甲答对0道试题，则，（2分）

若乙答对3道试题，甲答对0道试题，则，（3分）

若乙答对3道试题，甲答对1道试题，则，（4分）

所以乙获胜的概率．（6分）

（2）由题意设甲在比赛中答错的题的数量为X，乙在比赛中答错的题的数量为Y，

则，，（8分）

则，，（9分）

则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，（10分）

乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒．（11分）

因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少30秒，

所以最后甲所用的时间的期望比乙少18秒，所以甲获胜的可能性更大．（12分）

21．解：（1）由题可知，，（2分）

解得，故椭圆C的方程为．（4分）

（2）设直线l的方程为，，，

联立方程组，整理得，（5分）

则，

，．（6分）

，（8分）

整理得．（10分）

因为l不经过点A，所以，所以，即，（11分）

故k为定值，且该定值为．（12分）

22．（1）解：因为，所以，，

则．（1分）

令，则．（2分）

令，得．当时，，单调递减，

当时，，单调递增，（3分）

所以，即，（4分）

故的单调递增区间为，无单调递减区间．（5分）

（2）证明：．（6分）

令，，

则．（7分）

因为，所以有两个不相等的实数根，，

且，，不妨设．（8分）

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．（9分）

因为，所以，．

因为，

当时，，当时，，

所以在上存在一个零点，在上存在一个零点1，在上存在一个零点．

故在，上各有一个零点，分别为，．（10分）

由，

得

，（11分）

则，所以两个零点，互为倒数．（12分）