2022-2023学年广东省揭阳市榕城区、揭西县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省揭阳市榕城区、揭西县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  新型冠状病毒呈圆形或者椭圆形，最大直径约米，该数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，某同学的家在处，他想尽快赶到附近处搭顺风车他选择第条路线，用几何知识解释其道理正确的是(    )

A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短
D. 经过一点有无数条直线

4.  以下计算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列各式能用平方差公式计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若是常数是完全平方式，则的值等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，下列条件中，能判定的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  晚饭后彤彤和妈妈散步到小区旁边的公园，在公园中央的休息区聊了会天，然后一起跑步回家，下面能反映彤彤和妈妈离家的距离与时间的函数关系的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若成立，则应满足的条件是______ ．

12.  一个角的余角比它的补角的大，则这个角的度数是______

13.  若中不含的一次项，则的值为______．

14.  如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，节链条总长度为，则关于的函数关系式是______ ．

 

15.  现定义一种运算“”，对任意有理数，规定：，如：，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知，．
分别求与的值；
求代数式的值．

18.  本小题分
阳阳离开家去新华书店买书，回来后，阳阳用所学知识绘制了一张反映他离家的距离与时间的关系图，请根据阳阳绘制的这张图回答以下问题：
在上述变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
阳阳到达新华书店用了多长时间？新华书店离阳阳家有多远？
阳阳从家到新华书店的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？

19.  本小题分
如图，直线，相交于点，．
若，，求的度数；
如果与互相垂直，那么吗？请说明理由．

20.  本小题分
在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律如图是年月份的日历，我们任意选择两组“”字型方框，将每个“”字型方框个位置上的数交叉相乘，再相减．
如：；，不难发现结果都是．
请再写出一个具有上述特征的等式；
若设最左边的数为，请用含的等式表示以上规律；
利用整式的运算对以上的规律加以证明．

21.  本小题分
已知多项式，多项式．
若多项式是完全平方式，则 ______ ；
有同学猜测的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
若多项式的值为，求和的值．

22.  本小题分
我们知道，同底数幂的乘法法则为其中，、为正整数，类似地，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：其中、为正整数．
例如，若，则．
若，
填空：        ；
当，求的值；
若，化简：．

23.  本小题分
【问题】如图，若，，则 ______ ；
【问题归纳】如图，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】如图，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，
到的距离是垂线段的长度，
故选：．
根据点到直线的距离的定义，可得答案．
本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用科学记数法的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定，确定和的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：他选择第条路线，用几何知识解释其道理正确的是：两点之间，线段最短．
故选：．
依据线段的性质进行判断即可．两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
本题主要考查了线段的性质，简单说成：两点之间，线段最短．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A选项错误，不符合题意；
不能合并，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故选：．
利用积的乘方判断，利用同类项与合并同类项法则判断，利用积的乘方，单项式与单项式相乘法则判断，利用多项式除以单项式法则判断即可．
本题考查整式的运算；熟练掌握积的乘方，同类项定义与合并同类项法则，单项式乘单项式法则，单项式乘多项式法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式可化为，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
B、原式可化为，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、原式可化为，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、不符合两个数的和与这两个数的差相乘，不能用平方差公式计算，故本选项错误．
故选：．
根据平方差公式对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是常数是完全平方式，
，
或．
故选：．
根据完全平方式的结构特点，得到，从而得到的值．
本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可得，
余下的阴影部分面积是：

，
故选：．
根据图形可知：余下的阴影部分面积大长方形的面积空白小长方形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：、因为和一组内错角，且，根据内错角相等两直线平行可以判定，故符合题意，
B、因为和是一组同位角，且根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意，
C、因为和是一组对顶角，和是一组同旁内角，，即，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意，
D、，因为和一组邻补角，所以不能判定两直线平行，
故选：．
根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；可以进行判定．
本题主要考查两直线平行的判定，解决本题的关键是要熟练掌握直线平行的判定定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：图象应分三个阶段，第一阶段：散步到离家较远的公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：在公园中央的休息区聊了会天，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；
第三阶段：跑步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度大于第一阶段的速度，则B错误．
故选：．
根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
本题考查了函数的图象，解题的关键是理解路程的含义，理解直线的倾斜程度与速度的关系，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式


．
故选：．
原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
根据零指数幂的底数不能为零，即可得到答案．
本题考查了零指数幂，利用零指数幂的底数不能为零得出不等式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个角的度数为，
根据题意得：，
解得：．
所以这个角的度数为．
故答案为：．
设这个角的度数为，由题意列出方程，解方程即可．
本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
又结果中不含的一次项，
，
解得．
把式子展开，找到的一次项的所有系数，令其为，可求出的值．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当多项式中不含有哪一项时，即这一项的系数为．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
节链条的长度，
节链条的总长度，
节链条的总长度，

节链条总长度，
故答案为：．
先求出节链条的长度，节链条的总长度，节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
先根据新运算进行变形，再根据整式的运算法则进行计算即可．
本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

16.【答案】解：原式


． 

【解析】先根据零指数幂，负整数指数幂，积的乘方的逆用、有理数的乘方计算各项，再进行加减运算．
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
 

17.【答案】解：当，时，
，
，
，
，
．
原式



． 

【解析】根据完全平方公式即可求出答案．
根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：自变量为时间，因变量为距离；
由图象可得：分钟，
阳阳到达新华书店用了分钟；
新华书店离阳阳家有米；
米分；米分，
阳阳从家到新华书店的平均速度是米分；返回时的平均速度是米分． 

【解析】根据自变量与因变量的定义求解；
阳阳所行驶的路线包括三部分，去书店买书，在书店买书，从书店回家，由图象知分钟去书店；分钟对应的距离即为新华书店离阳阳家的距离；
去新华书店的时间为分钟，分钟为回家路上用的时间；利用速度距离除以时间，从而可得答案．
本题主要考查从函数的图象中获取信息，结合图形进行求解是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
；
，理由如下：
如果与互相垂直，
则，
，
，
，
，
． 

【解析】利用垂直的定义求出，进而求出，再根据平角的定义可得；
如果与互相垂直，则，由可得，通过等量代换可得．
本题考查余角、平角、垂直的定义，角的和差关系，解题的关键是熟练掌握余角、平角、垂直的定义．
 

20.【答案】解：由题意可得，
一个具有上述特征的等式为：；
设最左边的数为，则右上角的数字为，左下角的数字为，右下角的数字为，
由题意可得：；


，
则成立． 

【解析】根据题意可以写出一个具有上述特征的等式，注意本题答案不唯一；
根据题意可以用含的等式表示以上规律；
根据整式的乘法可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，即可证明等式成立．
本题考查整式的混合运算、列代数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
 

21.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
，
．
故答案为：；
猜测不正确，理由：
，，
，
结果含字母，
的结果不是定值；
由题意可得，
，
，
，，
．
根据完全平方式的定义计算即可；
把，代入计算即可；
由题意可得，整理后利用非负数的性质求解即可．
本题考查了完全平方式以及整式的加减，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式．
 

22.【答案】 

【解析】解：，



；
故答案为：；


，
，
，
，
；





，





，
，
，



．
根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；
结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，
，
，
，，
．
故答案为：；
，
理由如下：如图，
，
，
，，
；
，
理由如下：如图，过点作，
，
，
，，
．
过点作，根据平行线的性质求解即可；
根据平行线的性质求解即可；
过点作，根据平行线的性质求解即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键．