人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用同步练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.2.4 三角恒等变换的应用同步练习题，共7页。

A.sin eq \f(α,2)B．cs eq \f(α,2)
C．－cs eq \f(α,2) D．－sin eq \f(α,2)
2．已知cs θ＝－ eq \f(1,5)， eq \f(5π,2)<θ<3π，那么sin eq \f(θ,2)＝( )
A. eq \f(\r(10),5)B．－ eq \f(\r(10),5)
C． eq \f(\r(15),5) D．－ eq \f(\r(15),5)
3．若cs 2θ＝－ eq \f(1,3)，则 eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝( )
A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2)
4．若将角θ的终边绕原点逆时针旋转90°后与单位圆的交点的纵坐标为－ eq \f(5,13)，则cs2θ的值为( )
A．－ eq \f(119,169) B． eq \f(119,169)
C． eq \f(120,169)D．－ eq \f(120,169)
5．已知sin ( eq \f(2 021π,4)＋α)＝－ eq \f(5,13)，则sin 2α＝( )
A． eq \f(12,13) B． eq \f(25,169)
C．－ eq \f(5,13) D．－ eq \f(119,169)
6．已知函数f(x)＝cs4x＋2sinx cs x－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．
7．设a＝ eq \f(1,2)cs6°－ eq \f(\r(3),2)sin 6°，b＝ eq \f(2tan 13°,1＋tan213°)，c＝ eq \r(\f(1－cs50°,2))，则有( )
A．a>b>c B．aC．a8．函数f(x)＝sin x cs x＋(1＋tan2x)cs2x的最小正周期和最大值分别是( )
A．π和 eq \f(3,2) B． eq \f(π,2)和1
C．π和1 D．2π和 eq \f(3,2)
9．(多选)在y＝tan eq \f(x,2)的定义域内，下列各式中恒成立的是( )
A．tan eq \f(x,2)＝ eq \r(\f(1－cs x,1＋cs x)) B．tan eq \f(x,2)＝－ eq \r(\f(1－cs x,1＋cs x))
C．tan eq \f(x,2)＝ eq \f(1－cs x,sin x) D．tan eq \f(x,2)＝ eq \f(sin x,1＋cs x)
10．(多选)已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)(sin x－cs x), 则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期为π
B．若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x1）))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x2）))＝2，则x1＋x2＝ eq \f(kπ,2)，k∈Z
C.f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是增函数
D．y＝f(x)的对称轴为x＝ eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z
11．已知sin α＝ eq \f(4\r(3),7)，α∈( eq \f(π,2)，π).
(1)求sin2 eq \f(α,2)的值；
(2)若sin(α＋β)＝ eq \f(3\r(3),14)，β∈(0， eq \f(π,2))，求β的值．
12．已知函数f(x)＝sin 2x－2 eq \r(3)sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若任意x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))恒成立，f(x)≤m，求m的范围．
13．已知函数f(x)＝2cs2x＋2cs (2x＋ eq \f(4π,3))＋1.
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
14．已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋m在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为6.
(1)求常数m的值；
(2)当x∈R时，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到函数g(x)，求函数g(x)的单调递减区间对称中心．
15.已知函数f(x)＝sin(2x＋ eq \f(π,6))＋2cs2(x－ eq \f(π,6)).
(1)求f(x)的最小正周期以及f( eq \f(π,12))的值；
(2)若g(x)＝f( eq \f(π,2)－x)，求g(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))的取值范围．
8．2.4 三角恒等变换的应用
必备知识基础练
1．答案：C
解析：∵π<α<2π，∴eq \f(π,2)∴eq \r(\f(1－cs（α－π）,2))＝eq \r(\f(1＋csα,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝－cseq \f(α,2)，故选C.
2．答案：D
解析：由题意，得eq \f(5π,4)3．答案：A
解析：由题意，cs2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq \f(1,3).故选A.
4．答案：A
解析：由题意可得sin (θ＋eq \f(π,2))＝－eq \f(5,13)，则csθ＝－eq \f(5,13)，
从而有cs2θ＝2cs2θ－1＝－eq \f(119,169).故选A.
5．答案：D
解析：因为sin(eq \f(2021π,4)＋α)＝－eq \f(5,13)，
所以sin (eq \f(π,4)＋α)＝eq \f(5,13)，所以sin2α＝－cs (eq \f(π,2)＋2α)，
＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（\f(π,4)＋α）))，
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2×（\f(5,13)）2))＝－eq \f(119,169).故选D.
6．解析：(1)由f(x)＝cs4x＋2sinxcsx－sin4x＝(cs2x－sin2x)(cs2x＋sin2x)＋sin2x
＝cs2x＋sin2x＝eq \r(2)sin (2x＋eq \f(π,4))，
则f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π.
(2)由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
则2kπ＋eq \f(π,4)≤2x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z，则kπ＋eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(5π,8)，k∈Z，
所以f(x)的单词递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z).
(3)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
当2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,4)时，即当x＝eq \f(π,2)时，函数f(x)取最小值，且f(x)min＝eq \r(2)sineq \f(5π,4)＝－1.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：由题易知a＝sin24°，b＝eq \f(2sin13°,cs13°)·eq \f(cs213°,sin213°＋cs213°)＝sin26°，c＝sin25°，所以a8．答案：A
解析：f(x)＝sinxcsx＋(1＋tan2x)cs2x＝eq \f(1,2)sin2x＋1，
∴f(x)的最小正周期为π，最大值为eq \f(3,2).
9．答案：CD
解析：由taneq \f(x,2)＝±eq \r(\f(1－csx,1＋csx))知A、B不恒成立，C、D显然恒成立，故选CD.
10．答案：AB
解析：f(x)＝(sinx＋csx)(sinx－csx)＝－(cs2x－sin2x)＝－cs2x，故周期T＝eq \f(2π,2)＝π，A选项正确；注意到eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x）))eq \s\d7(max)＝1，于是由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x1）))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x2）))＝2可知，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x1）))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f（x2）))＝1，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs2x1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs2x2))＝1，解得x1＝eq \f(k1π,2)，x2＝eq \f(k2π,2)，k1，k2∈Z，则x1＋x2＝eq \f(（k1＋k2）π,2)，即x1＋x2＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，B选项正确；注意到f(－eq \f(π,4))＝f(eq \f(π,4))＝0，故在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上不单调，C选项错误；令2x＝kπ，k∈Z，即x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z为对称轴，D选项错误．故选AB.
11．解析：(1)因为sinα＝eq \f(4\r(3),7)，α∈(eq \f(π,2)，π)，所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(1,7)，从而sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,2)＝eq \f(4,7).
(2)因为α∈(eq \f(π,2)，π)，β∈(0，eq \f(π,2))，所以α＋β∈(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))，所以cs (α＋β)＝－eq \r(1－sin2（α＋β）)＝－eq \f(13,14)，所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)csα－cs (α＋β)·sinα＝eq \f(3\r(3),14)×(－eq \f(1,7))－(－eq \f(13,14))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2)，∴β＝eq \f(π,3).
12．解析：(1)∵f(x)＝sin2x－2eq \r(3)sin2x＝sin2x＋eq \r(3)cs2x－eq \r(3)＝2sin (2x＋eq \f(π,3))－eq \r(3)，
∴f(x)的最小正周期为π；
(2)∵0≤x≤eq \f(π,6)，
∴eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，
当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,12)时，f(x)max＝f(eq \f(π,12))＝2－eq \r(3)，
∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，使f(x)≤m恒成立⇔f(x)max≤m，
∴m≥2－eq \r(3).
13．解析：(1)因为f(x)＝2cs2x＋2cs (2x＋eq \f(4π,3))＋1＝4cs (2x＋eq \f(2π,3))cseq \f(2π,3)＋1＝－2cs (2x＋eq \f(2π,3))＋1＝－2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋（2x＋\f(π,6)）))＋1＝2sin (2x＋eq \f(π,6))＋1，
所以f(eq \f(π,12))＝2sineq \f(π,3)＋1＝eq \r(3)＋1.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋eq \f(π,6))＋1，
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z).
令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，解得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z).
14．解析：(1)f(x)＝eq \r(3)sin2x＋2cs2x＋m＝eq \r(3)sin2x＋1＋cs2x＋m＝2sin (2x＋eq \f(π,6))＋m＋1，
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上f(x)的最大值为2＋m＋1＝6，解得m＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin (2x＋eq \f(π,6))＋4.
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到g(x)＝2sin (4x＋eq \f(π,6))＋4.
要求函数g(x)的单调递减区间，只需2kπ＋eq \f(π,2)≤4x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，解得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(π,3)))，k∈Z.
所以g(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(π,3)))，k∈Z，
要求函数g(x)的对称中心，只需4x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,24)，k∈Z.
所以g(x)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,24)，4))，k∈Z.
核心素养升级练
15．解析：(1)∵f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,6))＋2cs2(x－eq \f(π,6))＝sin(2x＋eq \f(π,6))＋cs (2x－eq \f(π,3))＋1＝sin (2x＋eq \f(π,6))＋cs (2x＋eq \f(π,6)－eq \f(π,2))＋1＝2sin (2x＋eq \f(π,6))＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，
f(eq \f(π,12))＝2sin (2×eq \f(π,12)＋eq \f(π,6))＋1＝2×eq \f(\r(3),2)＋1＝eq \r(3)＋1.
(2)∵f(x)＝2sin (2x＋eq \f(π,6))＋1，
∴g(x)＝f(eq \f(π,2)－x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（\f(π,2)－x）＋\f(π,6)))＋1＝2sin (2x－eq \f(π,6))＋1，
由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))可得，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(π,6)))，
∴sin (2x－eq \f(π,6))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，
∴g(x)＝2sin (2x－eq \f(π,6))＋1∈[－1，2]，
∴g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))的取值范围为[－1，2].
必备知识基础练
进阶训练第一层
关键能力综合练
进阶训练第二层
核心素养升级练
进阶训练第三层