2022-2023学年江苏省盐城中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年江苏省盐城中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知椭圆C：，则椭圆C的焦点坐标为（ ）
A．（5，0）、（﹣5，0）B．
C．（0，3）、（0，﹣3）D．（0，5）、（0，﹣5）
2．（5分）已知f（x）＝x3，则（ ）
A．0B．﹣3C．2D．3
3．（5分）已知A（2，0），B（2，3），直线l过定点P（1，2），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．﹣2≤k≤1B．C．k≠1D．k≤﹣2或k≥1
4．（5分）已知，则f'（2023）＝（ ）
A．0B．﹣2023C．1D．2023
5．（5分）已知直线l过点A（a，0），且斜率为﹣1，若圆x2+y2＝4上有4个点到l的距离为1，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．D．
6．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，F（﹣1，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）若数列{an}满足，且a1＝3，则a2023＝（ ）
A．﹣2B．C．D．3
8．（5分）“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理．若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列{cn}，则c23为（ ）
A．62B．102C．302D．332
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）若曲线，且a，b分别是1与9的等差中项与等比中项，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线C可以表示焦点在x轴的椭圆
B．曲线C可以表示焦距是的双曲线
C．曲线C可以表示离心率是的椭圆
D．曲线C可以表示渐近线方程是的双曲线
（多选）10．（5分）若数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则下列数列一定成等比的有（ ）
A．数列{2an}B．数列{an+1+an}
C．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2nD．数列{an•an+1}
（多选）11．（5分）下列求导运算错误的是（ ）
A．
B．
C．（3x）′＝3xlnx
D．（xsin（2x））′＝sin（2x）+2xcs（2x）
（多选）12．（5分）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为A1，A2，虚轴上下两端点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点．设双曲线C的离心率为e，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．kEF•kOM＝﹣e
C．直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若F是抛物线y＝x2的焦点，P（2，m）是抛物线上的一点，则|PF|＝ ．
14．（5分）若P是直线x﹣y+1＝0上的一点，点Q是曲线y＝lnx上的一点，则|PQ|的最小值为 ．
15．（5分）对于数列{an}，若集合A＝{x|x＝an，n∈N*}为有限集，则称数列{an}为“好数列”．若“好数列”{an}满足an+1＝an2﹣2an+2，则a1＝ ．
16．（5分）已知A，B，C是椭圆上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是 ．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题10分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2lg2bn，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．
18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0．
（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为M（3，2），求该直线的方程；
（2）设不过圆心C的直线l：y＝x+m与圆C交于A，B两点，把△CAB的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
19．（12分）设函数（a为非零常数）．
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线经过点（1，ln2），求实数a的值；
（2）讨论函数y＝f（x）的单调性．
20．（12分）已知数列{an}各项均不为0，且，Qn为数列{an}的前n项的积，Sn为数列{Qn}的前n项的和，若．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
21．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知椭圆γ：1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆γ上的点与点P（1，0）的最大距离为21．
（1）求椭圆γ的标准方程；
（2）设椭圆γ的上、下顶点分别为A、B，过点P的直线与椭圆γ交于点C、D（异于点A、B），与y轴交于点M，直线AD与直线BC交于点N，试探究：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
22．（12分）我们知道，如果，那么，反之，如果，那么．后者常称为求数列前n项和的“差分法”（或裂项法）．
（1）请你用差分法证明：，其中；
（2）证明：．
2022-2023学年江苏省盐城中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知椭圆C：，则椭圆C的焦点坐标为（ ）
A．（5，0）、（﹣5，0）B．
C．（0，3）、（0，﹣3）D．（0，5）、（0，﹣5）
【解答】解：椭圆C：，可得a＝4，b＝3，则c，椭圆的焦点坐标为：．
故选：B．
2．（5分）已知f（x）＝x3，则（ ）
A．0B．﹣3C．2D．3
【解答】解：因为f（x）＝x3，
所以f′（x）＝3x2，
则f′（﹣1）＝3．
故选：D．
3．（5分）已知A（2，0），B（2，3），直线l过定点P（1，2），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．﹣2≤k≤1B．C．k≠1D．k≤﹣2或k≥1
【解答】解：A（2，0），B（2，3），P（1，2），
则，，
∵直线l与线段AB相交，
∴﹣2≤k≤1．
故选：A．
4．（5分）已知，则f'（2023）＝（ ）
A．0B．﹣2023C．1D．2023
【解答】解：，
则f'（x）＝f'（2023）x+1，
f'（2023）＝f'（2023），解得f'（2023）＝﹣2023．
故选：B．
5．（5分）已知直线l过点A（a，0），且斜率为﹣1，若圆x2+y2＝4上有4个点到l的距离为1，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．D．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为y＝﹣x+a，即x+y﹣a＝0，可得圆心到直线l的距离d，
由圆的方程可得圆的半径r＝2，要使恰有4个点到l的距离为1，则圆心到直线的距离d＜1，
所以1，
所以a∈，
故选：C．
6．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，F（﹣1，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：F（﹣1，0），C（1，0），点F关于折痕l的对称点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，折痕l与AC相交于点P，如图所示：
则有|PA|＝|PF|，可知|PF|+|PC|＝|PA|+|PC|＝|AC|＝4＞|FC|＝2，
所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a＝4，焦距2c＝2，
所以点P的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为．
故选：A．
7．（5分）若数列{an}满足，且a1＝3，则a2023＝（ ）
A．﹣2B．C．D．3
【解答】解：数列{an}满足，且a1＝3，
可得a2＝﹣12，a3＝﹣1，
a4＝﹣1，
a5＝﹣13＝a1，
a6＝﹣12＝a2，
...，an+4＝an，
所以a2023＝a3，
故选：B．
8．（5分）“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理．若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列{cn}，则c23为（ ）
A．62B．102C．302D．332
【解答】解：根据题意，设将被3除余2的正整数从小到大排列，即首项为2，公差为3的等差数列，设其为数列{an}，故an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
同理：被5除余2的正整数从小到大排列，即首项为2，公差为5的等差数列，设其为数列{bn}，故bn＝2+5（n﹣1）＝5n﹣3，
把数{an}与{bn}的公共项从小到大得到数列{cn}，
故数列{cn}是首项为2，公差为15的等差数列，
故cn＝2+15（n﹣1）＝15n﹣13，
则c23＝332，
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分．部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）若曲线，且a，b分别是1与9的等差中项与等比中项，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线C可以表示焦点在x轴的椭圆
B．曲线C可以表示焦距是的双曲线
C．曲线C可以表示离心率是的椭圆
D．曲线C可以表示渐近线方程是的双曲线
【解答】解：因为a，b分别是1与9的等差中项与等比中项，
所以1+9＝2a，1×9＝b2，解得a＝5，b＝±3，
当a＝5，b＝3时，曲线C为1，表示焦点在x轴上的椭圆，离心率为，即A正确，C错误；
当a＝5，b＝﹣3时，曲线C为1，表示双曲线，其中焦距为4，渐近线方程为y＝±x，即B正确，D错误．
故选：AB．
（多选）10．（5分）若数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则下列数列一定成等比的有（ ）
A．数列{2an}B．数列{an+1+an}
C．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2nD．数列{an•an+1}
【解答】解：当数列{an}为等比数列时，q（q≠0），
根据等比数列的性质可知，数列{2an}为等比数列，
当时，B，C显然错误；
q2，D符合题意．
故选：AD．
（多选）11．（5分）下列求导运算错误的是（ ）
A．
B．
C．（3x）′＝3xlnx
D．（xsin（2x））′＝sin（2x）+2xcs（2x）
【解答】解：对于A，（lg2（2x））'＝（lg22+lg2x）'＝（1+lg2x）'，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，（3x）′＝3xln3，故C错误，
对于D，（xsin（2x））'＝（x）'sin2x+x（sin2x）'＝sin2x+2xcs2x，故D正确．
故选：ABC．
（多选）12．（5分）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为A1，A2，虚轴上下两端点分别为B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点．设双曲线C的离心率为e，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．kEF•kOM＝﹣e
C．直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直
D．
【解答】解：选项A，因为“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线，
所以e，即A正确；
选项B，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，
两式相减得，•，即kEF•kOMe2﹣1≠﹣e，即B错误；
选项C，由e，可设c＝（1）m，a＝2m，所以b2＝c2﹣a2＝2（1）m2＝ac，
因为F1（﹣c，0），B2（0，﹣b），所以，
而双曲线C的渐近线方程为y＝±，
所以•1，所以直线F1B2与双曲线C的一条渐近线垂直，即C正确．
选项D，因为|A1A2|•|F1F2|＝2a•2c＝4ac，|B1B2|2＝（2b）2＝4b2＝4ac，
所以|A1A2|•|F1F2|＝|B1B2|2，即D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若F是抛物线y＝x2的焦点，P（2，m）是抛物线上的一点，则|PF|＝ ．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，若F是抛物线y＝x2的焦点，
可得抛物线的准线方程：y，P（2，m）是抛物线上的一点，
可得m＝4，
由抛物线的定义可知|PF|＝4．
故答案为：．
14．（5分）若P是直线x﹣y+1＝0上的一点，点Q是曲线y＝lnx上的一点，则|PQ|的最小值为 ．
【解答】解：设平行于直线x﹣y+1＝0的直线y＝x+b与曲线y＝lnx相切，
则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，
设直线y＝x+b与曲线y＝lnx的切点为（m，lnm），
则由切点（m，lnm）还在直线y＝x+b上得lnm＝m+b，
依题意，得1，
∴m＝1，b＝﹣1，
∴由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为：．
故答案为：．
15．（5分）对于数列{an}，若集合A＝{x|x＝an，n∈N*}为有限集，则称数列{an}为“好数列”．若“好数列”{an}满足an+1＝an2﹣2an+2，则a1＝ 0或1或2 ．
【解答】解：由an+1＝an2﹣2an+2可得an+1﹣1＝（an﹣1）2，
当a1﹣1＝0即a1＝1时，所以a2﹣1＝0，a3﹣1＝0，a4﹣1＝0，⋯，an﹣1＝0，
此时an＝1，满足A＝{x|x＝an，n∈N*}＝{1}，故此时数列{an}为“好数列”；
当a1﹣1≠0即a1≠1，则a2﹣1＞0，a3﹣1＞0，a4﹣1＞0，⋯，an﹣1＞0，
由an+1﹣1＝（an﹣1）2，可得ln（an+1﹣1）＝ln（an﹣1）2＝ln|an﹣1|2＝2ln|an﹣1|，
当a1﹣1＞0时，ln（an+1﹣1）＝2ln（an﹣1），
若|a1﹣1|＝1，即a1＝2或a1＝0时，an+1﹣1＝1，an+1＝2，
满足A＝{x|x＝an，n∈N*}＝{1}，故此时数列{an}为“好数列”；
若a1﹣1＞1，即a1＞2时，所以{ln（an+1﹣1）} 是以ln（a1﹣1）为首项，公比为2的等比数列，
所以ln（an﹣1）＝ln（a1﹣1）×2n﹣1，
所以此时ln（an﹣1）每项并不相同，由于y＝lnx在定义域内是递增函数，
故an每项并不相同，则集合A＝{x|x＝an，n∈N*}为无限集，故数列{an}不为“好数列”；
当a1﹣1＜0且a1≠0时，则，
所以{ln（an+1﹣1）}是从第二项起公比为2的等比数列，
所以ln（an﹣1），
所以从第二项起，ln（an﹣1）每项并不相同，由于y＝lnx在定义域内递增函数，
故从第二项起，an每项并不相同，则集合A＝{x|x＝an，n∈N*}为无限集，故数列{an}不为“好数列”；
综上所述，a1＝1或a1＝0或a1＝2．
故答案为：0或1或2．
16．（5分）已知A，B，C是椭圆上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是 ．
【解答】解：设椭圆的左焦点F1（﹣c，0），连接AF1，BF1，CF1，
|OA|＝|OF|＝|OB|，所以AF⊥BF，
设|CF|＝m，|AF|＝2m，
由对称性可知：|AF1|＝|BF|＝2a﹣2m，
在△ABF中，
由|AF|2+|BF|2＝|AB|2，
则4m2+（2a﹣2m）2＝（2c）2，①
在Rt△AF1C中，|CF1|＝2a﹣m，
9m2+（2a﹣2m）2＝（2a﹣m）2，可得a＝3m，
将m代入①，解得椭圆的离心率e．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题10分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2lg2bn，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a1＝2，b2＝4，an＝2lg2bn，
∴a2＝2lg2b2＝2lg24＝4，
a1＝2lg2b1＝2，即lg2b1＝1，解得b1＝2，
∴公差d＝a2﹣a1＝4﹣2＝2，
公比q2，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，
bn＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．
（2）由（1），可得，
故bn是数列{an}中的第2n﹣1项，
设数列{an}的前n项和为Pn，数列的前n项和为Qn，
∵b6a32，b7a64，
∴数列{cn}的前50项是由数列{an}的前56项去掉数列{bn}的前6项后构成的，
故．
18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0．
（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为M（3，2），求该直线的方程；
（2）设不过圆心C的直线l：y＝x+m与圆C交于A，B两点，把△CAB的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．
【解答】解：（1）圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9圆心C（2，3），半径r＝3，显然点M（3，2）在圆C内，
由圆的性质知，当M（3，2）为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线CM，
直线CM的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：y﹣2＝x﹣3，即y＝x﹣1，
所以该直线的方程为y＝x﹣1；
（2）直线l：x﹣y+m＝0与圆C相交时，圆心C到直线的距离，解得，
又直线l不过圆心C（2，3），即m≠1，因此且m≠1，
，
△CAB的面积，
因为且m≠1，则0＜（m﹣1）2＜18，
当（m﹣1）2＝9，即m＝﹣2或m＝4时，，
所以，
当m＝﹣2或m＝4时，．
19．（12分）设函数（a为非零常数）．
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线经过点（1，ln2），求实数a的值；
（2）讨论函数y＝f（x）的单调性．
【解答】解：（1）函数，求导得：f′（x）x，则有f′（0）a，
而f（0）＝aln2，
因此曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（aln2）ax，则有ln2﹣（aln2）a，
即（ln2）a＝ln2，而ln2＞0，则a＝1，
所以实数a的值为1．
（2）函数的定义域为（﹣2，+∞），f′（x），
当a≥1时，恒有f′（x）≥0，当且仅当x＝﹣1且a＝1取等号，则函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
当a＜1时，由x2+2x+a＝0解得x1＝﹣1，x2＝﹣1，
当x1＝﹣12，即0＜a＜1时，当﹣2＜x＜x1或x＞x2时，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，
因此函数f（x）在（﹣2，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣1）上单调递减，
当a≤0，即﹣12时，当﹣2＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2时，f′（x）＞0，
因此函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1∞）上单调递增，
所以当a≤0时，f（x）递减区间是（﹣2，﹣1），递增区间是（﹣1，+∞）；
当0＜a＜1时，递增区间是（﹣2，﹣1），（﹣1，+∞），递减区间是（﹣1，﹣1）；
当a≥1时，f（x）递增区间是（﹣2，+∞）．
20．（12分）已知数列{an}各项均不为0，且，Qn为数列{an}的前n项的积，Sn为数列{Qn}的前n项的和，若．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
【解答】解：（1）证明：由题意可得a1，Qn＝，Sn＝Q1+Q2+...+Qn，
若，可得n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝﹣3SnSn﹣1，
化为3，
则数列是首项为3，公差为3的等差数列；
（2）由（1）可得3n，即有Sn，
n＝1时，a1；n＝2时，S2＝a1+a1a2，即a2，解得a2；
n＝3时，S3＝a1+a1a2+a1a2a3，解得a3．
当n≥2时，Qn＝Sn﹣Sn﹣1，
当n≥3时，an•[﹣3（n﹣1）（n﹣2）]．
所以an．
21．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知椭圆γ：1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆γ上的点与点P（1，0）的最大距离为21．
（1）求椭圆γ的标准方程；
（2）设椭圆γ的上、下顶点分别为A、B，过点P的直线与椭圆γ交于点C、D（异于点A、B），与y轴交于点M，直线AD与直线BC交于点N，试探究：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得a＝2，b＝2，c＝2，
所以椭圆的方程为1．
（2）设直线CD的方程为x＝my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，得（m2+2）y2+2my﹣7＝0，
所以y1+y2，y1y2，
直线AD的方程为：y﹣2x，
直线BC的方程为：y+2x，
所以，
所以1，
所以1，
所以1，
所以1，
所以，
所以y+2，
所以y2





＝﹣4m•4m，
所以yN＝﹣4m，
根据题意可得M（0，），
所以•（0，）•（xN，yN）•yN•（﹣4m）＝﹣4（定值）．
22．（12分）我们知道，如果，那么，反之，如果，那么．后者常称为求数列前n项和的“差分法”（或裂项法）．
（1）请你用差分法证明：，其中；
（2）证明：．
【解答】证明：（1）k∈N*，（k﹣1）3＝k3﹣3k2+3k﹣1，则有k2[k3﹣（k﹣1）3]（3k﹣1），
∴，
∵k∈N*，（k﹣1）4＝k4﹣4k3+6k2﹣4k+1，∴，
∴
•

[]2，
∵，∴．
（2）令f（x）＝ln（x+1）﹣x，求导得f′（x），
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∀x∈（﹣1，0），f（x）＜f（0）＝0，即ln（x+1）＜x，k∈N*，取x，
ln（1），即有ln，∴ln，
∀x∈（0，+∞），f（x）＜f（0）＝0，即ln（x+1）＜x，k∈N*，取x，
ln（1），∴即ln，则ln，
∴∀k∈N*，ln（k+1）﹣lnk，∴，
∴，
∴ln（n+1）．