2022-2023学年广东省揭阳市揭西县重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市揭西县重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，主视图和左视图一样的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2−6x−11=0配方后是( )
A. (x−3)2=2B. (x−3)2=20C. (x+3)2=2D. (x+3)2=20
3.如图，在△ABC中，∠A=∠DEC，若AE=4，CE=2，CD=3，则BD等于( )
A. 4
B. 5
C. 5.5
D. 6
4.一个不透明的口袋中装有若干个红球和8个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，口袋中红球最有可能有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足−ca<0，则方程根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断
6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 四边相等B. 对角线相等C. 对角相等D. 对角线互相垂直
7.如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是( )
A. 2：1
B. 1：2
C. 3：2
D. 2：1
8.顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
9.若点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)都是反比例函数y=−a2−1x图象上的点，且x1A. y2>y1>y3B. y2y2>y3D. y110.如图，矩形ABCD的边DC在x轴上，点B在反比例函数y=3x的图象上，点E是AD边上靠近点A的三等分点，连接CE交y轴于点F，则△CDF的面积为( )
A. 2
B. 52
C. 32
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.小丽身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，同一时刻，她测得旗杆在地面的影长为16米，那么旗杆高为______米．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，BD=DC，则AD=______．
13.如图，在△ABC与△ADE中，点E在边AB上，DE⊥AB，AC⊥CB，添加一个条件后，能判定△ABC与△DAE相似，这个条件可以是______(添加一个即可)
14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AB上不与A和B重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F、则PE+PF=______．
15.如图，在正方形ABCD中，DE=CE，AF=3DF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G.下列结论：
①△DEF∽△CBE；
②∠EBG=45°；
③AD=3AG.正确的有______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知矩形的面积为定值，矩形的一组邻边a(cm)与b(cm)之间的函数关系如图所示．
(1)求出a与b之间的函数关系式．
(2)如果a=b，求矩形的周长．
17.(本小题8分)
李老师和王老师报名参加了“新冠肺炎”社区抗疫志愿服务工作．根据社区防疫安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)和D组(入户排查)．
(1)王老师被分到B组的概率是______；
(2)用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个组的概率．
18.(本小题8分)
因新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．某工厂决定从2月份起扩大产能，如图是2022年1～4月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x．
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计5月份平均日产量能否超过600万只？
19.(本小题9分)
如图，已知∠AOB，P、F是OA、OB上一点．
(1)用尺规作图法作▱OPEF；
(2)若∠AOB=30°，OP=4，OF=5，求OP与EF的距离．
20.(本小题9分)
如图，菱形ABCD中，对角线BD的长为8，菱形的边长是方程x2−9x+20=0的一个根，求该菱形的面积是多少？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S．
(1)是否存在某一时刻t，使DE/​/AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
(2)点D运动至何处时，S=18S△ABC？
22.(本小题12分)
▱ABCD中，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，写出AF与AE之间的数量关系：______；(直接写出结论)
(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且AD=32AB，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；
(3)如图3，若四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥AB，交过D点与AD垂直的直线干点F、且DF=1，求ABBF．
23.(本小题12分)
如图，矩形ABCD的面积为8，它的边CD位于x轴上．双曲线y=4x经过点A，与矩形的边BC交于点E，点B在双曲线y=4+kx上，连接AE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
(1)求k的值；
(2)求△BEF的面积；
(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
【解答】
解：A.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D.主视图和左视图相同，故本选项符合题意，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：x2−6x=11，
x2−6x+9=20，
(x−3)2=20．
故选：B．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠DEC，
∴DE/​/AB，
∴BDCD=AECE，
即BD3=42，
∴BD=6．
故选：D．
由∠A=∠DEC，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出DE/​/AB，再利用平行线分线段成比例，即可求出BD的长．
本题考查了平行线分线段成比例以及平行线的判定，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设红球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在20%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为20%，
∴xx+8=0.2，
解得：x=2，
故红球的个数为2个．
故选：B．
由摸到红球的频率稳定在20%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可．
本题主要考查了利用频率估计概率，根据大数次反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵−ca<0，
∴a、c同号，即ac>0．
∴4ac>0．
又∵b2≥0，
∴无法判断b2与4ac的大小．
∴无法判断Δ=b2−4ac的取值范围．
∴无法判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况．
故选：D．
先根据−ca<0判断出4ac>0，所以无法判断Δ=b2−4ac的取值范围，从而得出答案．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握Δ=b2−4ac的取值范围与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x2，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：x2，
解得x：y= 2：1．
故选：D．
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
8.【答案】D
【解析】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，
在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，
∴△AEH≌△DGH，
∴EH=HG，
同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH=HE=GF=EF，∠EHG=∠EFG，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：D．
根据三角形的中位线定理和菱形的判定可知，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
此题主要考查了菱形的判定，综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质．
9.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=−a2−1x中，k=−a2−1<0，
∴该反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
又∵x1∴y3故选：A．
先判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，y随x的增大而增大．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系．
10.【答案】D
【解析】解：设矩形的边长AB=CD=a，AD=BC=b，
∵点B在反比例函数y=3x的图象上，
∴B(3b,b)，
∴OC=3b，
∵点E是AD边上靠近点A的三等分点，
∴DE=23b，
∵AD//y轴，
∴△FOC∽△EDC，
∴OFED=OCDC，即OF23b=3ba，
∴OF=2a，
∴S△CDF=12CD⋅OF=12a⋅2a=1，
故选：D．
设矩形的边长AB=CD=a，AD=BC=b，即可得到B(3b,b)，得到OC=3b，根据题意得到DE=23b，通过证得△FOC∽△EDC，求得OF=2a，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，表示出OF的长是解题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：设旗杆高为x米，
根据题意得，1.52=x16，
解得：x=12，
故答案为：12．
设旗杆高为x米，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式，求解即可．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
12.【答案】3
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90°，
∵BD=DC，
∴AD是斜边BC的中线．
又∵BC=6，
∴AD=12BC=3．
故答案为：3．
由“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”进行解答．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．(即直角三角形的外心位于斜边的中点)．
13.【答案】∠BAC=∠D或ACDE=BCAE或DA//BC(答案不唯一)
【解析】解：∵DE⊥AB，AC⊥CB，
∴∠C=∠AED=90°，
故只需要增加一组角对应相等即可，
可添加∠BAC=∠D，
此时△ABC∽△DAE，
也可添加∠B=∠EAD，或ACDE=BCAE或DA/​/BC都可以，
故答案为：∠BAC=∠D或ACDE=BCAE或DA//BC(答案不唯一)．
根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加∠AED和∠ACB的两边对应成比例，或添加DA/​/BC．
本题主要考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】125
【解析】解：连接OP，如图，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC= AB2+BC2=5，
∴S△AOD=14S矩形ABCD=3，OA=OB=52，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OB⋅PF=12OA(PE+PF)=12×52×(PE+PF)=3，
∴PE+PF=125，
故答案为：125．
首先连接OP.由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB，S△AOD=14S矩形ABCD=3，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OB⋅PF=12OA(PE+PF)=12×52×(PE+PF)=3，求得答案．
此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15.【答案】①②③
【解析】解：设DF=x，则AF=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=∠ABC=90°，AD=CD=BC=AB=4x，
∴DE=CE=12CD=2x，
∴DFDE=CEBC=12，
∴△DEF∽△CBE；
故①正确；
∵△DEF∽△CBE，
∴EFBE=CEBC=12，∠FED=∠EBC，
∵∠CEB+∠EBC=90°，
∴∠FED+∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠C，
∴△FEB∽△ECB，
∴∠FBE=∠EBC，
∵EG⊥BF，
∴∠EHB=90°，
在△HBE和△CBE中，
∠EHB=∠C∠HBE=∠CBEBE=BE，
∴△HBE≌△CBE(AAS)，
∴BC=BH，CE=HE，
∴AB=BH，
在Rt△ABG和Rt△HBG中，
BG=BGAB=BH，
∴Rt△ABG≌Rt△HBG(HL)，
∴∠ABG=∠HBG，AG=GH，
∴∠EBG=∠HBG+∠HBE=12∠ABC=12×90°=45°；
故②正确；
∵△HBE≌△CBE，
∴HE=CE，
∵DE=CE，
∴DE=EH，
在Rt△DEF和Rt△HEF中，
EF=EFDE=HE，
∴Rt△DEF≌Rt△HEF(HL)，
∴DF=FH，
∵∠FGH=∠EGD，∠FHG=∠GDE=90°，
∴△FHG∽△EDG，
∴GHDG=FHDE，
∴AGDG=DFDE=12，
∴AGAD=13，
∴AD=3AG．
故③正确．
故答案为：①②③．
设DF=x，则AF=3x，由正方形的性质得出∠A=∠D=∠C=∠ABC=90°，AD=CD=BC=AB=4x，可得出DFDE=CEBC=12，则可得出①正确；证明△HBE≌△CBE(AAS)，由全等三角形的性质得出BC=BH，CE=HE，证明Rt△ABG≌Rt△HBG(HL)，得出∠ABG=∠HBG，则可得出②正确；证明Rt△DEF≌Rt△HEF(HL)，由全等三角形的性质得出DF=FH，证明△FHG∽△EDG，由相似三角形的性质可得出③正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
16.【答案】解：(1)设矩形的面积为k，则a=kb，
把(12,3)代入得：
3= k12，
解得k=36，
∴a=36b(b>0)；
(2)当a=b时，
b=36b，
解得b=6或b=−6(舍去)，
∴a=b=6，
∵2(a+b)=24，
∴矩形的周长为24．
【解析】(1)用待定系数法即可得到答案；
(2)结合(1)，令a=b解出a，b的值，可得矩形的周长．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求出函数解析式．
17.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可知：王老师被分到B组的概率是14．
故答案为：14；
(2)列表：
∴李老师和王老师被分配到同一个组的概率为：416=14．
(1)利用概率公式求解即可；
(2)利用列表法求解即可．
本题考查简单概率公式，列表法求概率，解题的关键是理解题意，掌握简单概率公式，列表法求概率．
18.【答案】解：(1)设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
依题意得：150(1+x)2=384，
解得：x1=0.56=67%，x2=−3.56(不符合题意，舍去)，
答：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为56%；
(2)由(1)得：384×(1+56%)=599.04(万只)，
∵600万只>599.04万只，
∴5月份平均日产量不能超过600万只．
【解析】(1)观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量=该厂家2月份的口罩产量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解；
(2)利用(1)中所求增长率，进而得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，▱OPEF即为所求；

(2)如图，过点O作OG⊥EF的延长线于点G，
则OG的长度即为OP与EF的距离，

∵OP//EF，
∴∠OFG=∠AOB=30°，
∵OF=5，
∴OG=12OF=52，
即OP与EF的距离为52．
【解析】(1)根据平行四边形的判定即可用尺规作图法作出▱OPEF；
(2)结合(1)根据∠AOB=30°，OF=5，即可求OP与EF的距离．
本题考查了平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
20.【答案】解：∵x2−9x+20=0可化为(x−4)(x−5)=0，
∴x−4=0或x−5=0，x1=4，x2=5，
当菱形边长是4时，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
∴该菱形的边长是5，
如图，连接AC，交BD于点O，
菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，OD=12BD=4，
∴OA= AD2−OD2= 52−42=3，
∴AC=2OA=6，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24．
【解析】先利用解一元二次方程−因式分解法，求出x1=4，x2=5，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答．
本题考查了菱形的性质，解一元二次方程−因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)存在，理由如下：
假设存在某一时刻t，使DE/​/AB，
∴CDCA=CECB，
∵AC=6，BC=8，CD=t，CE=8−2t，
∴t6=8−2t8，
∴t=125，符合题意(t最大为8÷2=4秒)，
∴存在某一时刻t=125秒，使DE/​/AB；
(2)设运动t秒时，S=18S△ABC，
根据图示可知，S=S△ACE−S△DCE=18S△ABC，
∵S△ABC=12AC⋅CB=12×6×8=24平方厘米，
S△ACE=12AC⋅CE=12×6×(8−2t)=(24−6t)平方厘米，
S△DCE=12CD⋅CE=12t(8−2t)=(4t−t2)平方厘米，
∴S=(24−6t)−(4t−t2)=24−6t−4t+t2=(t2−10t+24)平方厘米，
∴S=18S△ABC，
∴t2−10t+24=18×24，
解一元二次方程得：t1=7，t2=3，
∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4，
∴t=3秒符合题意，
∴此时CD=3(cm)，
∴CD=3cm时，S=18S△ABC．
【解析】(1)通过三角形内平行线分线段成比例，列式计算，再判断得到的t值是否符合题意，来判断即可；
(2)设运动时间为t时，△ADE的面积为S=S△ACE−S△DCE=18S△ABC，计算t的值，再判断值是否符合题意．
本题考查了一元二次方程的应用，动态几何问题，解题的关键是读懂题意，掌握运动的整个过程，利用一元二次方程解决问题．
22.【答案】AF=AE
【解析】解：(1)AE=AF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∴△EAB≌△FAD(ASA)，
∴AF=AE，
故答案为：AF=AE；
(2)2AF=3AE，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=180°−90°=90°，
∴∠ABE=∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF，
∵AD=32AB，
∴ABAD=23，
∴AEAF=23，
∴2AF=3AE；
(3)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD//BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∴∠BAE=90°−∠EAF=∠DAF=30°，
∵FD⊥AD，DF=1，
∴AF=2DF=2，
∴AD=AB= 3DF= 3，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
BF= AB2+AF2= 3+4= 7，
∴ABBF= 3 7= 217．
(1)证明△EAB≌△FAD(ASA)，由全等三角形的性质得出AF=AE；
(2)证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质则可得出结论；
(3)根据菱形的性质和∠ABC=60°，得∠BAE=30°，然后根据含30度角的直角三角形求出AD，AF的值，再利用勾股定理求出BF，进而可得结论．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：延长BA交y轴于H，

∵双曲线y=4x经过点A，
∴矩形AHOD的面积为4，
∵点B在双曲线y=4+kx上，
∴矩形HOCB的面积为4+k，
∴4+8=4+k，
∴k=8；
(2)解：设A(m,4m)，则B(3m,4m)，E(3m,43m)，
∴△ABE的面积为12AB⋅BE=12⋅2m⋅83m=83，
∵△ABF的面积为4，
∴△BEF的面积为4−83=43；
(3)证明：∵△BEF的面积为4−83=43，
∴12⋅83m⋅CF=43，
∴CF=m，
∵点G与点O关于点C对称，
∴CG=OC=3m，
∴FG=CG−CF=2m，
∴AB=FG，
∵AB//FG，
∴四边形AFGB为平行四边形．
【解析】(1)延长BA交y轴于H，根据反比例函数k的几何意义可得4+8=4+k，即可得出答案；
(2)设A(m,4m)，则B(3m,4m)，E(3m,43m)，利用m的代数式表示AB，BE的长，从而得出△ABE的面积，再根据△ABF的面积是矩形ABCD面积的一半可得答案；
(3)利用△BEF的面积表示出CF的长，从而得出FG的长，根据AB/​/FG，AB=FG，即可证明结论．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中k的几何意义，图象上点的坐标的特征，平行四边形的判定等知识，利用坐标表示线段的长是解题的关键．