重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. 2B. -1C. 1D.
2. 已知曲线在点处的切线方程为，则a的值是（ ）
A. B. -2C. D. 2
3. 树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )
A. 8人 168cmB. 8人 170cmC. 12人 168cmD. 12人 170cm
4. 函数图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知是数列的前项和，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（ ）
A. 14B. 12C. 24D. 28
7. 已知、为双曲线左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
10. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（ ）
A. 成等差数列
B. 成等比数列
C. 椭圆的离心率
D. 的面积不小于的面积
11. 已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得
B.
C.
D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若等差数列和等比数列满足，，则_______.
13. 已知圆锥顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
14. 关于的不等式恒成立，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
16. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列前20项的和．
17. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
18. 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标．
19 已知函数，，.
（1）判断是否对恒成立，并给出理由；
（2）证明：
①当时，；
②当，时，.