2022-2023学年广东省实验中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省实验中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案，旨在错定到年我国风电、太阳能发电总装机容量达到千瓦以上的目标数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，直线，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，折叠直角三角形纸片，使点落在上的点处．已知，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示、两数中较小的数，例如，则方程的解为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

10.  如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 当时，一定有随的增大而增大
C.
D. 若点的坐标为，则点的坐标为

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  用“”、“”、“”符号填空：        ．

12.  在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第______ 象限．

13.  已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为        度

14.  分解因式：        ．

15.  如图，函数与的图象相于、两点，过、两点分别作轴，垂足别为点、则四边形的面积为______ ．

16.  如图，在菱形中，，点、分别在、上，且，连接与相交于点，连接与相交于点．
若，则        ；
若，则四边形的面积最大值为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.  如图，在中，，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．
若，求的值；
若，连接，求的面积．

四、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，，点、在线段上，且，求证：．

20.  本小题分
已知．
化简．
是的整数部分，求的值．

21.  本小题分
随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次活动共调查了______人；请将条形统计图补充完整．
在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
 

22.  本小题分
广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多元，商店用元购进洗发水的数量与用元购进电池的数量相等．
求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？
已知洗发水的销售价为每件元，电池的销售价为每件元若该商店准备购进这两种用品共件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？

23.  本小题分
如图，在中，是钝角，以上一点为圆心，为弦作．
在图中作出交于点不写作法，保留作图痕迹；
若．
求证：是的切线；
，，求弦的长．

24.  本小题分
在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接．

如图，若时，求线段的长；
当点在线段上运动时，求证：．
如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值．

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧．
若抛物线的对称轴为直线，则        ．
如图，若抛物线与直线有且只有一个交点，当时，求的度数．
如图，若抛物线满足中的条件，且顶点的纵坐标为，点的坐标为，点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，秒后停止运动，设运动时间为连接，过点作的垂线交轴于点，求在点的整个运动过程中，点运动的路径长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，原几何体的左视图共两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据左视图是从左边看，得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法：把绝对值的数记成，的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，，

故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式，原计算正确，故此选项符合题意；
D、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则、同底数幂的除法的运算法则逐项分析可得答案．
本题考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质、邻补角的性质和三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行线的性质得出，然后根据邻补角的性质和三角形内角和即可求得的度数．
【解答】
解：直线，，
，
的邻补角为：，
，，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
，
则四边形面积为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，平分，，
，
又，
，
又，
，
．
故选：．
由题意可得，平分，，根据角平分线的性质和所对直角边等于斜边的一半求解．
本题主要考查翻折变化和角平分线的性质，对于折叠问题找准相等关系，得平分，是解题的关键，难度适中．
 

9.【答案】 

【解析】解：时，，
，
，
解得．
时，，
，
，
解得．
综上，可得方程的解为或．
故选：．
根据题意，时，，时，，根据解一元一次方程的方法，求出的值即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是注意分两种情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：图象与轴有两个交点，所以，故选项A错误；
抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
当对称轴在轴右边、时，不是随的增大而增大，
故选项B错误；
顶点为时，，
故C错误；
抛物线的对称轴是直线，点在点的左侧，
，
，
抛物线为，
当时，，
解得，
点的坐标为，，
若点坐标为，则．
，
点坐标为，
故D正确．
故选：．
由题意知：选项A结论错误；由抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间”可知：当对称轴在轴右边、时，不是随的增大而增大，选项B结论错误；举反例“顶点为时，”得出选项C结论错误；由“抛物线的对称轴是直线，顶点的纵坐标为，点在点左侧可得出，从而得出，坐标，从而判断D正确．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是二次函数性质的运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据有理数大小比较方法：正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此解答即可．
本题考查了有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】一 

【解析】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
点在第一象限．
故答案为：一．
因为在正比例函数中，的值随着值的增大而增大，所以，所以点在第一象限．
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设扇形的圆心角为，
扇形半径是，弧长为，
，
解得：．
故答案为：．
设扇形的圆心角为，根据弧长公式和已知得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于的方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
 

15.【答案】 

【解析】解：设的标是，则的坐标
则，．
故答是：．
设的标是，则的坐标，根据平行边形的面式即可求．
本题考查了反比函数与次函数的交点，正确理反比函数的中心称关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
点是的重心，
，
．
故答案为：．
四边形为菱形，
．
，
为等边三角形．
．
，
，，，
≌，
，
，
，
，
点、、、四点共圆，
当是直径时，四边形的面积最大，最大面积为．
故答案为：．
证明点是的重心，可得结论；
先根据在菱形中，判断出为等边三角形，故可得出的度数，再由菱形的性质求出的度数，由三角形外角的性质得出点、、、四点共圆，推出是直径时，四边形面积最大．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

17.【答案】解：过点作于点，于，则

，，





点
点在图象上

，

设点坐标为，则，两点坐标分别为，
，在图象上


，，
 

【解析】过点作于点，于，则由，，，可得，可求点坐标，即可求的值．
设点坐标为，则，两点坐标分别为，，由，是反比例函数的图象上的点．可求的值，即可求，坐标，可得的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，关键是熟练运用反比例函数的性质解决问题．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明≌即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：
．
，即．
．
当时，



． 

【解析】利用乘法的平方差公式和完全平方公式化简；
先确定的值，再代入计算．
本题主要考查了整式的混合运算，掌握乘法的完全平方公式、平方差公式，确定的值是解决本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次活动调查的总人数为人，
用微信支付的人数为人，用银行卡支付的人数为人，
故答案为：，
补全条形统计图如下：

把“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有种，
小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
用支付宝、及其他的人数和除以这二者的百分比之和可得总人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设每件洗发水的进价是元，则每件电池的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是方程的解，
，
每件洗发水的进价是元，每件电池的进价是元；
设该商店获得的利润为元，
根据题意得，
，
当时，取最大值，最大值为元，
件，
答：购进洗发水件，电池件，该商店获得最大利润元． 

【解析】设每件洗发水的进价是元，根据用元购进洗发水的数量与用元购进电池的数量相等列方程并检验，可得答案；
设该商店获得的利润为元，可得，由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
 

23.【答案】解：如图，，点即为所求；

证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
设，，则有，
负根已经舍去，
． 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点；
连接，证明即可；
证明∽，推出，因为，，所以，因为，所以，推出，设，，则有，求出，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：过点作直线于，

是等腰直角三角形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
；
证明：如图，延长至，使，连接，

，，，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
，
；
解：如图，连接，，，，

由可知，，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
又，
≌，
，
点在以点为圆心，长为半径的圆上，
点在线段上时，有最小值，
的最小值为． 

【解析】由“”可证≌，可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，由余角的性质可求解；
先求的长，由“”可证≌，可得，则点在以点为圆心，长为半径的圆上，当点在线段上时，有最小值，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
经检验，是方程的解，
；
故答案为：；
过作轴于，如图：

抛物线与直线有且只有一个交点，
有两个相等实数解，即有两个相等实数解，
，即，
，
的解为，
，
，，
在中，令得，
，
，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
由得，抛物线的对称轴为直线，
顶点，
根据题意，从开始，以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，秒后停止运动，
最终运动到点；
过点作直线的垂线，垂足为点，交轴于点，连接，
点在轴左侧，此时点在点的上方，当点的坐标为时，点的位置最高，如图：

，，
∽，
，
，，
，，，
，
；
当点在轴右侧且在直线左侧，此时点的最低位置在点下方，如图：

同理可得∽，
，
，
设，则，
当时，的最大值为，
，
当点在直线右侧，则点在点的上方，当点坐标为时，点的位置最高，如图：

同理可得∽，
，
，
，
，
点运动路径的长为．
根据抛物线的对称轴为直线，有，即得；
过作轴于，根据抛物线与直线有且只有一个交点，知有两个相等实数解，故，，可得，在中，得，，故H，从而；
由得，抛物线的对称轴为直线，顶点，从开始，最终运动到点；过点作直线的垂线，垂足为点，交轴于点，连接，点在轴左侧，此时点在点的上方，当点的坐标为时，点的位置最高，证明∽，可得，；当点在轴右侧且在直线左侧，此时点的最低位置在点下方，同理可得∽，，设，则，有二次函数性质可得的最大值为，故，当点在直线右侧，则点在点的上方，当点坐标为时，点的位置最高，同理可得∽，，从而可求点运动路径的长为．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．