初中数学华师大版九年级下册第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系3. 切线学案设计

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第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
学习目标：
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）
3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
自主学习
一、知识链接
1.圆是轴对称图形，它的对称轴是____________________.
2.（1）切线的判定定理:__________________________________________________________.
(2)切线的性质定理:____________________________________________________________.
3.三角形的外接圆是指__________________________________________;其外心是三角形______________
______________的交点，其到三角形______________的距离相等.
4.角平分线的判定定理:__________________________________________________________；
角平分线的性质定理:____________________________________________________________.
思考： 过☉O外的一点，能作☉O的几条切线？
二、新知预习
（预习课本P52-54）填空并完成练习：
1.圆的切线上某一点与______之间的线段长， 叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的_____________相等.这一点和圆心的连线______这两条切线的夹角.
3.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的________,三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的_________.这个三角形叫做这个圆的__________.三角形的内心是三角形三条__________的交点.
练习：.
如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

第1题图 第2题图 第3题图
如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠APB=50°，则∠AOP=__________．
3.如图，I是△ABC的内心，∠ABC=60°，则∠AIC=__________．
合作探究
要点探究
探究点1：切线长定理
做一做 在纸上画一个圆，在圆外任选一点P，过点P作圆的切线.沿着直线PO将纸张对折，设点A的对应点为点B，连结PB.
问题1 PB是☉O的切线吗？请简要说明理由.
问题2 PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
【要点归纳】1.切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线
的夹角.
推理验证 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
【典例精析】
例1 如图①，AB、AC是⊙O的切线，且∠A=54°，则∠BDC=__________．

图① 图②
【针对训练】如图②，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE=__________．
例2 如图所示，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E．若△PDE的周长为12，求PA的长.
探究点2：三角形的内切圆及内心
概念学习：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
问题1 如分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？
问题2 如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA、OB、OC有什么特点？
做一做 已知△ABC，作和△ABC的各边都相切的圆.
【典例精析】
例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
例4 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
知识拓展
（1）设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
解：由三角形内心的性质可知______=______=______=r.
由图形可知，S=S△AOB+S△AOC+S△BOC=________+______+______
=(_____+_____+_____）r=Lr.
（2）直角三角形的两直角边长分别是a、b,斜边长为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
方法一：面积法：由（1）中的结论，可知(a+b+c)r=____________,则r=________________.
方法二：切线长定理：由切线长定理可知AD=AC -DC=________,BE=BC -CE=________,
因为AF=________，BF=________，AF+________=c,所以_______+________=c,
则r=________.
二、课堂小结
当堂检测
1.下列关于三角形的内心说法正确的说法为（ ）
A.内心是三角形三个角平分线的交点 B.内心是三角形三边中垂线的交点
C.内心到三角形三个顶点的距离相等 D．钝角三角形的内心在三角形外
2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为_______.

第2题图 第3题图 第4题图
3.如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列说法：①PA=PB，②∠1=∠2，③OP垂直平分线段AB，其中正确说法的序号是____________.
4.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为_______.
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA=2时，求AB的长．
6.如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
参考答案
自主学习
知识链接
1.直径所在的直线
2.（1）经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径
3.经过三角形三个顶点的圆 三边的垂直平分线 三个顶点
4.到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等
二、新知预习
1.切点 2.切线长 平分 3.内切圆 内心 外切三角形 角平分线
练习：1.B 2.65° 3.120°
合作探究
一、要点探究
探究点1：切线长定理
做一做 解：PB如图所示.
问题1 解：PB是☉O的切线，理由如下：连结OA，OB.由折叠可知∠PAO=∠PBO.∵PA是☉O的切线，∴∠PAO=90°.∴∠PBO=90°.∵OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线.
问题2 解：PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证：证明：∵PA切☉O于点A，∴ OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想 解：OP垂直平分AB.证明：∵PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.
【典例精析】例1 63° 【针对训练】2
例2 解：∵PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，∴PA=PB.∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC.∵△PDE的周长为12，∴PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=
2PA=12.∴PA=6．
探究点2：三角形的内切圆及内心
问题1 解：OE=OF=OG．
问题2 解：线段OA、OB、OC 分别是∠A、∠B、∠C的平分线．
做一做 解：作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O；
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D；
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
【典例精析】例3 解：连结IB、IC.∵点I是△ABC的内心，∴IB、IC分别是∠ B、∠C的平分线，在△IBC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（43°+61°）=128°.
例4 解：设AE=x，则AF=x，CD=CE =AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC，得 (13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴ AF=4，BD=5，CE=9.
知识拓展
OE OF OG AB·OE AC·OF BC·OG AB AC BC
或 ab b-r a-r AD BE AF BF a-r b-r
当堂检测
A 2.70° 3.①②③ 4. 44
5.解：（1）∵PA、PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∠PAC=90°. ∵∠P=60°，∴∠PAB=60°.
∴∠BAC=90°-60°=30°．
（2）连结OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，∴OP=4，由勾股定理得AP＝2.
∵AP=BP，∠APB=60°，∴△APB是等边三角形. ∴AB＝AP＝2．
6.解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，BC=12，∴AC===5．
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD=BF，AD=AE，CF=CE．
设BF=BD=x，则AD=AE=13-x，CF=CE=12-x．∵AE+EC=5，∴13-x+12-x=5．∴x=10．
∴BF=10．
（2）连结OE、OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°．∴四边形OECF是矩形．∴OE=CF=BC -BF=12-10=2，即r=2．
切线长
定义
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
切线长定理
定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.
辅助线作法
①分别连结圆心和切点；②连结两切点；③连结圆心和圆外一点.
三角形的内切圆
有关概念
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
应用
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.