初中4.4 角同步练习题

这是一份初中4.4 角同步练习题，共59页。


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\l "_Tc12026" 【题型1 线段中的整体思想】 PAGEREF _Tc12026 \h 1
\l "_Tc3943" 【题型2 线段中的方程思想】 PAGEREF _Tc3943 \h 2
\l "_Tc2143" 【题型3 线段中的分类讨论思想】 PAGEREF _Tc2143 \h 3
\l "_Tc18096" 【题型4 线段中的数形结合思想】 PAGEREF _Tc18096 \h 4
\l "_Tc26690" 【题型5 角中的整体思想】 PAGEREF _Tc26690 \h 5
\l "_Tc9576" 【题型6 角中的方程思想】 PAGEREF _Tc9576 \h 8
\l "_Tc8726" 【题型7 角中的分类讨论思想】 PAGEREF _Tc8726 \h 10
\l "_Tc669" 【题型8 角中的数形结合思想】 PAGEREF _Tc669 \h 11
【题型1 线段中的整体思想】
【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点C在线段AB上，且，．
(1)若，，求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任意一点，且满足，其他条件不变，求线段MN的长．
【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．

(1)若AB=10cm，求线段MN的长；
(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且．
(1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段；
(2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；
(3)若，，求MN的长度．
【题型2 线段中的方程思想】
【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，，，，四点在同一条直线上．
(1)若，
①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”）
②若，且，则的长为______cm；
(2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长．
【变式2-1】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，点A、B在线段上，点M、N分别是线段、的中点，，若，求线段的长．
【变式2-2】（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12．
(1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．
(3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长．
【变式2-3】（2022·山西晋城·七年级期末）如图，数轴上点A、B对应着数10、15．C、D两点同时从点A、原点O出发分别以和的速度沿数轴向右运动．设运动时间为．
(1)当时，请说明；
(2)当，且时，求t的值；
(3)取线段的中点M，当时，求t的值．
【题型3 线段中的分类讨论思想】
【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段上有两点C、D，使得，M是线段的中点，点N是线段上的点，且满足，，求的长．
【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ；
(2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；
(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？
(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【变式3-3】（2022·江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上A点表示的数是a，B点表示的数是b，且a，b满足式子．
(1)写出______，______．
(2)将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数．
【题型4 线段中的数形结合思想】
【例4】（2022·广东东莞·七年级期末）如图，C是线段AB上一点，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts．
(1)当t＝1s时，CP＝ cm，QB＝ cm；
(2)当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？
(3)当运动时间为多少时，BQ＝AP？
【变式4-1】（2022·山东德州·七年级期末）已知，线段，是线段的中点，是线段上任意一点，是线段的中点．
（1）当是线段的中点时，求线段的长；
（2）当线段时，求线段的长；
（3）若点在线段的延长线上，猜想线段与线段的数量关系，并画图加以证明．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：
因为，
所以 ．
两式相加，得．
所以．
请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式．
(3)类比猜想：__________，_________________，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是__________．
【题型5 角中的整体思想】
【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出，的平分线，，然后提出问题：求的度数．
小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索思路
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，和仍然是和的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是，，在同一直线上．按图3方式摆放时，和相等．
（1）请你直接写出计算结果：图2中的度数为______，图3中的度数为______；
特例启发，解答题目
（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；
拓展结论，设计新题
（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出，的平分线，”改为“分别作出射线，，使，”，请你直接写出的度数．
【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）
【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知＝，、是过点的射线，射线、分别平分和．
（1）如图①，若、是的三等分线，求的度数；
（2）如图②，若＝，，则＝________；
（3）如图③，在内，若＝，则＝________．
【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM，ON分别平分∠AOD、∠COB．
(1)求∠MON的度数；
(2)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图②的位置，求∠MON的度数；
(3)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图③的位置，猜想∠MON的度数，并说明理由．
【题型6 角中的方程思想】
【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．
(1)如图①，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC=40°，则∠AOC=________．
(2)如图②，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由．
(3)若∠CON=50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC=∠AOM，则∠BON=________．（可用备用图．）
【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知是的平分线，若，求的度数．
【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分．
(1)当时，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知，三角形COD是含有角的三角板，，OE平分．
(1)如图1，当时，_____________；
(2)如图2，当时，_____________；
(3)如图3，当（）时，求的度数（用表示）；
(4)由前三步的计算，当时，请直接写出与的数量关系为_______________________________________．
【题型7 角中的分类讨论思想】
【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
(1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °
(2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °；
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°<<90°) ，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
【变式7-2】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，，，，分别是，的平分线．
(1)如图1，当在左侧，且时，的度数是_________；
(2)当的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究的大小与的数量关系；
(3)当的度数为时，请直接写出的度数．
【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”
（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示）；
深入研究：
如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值．
【题型8 角中的数形结合思想】
【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2．
(1)求∠AOC，∠BOC的度数；
(2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使∠BON=70°，补全图形， 并求出∠MON的度数；
(3)若存在射线OD，使∠AOD=4∠BOD，请直接写出所有可能的∠COD的度数．
【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）已知、，射线平分；
(1)如图1，已知、，若，求的度数；
(2)、的位置如图2，已知，求的值．
【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数．
(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．
(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC的度数为x°，我们就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．
(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数．
【变式8-3】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．
【A组研究】
在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．
（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；
（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【B组研究】
在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．
（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；
（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．

专题4.5 线段与角中的常见思想方法的应用【八大题型】
【沪科版】
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\l "_Tc12026" 【题型1 线段中的整体思想】 PAGEREF _Tc12026 \h 1
\l "_Tc3943" 【题型2 线段中的方程思想】 PAGEREF _Tc3943 \h 5
\l "_Tc2143" 【题型3 线段中的分类讨论思想】 PAGEREF _Tc2143 \h 11
\l "_Tc18096" 【题型4 线段中的数形结合思想】 PAGEREF _Tc18096 \h 17
\l "_Tc26690" 【题型5 角中的整体思想】 PAGEREF _Tc26690 \h 22
\l "_Tc9576" 【题型6 角中的方程思想】 PAGEREF _Tc9576 \h 30
\l "_Tc8726" 【题型7 角中的分类讨论思想】 PAGEREF _Tc8726 \h 37
\l "_Tc669" 【题型8 角中的数形结合思想】 PAGEREF _Tc669 \h 43
【题型1 线段中的整体思想】
【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长．
【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴，,
∵E为BC的中点，
∴，
∴；
（2）线段EF的长度不会发生变化，，
∵AB＝16，CD＝2，
∴，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点C在线段AB上，且，．
(1)若，，求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任意一点，且满足，其他条件不变，求线段MN的长．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）若AC=12，CB=6，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线段MN的长；
（1）
解：因为，，，，
所以，．
．
所以．
（2）
解：因为，，，
所以：，
所以．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用AM=AC．BN=BC，得出AM的长，BN的长是解题关键．
【变式1-2】（2022·四川德阳·七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．

(1)若AB=10cm，求线段MN的长；
(2)若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
【答案】(1)MN＝5cm
(2)PN＝cm
【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC＝AC，CN＝BC．再根据MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）代入计算即可得出答案；
（2）先根据题意可计算出AP的长度，由线段中点的性质可得AB＝2AP，CB＝AB﹣AC，CN＝CB，再根据PN＝CN﹣CP代入计算即可得出答案．
(1)
解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝AC，CN＝BC，
∴MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝（AC＋BC）＝AB＝×10＝5（cm）.
(2)
解：∵AC＝3，CP＝1，
∴AP＝AC＋CP＝4，
∵点P是线段AB的中点，
∴AB＝2AP＝8，CB＝AB－AC＝5，
∵点N是线段CB的中点，
∴CN＝CB＝（cm），
∴PN＝CN－CP＝－1＝（cm）．
【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且．
(1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段；
(2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；
(3)若，，求MN的长度．
【答案】(1)15
(2)＝
(3)10
【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数；
（2）依据AB＝CD，即可得到AB＋BC＝CD＋BC，进而得出AC＝BD；
（3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
(1)
∵线段AD上有6个点，
∴图中共有线段条数为6×（6−1）÷2＝15；
故答案为：15；
(2)
∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，
即AC＝BD；
故答案为：＝；
(3)
∵，，
∴，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
【题型2 线段中的方程思想】
【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，，，，四点在同一条直线上．
(1)若，
①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”）
②若，且，则的长为______cm；
(2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长．
【答案】(1)①=；②30
(2)30cm
【分析】(1)①根据等式的性质，得出答案；②求出BC的值，再求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；
(2)根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
（1）
①∵AB= CD，
∴AB+ BC= CD+ BC，
即，AC= BD，
故答案为： =；
②∵BC=AC，且AC = 24cm，
∴BC=×24= 18(cm)，
∴AB=CD=AC-BC=24-18=6 (cm)
∴AD= AC+CD= 24+6= 30 (cm)
故答案为：30；
（2）
解：如图1所示，
∵线段被点B，分成了三部分，
设，则，，
因为是的中点，是的中点，
所以，，
所以；
得；
所以．
【点睛】本题考查线段的和差及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的前提，以及根据已知，用方程思想解决问题是解题关键.
【变式2-1】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，点A、B在线段上，点M、N分别是线段、的中点，，若，求线段的长．
【答案】的长为．
【分析】由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，那么线段MN可以用x表示，而MN=6cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度．
【详解】解：设
∵，
∴，，
而M、N分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
【变式2-2】（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12．
(1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．
(3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)c＝－68，d＝92
(3)MN＝28或
【分析】（1）利用圆规量得AB的长度，以点B为圆心，AB为半径画弧，交点B左边的坐标轴于一点，即为点C；再点A为圆心，AB为半径画弧，交点A右边的坐标轴于一点，再以此点为圆心，AB为半径画弧，交圆心右边的坐标轴于另一点，则此交点为点D；
（2）根据线段之间的等量关系求得AC、AD的长度，从而得出点所表示的数；
（3）分两种情况分析：①点N在线段CD上；②点N在线段CD的延长线上．
【详解】（1）解：线段BC、BD为所求线段，如图所示：
（2）解：∵AB＝40，BC＝AB，
∴AC＝2AB＝80，
∵a＝12，
∴c＝12－80＝－68，
∵BD＝3AB，
∴BD＝120，
∴AD＝80，
设d为x则，x－12＝80，
解得：x＝92，
∴d＝92．
（3）解：①当点N在线段CD上时，
由（2）得CD＝92﹣（﹣68）＝160，点B对应的数为12﹣40＝﹣28，
∴BD＝92﹣（﹣28）＝120，
∵点M是BD的中点，
∴点M对应的数为92﹣60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝，
∴点N对应的数为，
∴MN＝；
②当点N在线段CD的延长线上时，
∵CN＝4DN，
∴CD＝3DN=160，
∴，
∴点N对应的数为，
∴；
故MN的长为28或．
【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系和线段中点的有关计算，解题关键是抓住线段之间的关系，体现了数形结合思想．
【变式2-3】（2022·山西晋城·七年级期末）如图，数轴上点A、B对应着数10、15．C、D两点同时从点A、原点O出发分别以和的速度沿数轴向右运动．设运动时间为．
(1)当时，请说明；
(2)当，且时，求t的值；
(3)取线段的中点M，当时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）分别计算出BC和AD即可等到；
（2）先计算得到CD的关于t的表达式，再根据求出t即可；
（3）根据M在点B前面和后面两种情况分别计算出关于t的表达式，再根据即可计算出t．
（1）
当时，, ，
,，
∴;
（2）
当D在C后面时，如下图所示，
,，,
∵，
∴，
∴（舍去），
点D在点C的前面时，如下图所示，
,
∵，
∴，
即．
（3）
当点M在点B左边时，
又∵，
∴
即；
当点M在点B右边时，
又∵
即，
∴或．
【点睛】本题考查数轴上的点及线段的长度，解题的关键是根据题意建立等式.
【题型3 线段中的分类讨论思想】
【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段上有两点C、D，使得，M是线段的中点，点N是线段上的点，且满足，，求的长．
【答案】7或
【分析】设，则，，根据题意得，计算得，即可得，，，，根据点M是线段的中点得，根据，得，分以下两种情况：①当点N在线段上时， ②当点N在线段上时，进行计算即可得．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，，
∵点M是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
分以下两种情况：
①当点N在线段上时，，
②当点N在线段上时，，
综上所述，线段的长度为7或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论．
【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ；
(2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】(1)－1，3，4
(2)或
(3)①甲：；乙：或；②秒或秒
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤，（Ⅱ）t＞，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．
（1）
因为，
所，
所以；
所以AB的距离＝，
故答案为：－1，3，4；
（2）
设数轴上点C表示的数为c．
因为，
所以，即．
因为，
所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有，
得，解得；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有，
得，解得．
故当时，或；
（3）
①因为甲球运动的路程为：，
所以甲球与原点的距离为：；
乙球到原点的距离分两种情况：
（I）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
因为，乙球运动的路程为：，
所以乙球到原点的距离为：；
（I I）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：；
②当时，得，
解得；
当时，得，
解得．
故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；
(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？
(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC=，解得：BC=16m，
∴AB=×16=24m．
故答案为：16，24．
（2）解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，
∴6x={8+2x），解得x=．
答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
（3）解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x
．
答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
【变式3-3】（2022·江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上A点表示的数是a，B点表示的数是b，且a，b满足式子．
(1)写出______，______．
(2)将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数．
【答案】(1)；
(2)或或
【分析】（1）根据绝对值的非负性与偶次方的非负性，非负数的性质得出，，再解方程即可求解．
（2）设折痕处点表示数为，被剪处为点C、D，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解好戏可．
（1）
解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
（2）
解：设折痕处点表示数为，
①当时，
，
∴，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴．
③当时，
则，
∴，
∴．
∴．
∴综上，折痕处表示的数为：或或．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，非负数的性质，线段和差倍分，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性，分类讨论思想的应用是解题的关键．
【题型4 线段中的数形结合思想】
【例4】（2022·广东东莞·七年级期末）如图，C是线段AB上一点，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts．
(1)当t＝1s时，CP＝ cm，QB＝ cm；
(2)当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？
(3)当运动时间为多少时，BQ＝AP？
【答案】(1)3，6；
(2)运动时间为2s时，PQ为AB的一半；
(3)运动时间为或8s时，BQ=AP
【分析】（1）根据，的关系，由P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，求解当对应的长度即可；
（2）通过建立一元一次方程进行求解即可；
（3）通过分类讨论的思想，当点到点的左边或右边时，通过建立一元一次方程进行求解．
(1)
解：，
当，，
，
，
当，，
，
故答案为：3，6；
(2)
解：设运动秒时，是的一半，
当点到点的左边时，
，
解得：，
当点到点的右边时，的距离大于的一半，不满足题意，
故运动时间为2s时，是的一半；
(3)
解：当点到点的左边时，
设运动秒时，，
则，
解得：，
当点到点的右边时，
设运动秒时，，
则，
解得：，
故运动时间为或8s时，．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，两点间的距离，解题的关键是通过数形结合及分类讨论的思想进行求解．
【变式4-1】（2022·山东德州·七年级期末）已知，线段，是线段的中点，是线段上任意一点，是线段的中点．
（1）当是线段的中点时，求线段的长；
（2）当线段时，求线段的长；
（3）若点在线段的延长线上，猜想线段与线段的数量关系，并画图加以证明．
【答案】（1）7.5；（2）4.5或5.5；（3），画图证明见解析．
【分析】（1）画出符合题意的图形，先求解 再求解 可得 再利用中点的含义可得答案；
（2）分两种情况讨论：当在左边时，当在右边时，先求解 再利用中点的含义可得答案；
（3）当在线段延长线上时，如图，设，求解，再求解，从而可得结论．
【详解】解：（1）如图，∵是线段的中点，
∴
∵是线段的中点，
∴
∴
∵是线段的中点
∴
（2）∵，
∴当在左边时，如图，
，
∵是线段的中点，
∴，
如图，当在右边时，，
∵是线段的中点，
∴．
（3）线段和线段的数量关系是：，理由如下：
当在线段延长线上时，如图，设，
则
∵是线段的中点
∴
∵是线段的中点，
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，整式的加减运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8
(2)16或8
(3)当时，MN+AD为定值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；
（2）分在的左侧和在的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；
（3）由题意，运动t秒后，，，分段讨论即可求解．
（1）
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）
解：∵，，
∴，，
设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况，
若6秒后，在的左侧时：，
∴，
即，
解得．
若6秒后，在的右侧时：，
∴，
即，
解得．
即线段BC的长为16或8；
（3）
解：∵BC＝24，，，
∴，，
∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后，，，
当时，；
当时，；
当时，；
故当时，MN+AD为定值，定值为6．
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：
因为，
所以 ．
两式相加，得．
所以．
请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式．
(3)类比猜想：__________，_________________，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是__________．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，
【分析】（1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案；
（2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式；
（3）根据类比猜想可得答案．
（1）
解：，；
故答案为：，；
（2）
解：因为，
所以 ．
两式相加，得．
所以；
（3）
解：，，随着取中点次数n的不断增大的长最终接近的值是．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键．
【题型5 角中的整体思想】
【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目．
将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出，的平分线，，然后提出问题：求的度数．
小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索思路
将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，和仍然是和的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是，，在同一直线上．按图3方式摆放时，和相等．
（1）请你直接写出计算结果：图2中的度数为______，图3中的度数为______；
特例启发，解答题目
（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；
拓展结论，设计新题
（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出，的平分线，”改为“分别作出射线，，使，”，请你直接写出的度数．
【答案】（1）135°；135°；（2）答案见解析；（3）112.5°
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD ，于是得到结论；
（3）根据已知条件得到∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，根据角平分线的定义得到∠MOC+∠NOD，于是得到结论．
【详解】（1）解：图2中，,
图3中，∠MDN
；
故答案为：；
（2）图1中，∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD，
∴∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=45°+90°=135°；
（3）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°，
∵，，
∴∠MOC∠AOC，
∴∠MOC+∠NOD，
∴∠MON=（∠MOC+∠NOD）+∠COD=22.5°+90°=112.5°；
故答案为：112.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数．（用含α的式子表示）
【答案】(1) 45°;(2) a; (3)a．
【分析】(1) 首先求得∠BOC的度数, 然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解;
(2) 根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC= (∠BOC+∠AOC),即可求解;
(3) 根据角的等分线的定义可得∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+.∠AOC= (∠BOC+∠AOC) =∠AOB,即可求解.
【详解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a；
（3）∵∠EOB=∠BOC，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．
【点睛】本题主要考查角的计算及角平分线的定义，注意运算的准确性.
【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知＝，、是过点的射线，射线、分别平分和．
（1）如图①，若、是的三等分线，求的度数；
（2）如图②，若＝，，则＝________；
（3）如图③，在内，若＝，则＝________．
【答案】（1）80º；（2）85º；（3）
【分析】（1）由题意易得＝＝＝，进而可得＝，＝，然后问题可求解；
（2）由题意易得，，则有，进而可得＝，然后问题可求解；
（3）由题意可得，则有＝，然后根据角的和差关系可求解．
【详解】解：（1）∵、是的三等分线，
∴＝＝＝，
∵射线、分别平分和，
∴＝，＝，
∴＝＝；
（2）∵射线、分别平分和，
∴，，
∴，
∵＝，＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝＝；
故答案为85°；
（3）∵射线、分别平分和，
∴，，
∴，
∵＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝；
故答案为．
【点评】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的性质．
【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM，ON分别平分∠AOD、∠COB．
(1)求∠MON的度数；
(2)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图②的位置，求∠MON的度数；
(3)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图③的位置，猜想∠MON的度数，并说明理由．
【答案】(1)52．5°
(2)52．5°
(3)52．5°，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质，分别求出∠NOB和∠MOB，相加即可求得∠MON，
（2）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则+，将式子变形为∠MON= =，代值计算即可，
（3）同（2）由角平分线分别表示出∠MOD和∠NOB，则-，将式子变形为∠MON= ，代值计算即可，
（1）
∵平分，平分．
∴∠NOB=∠COB=22．5°，
∠MOB=∠AOD=30°，
∴=∠NOB+∠MOB=22．5°+30°=52．5°，
（2）
∵平分，平分．
∴∠MOD=∠AOD，∠NOB∠COB，
∴，
，
（3）
∵平分，平分．
∴∠MOD=∠AOD，∠NOB=∠COB，
∴，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，几何图形中角的计算．准确识图并发现角度之间的关系是解题关键．
【题型6 角中的方程思想】
【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．
(1)如图①，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC=40°，则∠AOC=________．
(2)如图②，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由．
(3)若∠CON=50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC=∠AOM，则∠BON=________．（可用备用图．）
【答案】(1)50°
(2)OA平分∠MOC，见解析
(3)30°或60°
【分析】（1）代入∠AOB=∠AOC+∠COB求出即可；
（2）求出∠COB=∠BON，根据∠AOB=90°求出∠AOM+∠BON=90°，∠AOC+∠COB=90°，推出∠AOM=∠AOC，即可得出答案；
（3）设∠BOC=x°，则∠AOM=3x°，分OB在∠CON的内部和在∠COM的内部时两种情况讨论，利用平角的性质列出方程求解即可．
（1）
解：∵∠AOB=∠AOC+∠COB=90°，
又∵∠COB=40°，
∴∠AOC=50°，
故答案为：50°；
（2）
解：OA平分∠MOC，理由如下：
∵OB平分∠NOC，
∴∠COB=∠BON=∠NOC，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=180°-90°=90°，
∵∠AOC+∠COB=90°，
∴∠AOM=∠AOC，
∴OA平分∠MOC；
（3）
解：设∠BOC=x°，则∠AOM=3x°，
当OB在∠CON的内部时，如图：
∴∠AOC=90°-x°，∠COM=180°-50°=130°，
∴∠AOM+∠AOC=∠COM=130°，
∴3x+90-x=130，
∴x=20，
∴∠BOC=20°，
∴∠BON=50°-20°=30°；
当OB在∠COM的内部时，如图：
∴∠AOM+∠AOB+∠BOC=∠COM=130°，
∴3x+90+x=130，
∴x=10，
∴∠BOC=10°，
∴∠BON=10°+50°=60°；
故答案为：30°或60°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，一元一次方程的应用，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键.
【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知是的平分线，若，求的度数．
【答案】∠AOD=．
【分析】设∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，由，求出x=8，可求∠AOB=7x°=56°
由OD是∠AOB的平分线，可得∠AOD=∠AOB=即可．
【详解】∵∠AOC：∠AOB=2：7，
∴设∠AOC=2x°，∠AOB=7x°，
∵
∴2x=16
∴x=8
∴∠AOB=7x°=7×8°=56°
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠AOD=∠AOB=．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，7等分角问题，关键是能根据题意得出关于x的方程．
【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分．
(1)当时，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据邻补角得出，再由角平分线得出，结合图形求解即可；
（2）设，结合图形利用角平分线及一元一次方程求解即可．
（1）
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）
设，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知，三角形COD是含有角的三角板，，OE平分．
(1)如图1，当时，_____________；
(2)如图2，当时，_____________；
(3)如图3，当（）时，求的度数（用表示）；
(4)由前三步的计算，当时，请直接写出与的数量关系为_______________________________________．
【答案】(1)15
(2)30
(3)
(4)
【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得；
（2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得；
（3）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得；
（4）设，分①和②两种情况，参照（1）和（3）的方法求解即可得．
（1）
解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：15．
（2）
解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：30．
（3）
解：，
，
平分，
，
，
．
（4）
解：设，
①如图1和图2，当时，
，
，
平分，
，
，
，
即；
②如图3，当时，
同（3）可得：，
则；
综上，与的数量关系为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确找出图形中的角之间的关系是解题关键．
【题型7 角中的分类讨论思想】
【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
(1)如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
(2)点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
【答案】(1)∠AOC的度数为40°或80°；
(2)①：t=或；②∠BOD=度
【分析】（1）分两种情况讨论，列式计算即可；
（2）①分两种情况讨论，列式计算即可；
②计算得到∠COD=8t-180°，分两种情况讨论，列式计算即可．
(1)
解： OC是∠AOB的三等分线，
当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=80°；
当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=40°；
综上，∠AOC的度数为40°或80°；
(2)
解：①∵OC是∠AOD的三等分线，
∴OC在∠AOD内，
依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t，
解得：t=或；
②∵OC是∠BOD的三等分线，
∴OC在∠BOD内，
∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，
∴∠COD=8t-180°，
依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t，
解得：t=或；
∴∠BOD=度或度（舍去）．
【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三等分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °
(2)若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= °；
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=(30°<<90°) ，求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
【答案】（1）21°；（2）14°；（3）α；（4）∠OGA的度数为α+15°或α﹣15°
【分析】（1）由于∠BAD=∠OBA+∠BOA=α+90°，由AF平分∠BAD得到∠FAD=∠BAD，而∠FAD=∠EOD+∠OGA，，则∠OGA=α，然后把∠OBA=α=42°代入计算即可；
（2）由于∠GOA=∠BOA=30°，∠GAD=∠BAD，∠OBA=α，根据∠GAD=∠EOD+∠OGA得到，则∠OGA=α，然后把∠OBA=α=42°代入计算即可；
（3）由（2）得到∠OGA=α；
（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，则∠EOD=30°，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到，则∠OGA=α+15°；
当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA=α﹣15°．
【详解】（1）21°；
（2）14°；
（3）；
（4）当∠EOD：∠COE=1：2时，则∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，
而AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠BAD，
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA=α+90°，
∴∠OGA=α+15°；
当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，
同理得到∠OGA=α﹣15°，
即∠OGA的度数为α+15°或α﹣15°．
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．
【变式7-2】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，，，，分别是，的平分线．
(1)如图1，当在左侧，且时，的度数是_________；
(2)当的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究的大小与的数量关系；
(3)当的度数为时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或
【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差关系求解；
（2）分OC在OB左侧，OC在内部，OC在OA下方三种情况，利用角的和差关系分别计算即可求解；
（3）将代入（2）中结论即可求解．
（1）
解：由题意得，，，
∵，分别是，
∴，，
∴，
即的度数是；
（2）
解：分三种情况讨论，当OC在OB左侧时，如下图所示：
；
当OC在内部时，如下图所示：
；
当OC在OA下方时，如下图所示：
；
综上可知，或或．
（3）
解：由（2）可知，时，
，或，或
解得，或，或（舍去），
即的度数为或．
【点睛】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，需要注意OC的位置有多种可能，掌握分类讨论思想是解题的关键．
【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”
（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示）；
深入研究：
如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值．
【答案】（1）是；（2）或或；深入研究：当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
深入研究：分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【详解】（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”，
故答案为：是；
（2）∵∠MPN=α，
当∠MPN=2∠MPQ时，如图：
∴∠MPQ=；
当∠QPN=2∠MPQ时，如图：
∴∠MPQ=；
当∠MPQ=2∠QPN时，如图：
∴∠MPQ=，
故答案为：或或；
深入研究：
依题意有：
①，
解得；
②，
解得；
③，
解得；
故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【点睛】本题考查了几何问题中的角度计算，解一元一次方程，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”的定义是解题的关键．
【题型8 角中的数形结合思想】
【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2．
(1)求∠AOC，∠BOC的度数；
(2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使∠BON=70°，补全图形， 并求出∠MON的度数；
(3)若存在射线OD，使∠AOD=4∠BOD，请直接写出所有可能的∠COD的度数．
【答案】(1)∠AOC=40°，∠BOC=80°
(2)∠MON=30°
(3)56°或120°或128°
【分析】（1）根据角的倍分关系求解即可；
（2）根据题意画出图形，求出∠CON和∠COM即可求解；
（3）分射线OD在∠AOB的内部和射线OD在∠AOB的外部分别求解即可．
(1)
解：∵∠AOB=120°，∠∠AOC：∠BOC=1：2．
∴∠AOC=∠AOB=40°，∠BOC=∠AOB=80°；
(2)
解：如图，
∵∠BOC=80°，∠BON=70°，
∴∠CON=∠BOC-∠BON=10°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=20°，
∴∠MON=∠CON+∠COM=30°；
(3)
解：当射线OD在∠AOB的内部时，如图，
∵∠AOD=4∠BOD，
∴∠BOD=∠AOB=24°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-24°=56°；
当射线OD在∠AOB的外部时，如图，
∵∠AOD=4∠BOD，
∴∠BOD=∠AOB=40°，或∠BOD=(360°-∠AOB)=48°
∴∠COD=∠BOC+∠BOD=80°+40°=120°，或∠COD=80°+48°=128°，
综上，∠COD的度数为56°或120°或128°．
【点睛】本题考查简单作图、角平分线的定义、角的运算，属于基础题型，解答关键是理解题意，利用数形结合和分类讨论思想进行角度的运算．
【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）已知、，射线平分；
(1)如图1，已知、，若，求的度数；
(2)、的位置如图2，已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据邻补角性质求出，再根据角平分线定义求出∠EOD度数，即可由求解；
（2）由角平分线得，又因为，则 ，即可求解．
（1）
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）
解：∵平分，
∴
∵，
∴
∴
【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算，利用数形结合，熟练掌握利用数形结合进行角的和差倍分运算是解题的关键．
【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC，∠BOD的内部作射线OM，ON，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数．
(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．
(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC的度数为x°，我们就能用含有x°的式子表示出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠MON的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．
(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据题意，由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数，即可求解．
【详解】（1）OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD

，
（2）∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD
设∠AOC的度数为x°，
∠COM+∠DON，
，
（3）∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD
设∠AOC的度数为x°，
∠COM+∠DON，
．
【点睛】本题考查了角平分线，等分线，角度的和差计算，数形结合是解题的关键．
【变式8-3】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．
【A组研究】
在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．
（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；
（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【B组研究】
在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．
（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；
（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．
【答案】（1）；（2）不变，；（3）；（4）不变，
【分析】（1）根据即可求得答案；
（2）根据条件得，又因为，得出答案；
（3）根据 ，得出答案；
（4）根据=，得出答案；
【详解】解: (1) ，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
，
故答案为：；
(2)不变；
∵，
∴，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴，
∴，
，
=，
=，
=；
(3) ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：60°；
(4)不变，
由题意得，，
，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键根据角平分线的性质结合图形得出结论．次数
Pi-1Pi
线段OPi的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
…
…
…
次数
Pi-1Pi
线段OPi的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
…
…
…