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湖北省部分地区2022-2023学年高二上学期元月期末数学试题（含解析）
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这是一份湖北省部分地区2022-2023学年高二上学期元月期末数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行得到斜率，结合点坐标得到答案.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，两直线平行，故所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
整理得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2. 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线的标准方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.
【详解】由焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线的标准方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列出方程组，解之即可.
【详解】因为三向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4. 在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点E为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线BE的距离为( )
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，再根据向量公式计算得到距离.
【详解】如图所示：以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线BE的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5. 曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的公共点的个数为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线 SKIPIF 1 < 0 与其关系即可求解.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示椭圆的上半部分 SKIPIF 1 < 0 含与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点 SKIPIF 1 < 0 ，此时曲线与 SKIPIF 1 < 0 的交点为(0,3),(4,0),
当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示双曲线在 SKIPIF 1 < 0 轴下方的部分，
其一条渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无交点，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的公共点的个数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
A. 3B. 1C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线定义把 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．
【详解】设双曲线C的实半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当M为 SKIPIF 1 < 0 的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
7. 为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的 SKIPIF 1 < 0 建设新住房，同时拆除面积为 SKIPIF 1 < 0 单位： SKIPIF 1 < 0 的旧住房 SKIPIF 1 < 0 已知该市 SKIPIF 1 < 0 年初拥有居民住房的总面积为 SKIPIF 1 < 0 单位： SKIPIF 1 < 0 ，则到 SKIPIF 1 < 0 年末，该市住房总面积为( )
参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的求和公式即可化简求值.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
……
SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
到 SKIPIF 1 < 0 年末，该市住房总面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
8. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的公共点，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】由题意设焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，由双曲线的定义 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，亦即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，“两枚硬币朝上的面相同”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，则 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 互斥
C. 事件 SKIPIF 1 < 0 与事件 SKIPIF 1 < 0 对立D. 事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：根据古典概型的计算公式分析运算；对B：根据互斥事件的概念分析判断；对C：根据对立事件的概念分析判断；对D：根据独立事件的概念分析判断.
【详解】对A：由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，
则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对B：事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 可以同时发生，即事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 不是互斥，B错误；
对C：事件 SKIPIF 1 < 0 对立事件包含两种情况：正反、反正，事件 SKIPIF 1 < 0 仅有一种情况：正反，
故事件 SKIPIF 1 < 0 与事件 SKIPIF 1 < 0 不对立，C错误；
对D：∵ SKIPIF 1 < 0 ，故事件A与 SKIPIF 1 < 0 相互独立，D正确.
故选：AD.
10. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值
C. SKIPIF 1 < 0
D. 数列 SKIPIF 1 < 0 中任意三项均不能构成等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算可判断AB,根据求和公式可判断C，根据等比中项的关系，结合不等式即可求解D.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 ,设公差为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 选项正确；
对于B, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，B选项错误.
对于C, SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.
对于D,假设 SKIPIF 1 < 0 中三项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则有 SKIPIF 1 < 0 ；
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 中得 SKIPIF 1 < 0 这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
故假设不成立，数列 SKIPIF 1 < 0 中任意三项均不能构成等比数列，D选项正确.
故选：ACD
11. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点
B. 圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长可能为 SKIPIF 1 < 0
C. 圆心 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 上
D. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 条公切线
【答案】AC
【解析】
【分析】确定直线过定点且定点在圆内得到A正确；计算最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 得到B错误；计算圆心代入直线方程得到C正确；举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，因此直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点，正确；
对选项B：由选项A可知当 SKIPIF 1 < 0 垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 时，所截得的弦长最短且为 SKIPIF 1 < 0 ，因此圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长不可能为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对选项C：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心坐标满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，正确；
对选项D：取 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，有 SKIPIF 1 < 0 条公切线，错误.
故选：AC
12. 若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称该数列为斐波那契数列 SKIPIF 1 < 0 如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线 SKIPIF 1 < 0 图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线” SKIPIF 1 < 0 记以 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形中的扇形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 是奇数
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据递推公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断A；观察数列的奇偶特点即可判断B；根据递推公式，结合累加法即可判断C；根据递推公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合累加法计算即可判断D.
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得斐波那契数列： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 故A正确；
对于B：由斐波那契数列： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇数，故B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
相加可得： SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：因为斐波那契数列总满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
类似的有， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故： SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据等比数列性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点坐标，计算得到答案.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程可设为： SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 如图所示，在棱长均为 SKIPIF 1 < 0 的平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平方计算得到答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为基底， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，联立方程得到根与系数的关系，根据垂直计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，考虑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，得到 SKIPIF 1 < 0 的轨迹，计算距离得到答案.
【详解】由题可知直线斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，乙同学晋级的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据相互对立事件的乘法计算公式即可求解，
(2)根据相互对立事件的乘法公式以及对立事件的概率即可求解.
【小问1详解】
设“甲晋级”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，“乙晋级”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，
设“甲、乙两人同时晋级”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设“甲、乙两人中至少有一人晋级”事件 SKIPIF 1 < 0 ，
由题事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互独立，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也相互独立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用公式 SKIPIF 1 < 0 求解；
(2)根据第(1)的结论，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ③，
则 SKIPIF 1 < 0 ④，
由③-④，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知点 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点.
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2) SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .若点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹与直线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据点关于直线对称可列出方程，联立解得答案；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求得P点轨迹方程，根据点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹与直线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，可知圆心到直线距离小于等于半径，解不等式可得答案.
【小问1详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
故： SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②式解得： SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且 SKIPIF 1 < 0 ，E是棱BC上的动点，F是线段PE的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面ADF；
(2)是否存在点E，使得平面DEP与平面ADF所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出线段BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
(2)由(1)中坐标系，求出平面DEP与平面ADF的法向量，再利用面面角的向量求法计算判断作答.
【小问1详解】
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，四边形ABCD是正方形，
以A为原点建立空间直角坐标系，如图， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)平面ADF的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的延长上，
所以，不存在这样的点 SKIPIF 1 < 0 .
21. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使得 SKIPIF 1 < 0 的整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【解析】
【分析】(1)计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到等比数列的证明.
(2)确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据裂项相消法得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式计算得到答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故使得 SKIPIF 1 < 0 的最大整数为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知平面内点P与两定点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点P的轨迹连同点 SKIPIF 1 < 0 所构成的曲线C的方程；
(2)设不过坐标原点且不垂直于坐标轴的直线l与曲线C交于A、B两点，点M为弦AB的中点．
①求证：直线OM与直线l的斜率之积为定值；
②过点M作直线l的垂线交曲线C于D、E两点，点N为弦DE的中点．设直线ON与直线l交于点T，若有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1)点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得
(2)①设 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程利用点差法，即可求出直线OM与直线l的斜率之积为定值.
②结合①中的结论，结合两条直线的垂直条件求出点N的纵坐标，通过直线ON与直线 SKIPIF 1 < 0 联立方程，求出交点T的纵坐标，通过 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 转化 SKIPIF 1 < 0 ，通过基本不等式，求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
小问1详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 为轨迹上任意一点，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹连同点 SKIPIF 1 < 0 所构成的曲线C的方程 为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 (定值)，直线OM与直线l的斜率之积为定值 .
②由①易知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 (i)，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
又由①同理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (ii)，
联立(i)(ii)得， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，又由(ii)得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的同侧，故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是根据斜率积为定值找到两个斜率间的关系；二是利用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ；三是利用基本不等式求解 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
本试卷全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点 SKIPIF 1 < 0 且与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行得到斜率，结合点坐标得到答案.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，两直线平行，故所求直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
整理得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2. 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线的标准方程是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.
【详解】由焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线的标准方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3. 已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列出方程组，解之即可.
【详解】因为三向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4. 在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点E为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线BE的距离为( )
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，再根据向量公式计算得到距离.
【详解】如图所示：以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线BE的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5. 曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的公共点的个数为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线 SKIPIF 1 < 0 与其关系即可求解.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示椭圆的上半部分 SKIPIF 1 < 0 含与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点 SKIPIF 1 < 0 ，此时曲线与 SKIPIF 1 < 0 的交点为(0,3),(4,0),
当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，表示双曲线在 SKIPIF 1 < 0 轴下方的部分，
其一条渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无交点，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的公共点的个数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
A. 3B. 1C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线定义把 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．
【详解】设双曲线C的实半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当M为 SKIPIF 1 < 0 的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
7. 为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的 SKIPIF 1 < 0 建设新住房，同时拆除面积为 SKIPIF 1 < 0 单位： SKIPIF 1 < 0 的旧住房 SKIPIF 1 < 0 已知该市 SKIPIF 1 < 0 年初拥有居民住房的总面积为 SKIPIF 1 < 0 单位： SKIPIF 1 < 0 ，则到 SKIPIF 1 < 0 年末，该市住房总面积为( )
参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的求和公式即可化简求值.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
……
SKIPIF 1 < 0 年末的住房面积为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
到 SKIPIF 1 < 0 年末，该市住房总面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
8. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的公共点，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即可得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】由题意设焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，由双曲线的定义 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，亦即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚反面朝上”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，“两枚硬币朝上的面相同”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，则 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 互斥
C. 事件 SKIPIF 1 < 0 与事件 SKIPIF 1 < 0 对立D. 事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】对A：根据古典概型的计算公式分析运算；对B：根据互斥事件的概念分析判断；对C：根据对立事件的概念分析判断；对D：根据独立事件的概念分析判断.
【详解】对A：由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，
则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对B：事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 可以同时发生，即事件A与事件 SKIPIF 1 < 0 不是互斥，B错误；
对C：事件 SKIPIF 1 < 0 对立事件包含两种情况：正反、反正，事件 SKIPIF 1 < 0 仅有一种情况：正反，
故事件 SKIPIF 1 < 0 与事件 SKIPIF 1 < 0 不对立，C错误；
对D：∵ SKIPIF 1 < 0 ，故事件A与 SKIPIF 1 < 0 相互独立，D正确.
故选：AD.
10. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值
C. SKIPIF 1 < 0
D. 数列 SKIPIF 1 < 0 中任意三项均不能构成等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算可判断AB,根据求和公式可判断C，根据等比中项的关系，结合不等式即可求解D.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 ,设公差为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 选项正确；
对于B, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，B选项错误.
对于C, SKIPIF 1 < 0 ，C选项正确.
对于D,假设 SKIPIF 1 < 0 中三项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则有 SKIPIF 1 < 0 ；
整理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由①知 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 中得 SKIPIF 1 < 0 这与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
故假设不成立，数列 SKIPIF 1 < 0 中任意三项均不能构成等比数列，D选项正确.
故选：ACD
11. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点
B. 圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长可能为 SKIPIF 1 < 0
C. 圆心 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 上
D. 圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 条公切线
【答案】AC
【解析】
【分析】确定直线过定点且定点在圆内得到A正确；计算最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 得到B错误；计算圆心代入直线方程得到C正确；举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，因此直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有两个公共点，正确；
对选项B：由选项A可知当 SKIPIF 1 < 0 垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 时，所截得的弦长最短且为 SKIPIF 1 < 0 ，因此圆 SKIPIF 1 < 0 被直线 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长不可能为 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对选项C：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心坐标满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，正确；
对选项D：取 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，有 SKIPIF 1 < 0 条公切线，错误.
故选：AC
12. 若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称该数列为斐波那契数列 SKIPIF 1 < 0 如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线 SKIPIF 1 < 0 图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线” SKIPIF 1 < 0 记以 SKIPIF 1 < 0 为边长的正方形中的扇形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 是奇数
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据递推公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断A；观察数列的奇偶特点即可判断B；根据递推公式，结合累加法即可判断C；根据递推公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合累加法计算即可判断D.
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得斐波那契数列： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 故A正确；
对于B：由斐波那契数列： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇数，故B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
相加可得： SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D：因为斐波那契数列总满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
类似的有， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0
累加得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故： SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据等比数列性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点坐标，计算得到答案.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程可设为： SKIPIF 1 < 0 ，代入点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 如图所示，在棱长均为 SKIPIF 1 < 0 的平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平方计算得到答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为基底， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，联立方程得到根与系数的关系，根据垂直计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，考虑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，得到 SKIPIF 1 < 0 的轨迹，计算距离得到答案.
【详解】由题可知直线斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 为弘扬宪法精神，某校举行宪法知识竞赛.在初赛中，已知甲同学晋级的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，乙同学晋级的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率；
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据相互对立事件的乘法计算公式即可求解，
(2)根据相互对立事件的乘法公式以及对立事件的概率即可求解.
【小问1详解】
设“甲晋级”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，“乙晋级”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，
设“甲、乙两人同时晋级”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设“甲、乙两人中至少有一人晋级”事件 SKIPIF 1 < 0 ，
由题事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互独立，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也相互独立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用公式 SKIPIF 1 < 0 求解；
(2)根据第(1)的结论，再利用错位相减法求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ③，
则 SKIPIF 1 < 0 ④，
由③-④，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知点 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点.
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2) SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .若点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹与直线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据点关于直线对称可列出方程，联立解得答案；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求得P点轨迹方程，根据点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹与直线 SKIPIF 1 < 0 有公共点，可知圆心到直线距离小于等于半径，解不等式可得答案.
【小问1详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
故： SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②式解得： SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且 SKIPIF 1 < 0 ，E是棱BC上的动点，F是线段PE的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面ADF；
(2)是否存在点E，使得平面DEP与平面ADF所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出线段BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
(2)由(1)中坐标系，求出平面DEP与平面ADF的法向量，再利用面面角的向量求法计算判断作答.
【小问1详解】
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面ABCD，四边形ABCD是正方形，
以A为原点建立空间直角坐标系，如图， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)平面ADF的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的延长上，
所以，不存在这样的点 SKIPIF 1 < 0 .
21. 在数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使得 SKIPIF 1 < 0 的整数 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【解析】
【分析】(1)计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到等比数列的证明.
(2)确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据裂项相消法得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式计算得到答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故使得 SKIPIF 1 < 0 的最大整数为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知平面内点P与两定点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点P的轨迹连同点 SKIPIF 1 < 0 所构成的曲线C的方程；
(2)设不过坐标原点且不垂直于坐标轴的直线l与曲线C交于A、B两点，点M为弦AB的中点．
①求证：直线OM与直线l的斜率之积为定值；
②过点M作直线l的垂线交曲线C于D、E两点，点N为弦DE的中点．设直线ON与直线l交于点T，若有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1)点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得
(2)①设 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程利用点差法，即可求出直线OM与直线l的斜率之积为定值.
②结合①中的结论，结合两条直线的垂直条件求出点N的纵坐标，通过直线ON与直线 SKIPIF 1 < 0 联立方程，求出交点T的纵坐标，通过 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 转化 SKIPIF 1 < 0 ，通过基本不等式，求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
小问1详解】
设点 SKIPIF 1 < 0 为轨迹上任意一点，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹连同点 SKIPIF 1 < 0 所构成的曲线C的方程 为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 (定值)，直线OM与直线l的斜率之积为定值 .
②由①易知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 (i)，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
又由①同理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (ii)，
联立(i)(ii)得， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，又由(ii)得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的同侧，故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是根据斜率积为定值找到两个斜率间的关系；二是利用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ；三是利用基本不等式求解 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
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