高中数学人教B版 (2019)必修第三册8.2.4 三角恒等变换的应用多媒体教学ppt课件

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第三册8.2.4 三角恒等变换的应用多媒体教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了关键能力·合作学习，答案-4，课堂检测·素养达标，课时素养评价等内容，欢迎下载使用。

类型一　利用积化和差、和差化积公式化简求值、证明(数学运算、逻辑推理)【题组训练】　角度1　利用积化和差、和差化积公式化简求值【典例】1.在△ABC中,若sin Asin B=cs2 ,则△ABC是(　　)A.等边三角形　B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形2. =　　　　. 【思路导引】利用积化和差与和差化积公式进行等价变换.
【解析】1.选B.由已知得, [cs(A-B)-cs(A+B)]= (1+cs C),又A+B=π-C,所以cs(A-B)-cs(π-C)=1+cs C,所以cs(A-B)=1,又-π2.原式= 答案:
【变式探究】若把本例2改为:sin 20°cs 70°+sin 10°sin 50°,试求值.【解析】原式= (sin 90°-sin 50°)+ (cs 40°-cs 60°)= - sin 50°+ cs 40°- = .
　角度2　利用积化和差、和差化积公式证明恒等式【典例】在△ABC中,求证:sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin Asin Bsin C.【思路导引】利用和差化积公式变形,直至两边相等.
【证明】左边=sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin cs +sin 2C=2sin(A+B)cs(A-B)-2sin(A+B)·cs(A+B)=2sin C[cs(A-B)-cs(A+B)]=2sin C·(-2)sin ·sin =4sin Asin Bsin C=右边.所以原等式成立.
【解题策略】　和差化积的注意点　(1)套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数,然后再化积,有时函数不同名,要先化为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来.(2)在运用积化和差求值时,尽量出现特殊角,同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
【题组训练】1.求下列各式的值:(1)cs 29°cs 31°- cs 2°;(2)sin 381°sin 81°- sin 12°.【解析】(1)cs 29°cs 31°- cs 2°
(2)sin 381°sin 81°- sin 12°=sin 21°sin 81°- sin 12°
2.(1)求值:cs 20°+cs 60°+cs 100°+cs 140°.(2)已知A+B+C=π,求证:sin A+sin B-sin C=4sin sin cs .【解析】(1)原式=cs 20°+ +(cs 100°+cs 140°)=cs 20°+ +2cs 120°cs 20°=cs 20°+ -cs 20°= .
(2)因为左边=sin(B+C)+2sin cs =2sin cs +2sin ·cs =右边.所以原等式成立.
类型二　利用积化和差、和差化积公式解决三角函数性质问题(数学运算、逻辑推理)【典例】已知f(x)= x∈(0,π).(1)将f(x)表示成cs x的多项式.(2)求f(x)的最小值.
【解题策略】求解三角函数的值域(最值)的常见类型(1)形如y=asin x+bcs x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c或y=Acs(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);(2)形如y=asin2x+bsin x+c或y=acs2x+bcs x+c的三角函数,可先设sin x=t或cs x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【跟踪训练】当x为何值时,函数y= 取得最大值,并求出最大值.【解析】y= 所以当3x+ =- +2kπ ,即x= 时, 取得最大值为 .
备选类型　角的变换(数学运算)【典例】1.求值:sin(θ+75°)+cs(θ+45°)- cs(θ+15°)=　　　　. 2.求值: =　　　　. 3.已知tan(α+β)=λtan(α-β),其中λ≠1,求证:
【思路导引】1.寻找角之间的关系,可令α=θ+15°,则原式可转换为sin(α+60°)+cs(α+30°)- cs α.2.看到正切,想到将正切转化为正、余弦.3.因为2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和,然后求解.
【解析】1.令α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cs(α+30°)- cs α= sin α+ cs α+ cs α- sin α- cs α=0.答案:0
【解题策略】角的三种变换(1)常见的配角变换.α=2· ,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α= [(α+β)+(α-β)],β= [(α+β)-(α-β)], +α= - .(2)辅助角变换.asin x+bcs x= sin(x+φ),其中tan φ= .
(3)注意常值的代换.用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如1=sin2α+cs2α,1=sin 90°, =sin 30°, =cs 30°等.
【跟踪训练】　已知sin α=4sin(α+β),α+β≠kπ+ ,k∈Z,求证:tan(α+β)= 【证明】因为sin α=4sin(α+β),所以sin[(α+β)-β]=4sin(α+β),所以sin(α+β)cs β-cs(α+β)sin β=4sin(α+β).所以(cs β-4)sin(α+β)=sin βcs(α+β),因为α+β≠kπ+ ,k∈Z,所以即tan(α+β)= .
1.sin 37.5°cs 7.5°=(　　)【解析】选C.原式= [sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]= (sin 45°+sin 30°)=
2.(教材二次开发:练习改编)函数y=sin cs x的最大值为(　　)A. B. C.1D. 【解析】选B.因为y=sin cs x所以ymax=
3.(2020·天津高一检测)若A+B= ,则cs 2A+cs 2B的取值范围是(　　)
【解析】选C.cs 2A+cs 2B= =1+ (cs 2A+cs 2B)=1+cs ·cs =1+cs (A+B)·cs (A-B),因为A+B= ,所以cs 2A+cs 2B=1+cs ·cs =1- cs .因为cs ∈[-1,1],所以cs 2A+cs 2B∈ .
4. =　　　　. 【解析】原式= 答案:4
5.(2020·上海高一检测)已知sin x+sin y= ,cs x+cs y= ,则tan xtan y=　　　.
【解析】(sin x+sin y)2+(cs x+cs y)2= ,解得cs (x-y)= ,(cs x+cs y)2-(sin x+sin y)2=- ,所以cs 2x+cs 2y+2cs (x+y)=- ,和差化积,2cs (x+y)cs (x-y)+2cs (x+y)=- ,所以cs (x+y)=- ,tan xtan y= 答案:
二十一　三角恒等变换的应用(二)【基础通关-水平一】（15分钟 30分）1.函数f(x)= 是(　　)A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的非奇非偶函数D.最小正周期为π的非奇非偶函数
【解析】选D. 所以T= =π,f(x)为非奇非偶函数.
2.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=(　　) 【解析】选C.sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=2sin 30°cs(-10°)+sin 60°-sin 80°=2× ×sin 80°+ -sin 80°= .
3.cs 2α-cs αcs(60°+α)+sin 2(30°-α)的值为(　　)A. B. C. D. 【解析】选C.原式= [cs(60°+2α)+cs 60°]+ =1+ cs 2α- cs (60°+2α)- cs (60°-2α)= [cs (60°+2α)+cs (60°-2α)]+ cs 2α= ×2cs 60°cs 2α+ cs 2α= .
4.(2020·烟台高一检测)已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则(　　)A.tan (α+β)=3tan (α-β)B.tan (α+β)=2tan (α-β)C.3tan (α+β)=tan (α-β)D.3tan (α+β)=2tan (α-β)
【解析】选A.因为sin 2α=2sin 2β,
5.函数y=cs x+cs(x+ )的最大值是　　　　. 【解析】答案:
6.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=　　　　来截.
【解析】设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则又a=GC+CF=bsin x+bcs x,所以sin x+cs x= ,所以sin 因为所以答案:
【能力进阶-水平二】 (30分钟　60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知α-β= ,且cs α+cs β= ,则cs(α+β)等于(　　)A. 　B.- C. 　D.-
【解析】选D.因为cs α+cs β= ,所以因为α-β= π,所以cs = .所以cs 则cs(α+β)=
2.函数f(x)=cs cs cs 2x+ ,则f(x)的最小正周期和最大值分别为(　　)A.π, B.π, C.2π, D.2π,
【解析】选B.f(x)所以最小正周期为π,最大值为 .
3.若sin α+sin β= (cs β-cs α)且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　)
【解析】选D.因为α,β∈(0,π),所以sin α+sin β>0.所以cs β-cs α>0,cs β>cs α,所以β<α,所以0<α-β<π,由原式可知:2sin ·cs 所以tan 所以α-β=
4.已知cs 2α-cs 2β=a,那么sin (α+β)·sin (α-β)等于(　　)A.- B. C.-aD.a【解析】选C.方法一:sin (α+β)sin (α-β)=(sin αcs β+cs αsin β)(sin αcs β-cs αsin β)=sin 2αcs 2β-cs 2αsin 2β=(1-cs 2α)cs 2β-cs 2α(1-cs 2β)=cs 2β-cs 2α=-a.
方法二:原式=- (cs 2α-cs 2β)=- (2cs 2α-1-2cs 2β+1)=cs 2β-cs 2α=-a.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知f(x)=2sin 2x+2sin xcs x,下列为f(x)的单调减区间的是(　　)
【解析】选BC.因为f(x)=1-cs 2x+sin 2x由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ(k∈Z),得f(x)的单调减区间为 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,当k=0时,得f(x)的一个单调减区间当k=1时,得f(x)的一个单调减区间
6.设函数f(x)=sin +cs ,则(　　)A.y=f(x)的最小值为- ,其周期为π B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为 C.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x= 对称D.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x= 对称
【解析】选AD.f(x)= 所以y=f(x)在内单调递减,周期为π,又是最小值.所以函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.
三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知则sin θ+cs θ的值是　　　　.
【解析】 =sin cs = = cs 2θ= .所以cs 2θ= .因为θ∈ 所以2θ∈ 所以sin 2θ=- ,且sin θ+cs θ<0.所以(sin θ+cs θ)2=1+sin 2θ=1- = .所以sin θ+cs θ=- .答案:-
8.(2020·北京高一检测)已知函数y=2sin (ωx+φ)(ω>0).若存在x0∈R,使得则ω的最小值为　　　.
【解析】4= =2sin [ω(x0+2)+φ]-2sin (ωx0+φ)=4sin ω·cs [ω(x0+1)+φ],所以sin ω·cs [ω(x0+1)+φ]=1,而 ≤1,故等号成立当且仅当 =1, =1,又因为ω>0,所以ω的最小值为 .答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=2cs2 ,g(x)= (1)求证:f =g(x).(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.
【解析】(1)f(x)=2cs2 =1+cs x,g(x)= =1+2sin cs =1+sin x.因为f =1+cs =1+sin x,所以f =g(x),命题得证.
(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cs x-sin x 因为x∈[0,π],所以当 ≤π,即0≤x≤ 时,h(x)递减,当π≤x+ ,即 ≤x≤π时, h(x)递增.所以函数h(x)的单调递减区间为单调递增区间为根据函数h(x)的单调性,可知当x= 时,函数h(x)取到最小值.
10.有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?
【解析】如图所示,设∠AOB=θ 则AB=asin θ,OA=acs θ.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB,所以S=2acs θ·asin θ=a2·2sin θcs θ=a2sin 2θ.因为θ∈ ,所以2θ∈(0,π).因此,当2θ= ,即θ= 时Smax=a2.这时点A,D到点O的距离为 a,矩形ABCD的面积最大值为a2.
【创新迁移】1.在△ABC中,若B= ,则cs Asin C的取值范围为　　　　. 【解析】由题意,得cs Asin C= [sin(A+C)-sin(A-C)]= [sin(π-B)-sin(A-C)]= sin(A-C).因为-1≤sin(A-C)≤1,所以 sin(A-C)≤ ,所以cs Asin C的取值范围是答案:
2.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan 若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?并证明你的结论.