2022-2023学年江苏省常州一中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年江苏省常州一中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a＝（ ）
A．B．C．﹣1D．2
2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a1，S2，a3成公比为q的等比数列，则q＝（ ）
A．B．1C．D．3
3．（5分）若数列{an}满足，且a1＝2，则a2022＝（ ）
A．﹣1B．2C．D．
4．（5分）函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图像关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf'（x）＜0成立．若a＝（20.2）•f（20.2），b＝（ln2）•f（ln2），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，an+2+5an＝6an+1，若bn＝[lg5an+1]，Sn为数列的前n项和，则[S2023]＝（ ）
A．999B．749C．499D．249
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当k＝5时，曲线C是半径为2的圆
B．存在实数k，使得曲线C的离心率为的双曲线
C．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D．“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
（多选）10．（5分）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．||+||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使得λ
C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，2，3}构成空间的另一个基底
（多选）11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则（ ）
A．数列{an}为等差数列
B．数列{an}为等比数列
C．
D．m+n为定值
（多选）12．（5分）某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线时通过数学软件绘制出其图象（如图），并给出以下几个结论，则正确的有（ ）
A．函数f（x）的极值点有且只有一个
B．过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线有且仅有2条
C．当x＞0时，|f（﹣x）|＜f（x）恒成立
D．若f（x1）＝f（x2），x1＜0＜x2，则x2﹣x1的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13．（5分）若直线y＝x+b与曲线x2+y2＝9（y≥0）有两个公共点，则实数b的取值范围为 ．
14．（5分）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
15．（5分）已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{an}满足，则数列{an}的前16项的和为 ．
16．（5分）已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y﹣e﹣x的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝9，a3＝45，{an+1﹣3an}为等比数列．
（1）证明：是等差数列，并求出{an}的通项公式．
（2）求{an}的前n项和为Sn．
18．（12分）已知圆及其上一点A（2，4）．
（1）设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
（2）设圆C2与圆C1外切于点A，且经过点P（3，1），求圆C2的方程．
19．（12分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），已知a1＝b2＝4，qd，S9＝9b4．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列{cn}，求{cn}的前100项和．
20．（12分）已知函数．
（1）若函数f（x）图象的切线倾斜角总是锐角，求实数k的取值范围；
（2）若对任意的x＞1，f（x）＞0恒成立，求整数k的最大值．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+lnx﹣ax（a∈R），f'（x）是f（x）的导函数，且f'（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）讨论f'（x）的单调性；
（Ⅱ）若，求证：．
2022-2023学年江苏省常州一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a＝（ ）
A．B．C．﹣1D．2
【解答】解：根据题意，直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，
则有a+2（a﹣1）＝0，解得，
故选：B．
2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a1，S2，a3成公比为q的等比数列，则q＝（ ）
A．B．1C．D．3
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则S2＝2a1+d，a3＝a1+2d，
∵3a1，S2，a3成公比为q的等比数列，
∴，化简整理可得，，解得a1＝d，
故q．
故选：B．
3．（5分）若数列{an}满足，且a1＝2，则a2022＝（ ）
A．﹣1B．2C．D．
【解答】解：∵，a1＝2，
∴a2＝1，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
∴a2022＝a3×674＝a3＝﹣1，
故选：A．
4．（5分）函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数是奇函数，所以排除选项B，
当x＝2时，y1，排除选项D．
当x＝1时，y1，排除A．
故选：C．
5．（5分）椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆方程为，
∵△PF2Q的周长为36，
∴PF2+QF2+PQ＝36＝4a，
解得a＝9，
∵过F1的最短弦PQ的长为10
∴PF2＝QF2（36﹣10）＝13，
在直角三角形QF1F2中，根据勾股定理得，
，
∴c＝6，
∴
故选：C．
6．（5分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，
则S30＝30×630×29d＝470，
解得d，
则．
故选：D．
7．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图像关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf'（x）＜0成立．若a＝（20.2）•f（20.2），b＝（ln2）•f（ln2），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b
【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，
所以f（x）是奇函数，
所以xf（x）是偶函数，
设g（x）＝xf（x），
当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
因为﹣lg22＞20.2＞1＞ln2＞0，
所以g（﹣lg2）＞g（20.2）＞g（ln2），
又g（﹣lg2）＝g（lg2），
所以（lg2）•f（lg2）＞（20.2）•f（20.2）＞（ln2）•f（ln2），
所以c＞a＞b，
故选：D．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，an+2+5an＝6an+1，若bn＝[lg5an+1]，Sn为数列的前n项和，则[S2023]＝（ ）
A．999B．749C．499D．249
【解答】解：数列{an}满足a1＝2，a2＝6，an+2+5an＝6an+1，
可得an+2﹣an+1＝5（an+1﹣an），
即有{an+1﹣an}是首项为4，公比为5的等比数列，
则an+1﹣an＝4•5n﹣1，
所以an+1＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an+1﹣an）＝2+4+20+...+4•5n﹣1
＝25n+1，
则bn＝[lg5an+1]＝[lg5（5n+1）]＝n，
1000（），
S2023＝1000（1...）∈（999，1000），
所以[S2023]＝999．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当k＝5时，曲线C是半径为2的圆
B．存在实数k，使得曲线C的离心率为的双曲线
C．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D．“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
【解答】解：当k＝5时，曲线C为x2+y2＝4，曲线C为圆，半径为2，A正确；
使得曲线C为离心率为的双曲线，可得9﹣k＝﹣（k﹣1），方程无解，B不正确；
当k＝0时，曲线C为，是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
1＜k＜5时，曲线C为椭圆，焦点坐标在x轴上，5＜k＜9，曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆，
所以“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”可知“k＞1”，反之不成立，
所以“k＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．||+||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使得λ
C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，2，3}构成空间的另一个基底
【解答】解：对于A，当||+||＝||时，，共线成立，但当，同向共线时，||+||≠||，
所以||+||＝||是，共线的充分不必要条件，故A不正确．
对于B，当时，∥，不存在唯一的实数λ，使得λ，故B不正确．
对于C，由于，而2﹣4+3＝1，
根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面，故C正确．
对于D，若{，，}为空间的一个基底，则，，不共面，
由基底的定义可知，，2，3不共面，
则{，2，3}构成空间的另一个基底，故D正确．
故选：CD．
（多选）11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则（ ）
A．数列{an}为等差数列
B．数列{an}为等比数列
C．
D．m+n为定值
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣2，
可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，
化为an＝2an﹣1，
可得{an}是首项和公比均为2的等比数列，则an＝2n，
故A错误，B正确；
由存在两项am，an，使得aman＝64，可得2m•2n＝64，即m+n＝6，故D正确；
由an2＝4n，可得a12+a22+a32+...+an2，故C错误．
故选：BD．
（多选）12．（5分）某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线时通过数学软件绘制出其图象（如图），并给出以下几个结论，则正确的有（ ）
A．函数f（x）的极值点有且只有一个
B．过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线有且仅有2条
C．当x＞0时，|f（﹣x）|＜f（x）恒成立
D．若f（x1）＝f（x2），x1＜0＜x2，则x2﹣x1的最小值为
【解答】解：对于A：f（x）＝2x2，x≠0，
f′（x）＝4x，
所以在（﹣∞，0），（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x时，函数f（x）取得极小值，故A正确；
对于B：设直线l经过原点且与曲线f（x）相切于点P（x0，y0），
则y﹣（2）＝（4x0）（x﹣x0），x0≠0，
把点（0，0）代入可得1，
解得x0＝1，
所以经过原点且与曲线f（x）相切的切线只有一条，故B不正确；
对于C：当x＞0时，f2（x）﹣f2（﹣x）＝（2x2）2﹣（2x2）2＝8x＞0，
f（x）＞0，
所以f（x）＞|f（﹣x）|，故C正确；
对于D：f（x1）＝f（x2），x1＜0＜x2，
所以22，
化为x1+x2，
所以x2﹣x1，
令x1x2＝t＜0，则x2﹣x1，
令g（t）4t，
g′（t）4，
所以当t时，x2﹣x1，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13．（5分）若直线y＝x+b与曲线x2+y2＝9（y≥0）有两个公共点，则实数b的取值范围为 [3，3） ．
【解答】解：∵x2+y2＝9（y≥0），表示圆心在（0，0），半径r＝3的位于x轴上方的半圆，
作出半圆与直线y＝x+b如下图所示，
当b≤0时，直线与圆只有一个交点，故舍去，
当b＞0时，当直线与圆相切时，圆心（0，0）到直线y＝x+b的距离d3，解得b＝3或b＝﹣3（舍去），
当直线往下平移过（3，0），（﹣3，0）点时，直线与圆刚好有两个交点，故b＝3，
综上所述，b的取值范围为[3，3）．
故答案为：[3，3）．
14．（5分）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 {x|x＞0且x≠3} ．
【解答】解：因为，，
所以•0，且与不共线；
即，
解得x＞0且x≠3，
所以x的取值范围是{x|x＞0且x≠3}．
故答案为：{x|x＞0且x≠3}．
15．（5分）已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{an}满足，则数列{an}的前16项的和为 76 ．
【解答】解：y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，
若数列{an}满足，①
an＝f（1）+f（）+f（）+...+f（）+f（0），②
①+②可得2an＝[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+...+[f（1）+f（0）]＝1+1+...+1＝n+1，
即an，
则数列{an}的前16项的和为16×（1）＝76．
故答案为：76．
16．（5分）已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y﹣e﹣x的最大值为 ．
【解答】解：由正实数x，y满足lnx＝yex+lny，
变形为lnxex，
∴lnxex，
令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），
f′（x）＝（x+1）ex＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∴lnx，∴y，
∴y﹣e﹣x，
令g（x），x∈（0，+∞），
g′（x），
∴x∈（0，2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴x＝2时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（2）．
即 y﹣e﹣x的最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝9，a3＝45，{an+1﹣3an}为等比数列．
（1）证明：是等差数列，并求出{an}的通项公式．
（2）求{an}的前n项和为Sn．
【解答】（1）证明：由题意，可知a2﹣3a1＝9﹣3×1＝6，
a3﹣3a2＝45﹣3×9＝18，
设等比数列{an+1﹣3an}的公比为q，
则q3，
故数列{an+1﹣3an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴an+1﹣3an＝6•3n﹣1＝2•3n，
对an+1﹣3an＝2•3n两边同时乘以，
可得，
∵，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴（n﹣1），
∴an＝（2n﹣1）•3n﹣1，n∈N*．
（2）解：由（1），可得Sn＝a1+a2+•••+an
＝1•30+3•31+5•32+•••+（2n﹣1）•3n﹣1，
3Sn＝1•31+3•32+•••+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，
两式相减，可得﹣2Sn＝1•30+2•31+2•32+•••+2•3n﹣1﹣（2n﹣1）•3n
＝1+2•（31+32+•••+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n
＝1+2•（2n﹣1）•3n
＝﹣2（n﹣1）•3n﹣2，
∴Sn＝（n﹣1）•3n+1．
18．（12分）已知圆及其上一点A（2，4）．
（1）设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
（2）设圆C2与圆C1外切于点A，且经过点P（3，1），求圆C2的方程．
【解答】解：因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为y＝2x+b，
则圆心C1到直线l的距离，
则，
又，
所以，解得b＝5或b＝﹣15，
故直线l的方程为：2x﹣y+5＝0或2x﹣y﹣15＝0；
（2）因为圆C2与圆C1外切于点A，
所以圆心C2在直线AC1上，
由两点式得直线AC1方程为3x﹣4y+10＝0，
又因为圆C2经过点A和P，
所以圆心C2在AP的中垂线上，AP中点为，
所以AP中垂线方程为，即x﹣3y+5＝0，
由解得圆心坐标为C2（﹣2，1），半径r＝|C2P|＝|﹣2﹣3|＝5，
所以圆C2的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝25．
19．（12分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0），已知a1＝b2＝4，qd，S9＝9b4．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列{cn}，求{cn}的前100项和．
【解答】解：（1）由S9＝9b4，得9a1，
∵a1＝b2＝4，∴1+d＝q2，又qd，
∴1，又q＞0，
解得q＝2，d＝3，
∴an＝4+3（n﹣1）＝3n+1，
bn＝4×2n﹣2＝2n；
（2）由（1）可知，当n＝100时，a100＝301．又bn＝2n，
∴b1＝2，b2＝4，b3＝8，b4＝16，b5＝32，b6＝64，b7＝128，b8＝256，b9＝512＞301，
令2＝3n+1，解得n，
令4＝3n+1，解得n＝1，
令8＝3n+1，解得n，
令16＝3n+1，解得n＝5，
令32＝3n+1，解得n，
令64＝3n+1，解得n＝31，
令128＝3n+1，解得n，
令256＝3n+1，解得n＝85，
∴数列{an}的前100项中与数列{bn}中相同的项共有4项，即4，16，64，256，
即为{bn}的前8项中的偶数项．
将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，
则{cn}的前100项为数列{an}的前100项中剔除与数列{bn}相同的4项后剩余的96项与{bn}的前8项中剔除与数列{an}相同的4项后剩余的4项，
∴{cn}的前100项和为．
20．（12分）已知函数．
（1）若函数f（x）图象的切线倾斜角总是锐角，求实数k的取值范围；
（2）若对任意的x＞1，f（x）＞0恒成立，求整数k的最大值．
【解答】解：（1）由题可得f′（x）（x＞0），
∵函数f（x）图象的切线倾斜角总是锐角，∴可得f′（x）＞0对一切正数x恒成立，
即x＞k恒成立，于是k≤0，
（2）因为对任意的x＞1，f（x）＞0恒成立，即k对任意的x＞1恒成立，
令g（x），则g′（x），
令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）＝10，
∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，
∴h（x）＝0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（1，x0，）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∵x0是函数h（x）＝0的根，即x0﹣lnx0﹣2＝0，
∴g（x）min＝g（x0）x0∈（3，4），
∴k＜g（x）min＝x0，∵x0∈（3，4），故整数k的最大值为3．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，λ，μ，求证：为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，
设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2，x1x2，
又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则（0，yM﹣1），（0，﹣1）
因为λ，所以yM﹣1＝﹣λ，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，
直线PA的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），
令x＝0，得yM，同理可得yN，
因为



2，
∴2，∴为定值．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+lnx﹣ax（a∈R），f'（x）是f（x）的导函数，且f'（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）讨论f'（x）的单调性；
（Ⅱ）若，求证：．
【解答】解：（I）由题知f（x）的定义域为（0，+∞），
，有两个零点x1，x2 （x1＜x2），
设，，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故函数f'（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）证明：因为x1，x2是的两个零点，
∴，
∴，
，
，
下面先证明：（0＜x1＜x2）（1），
（注：对数均值不等式取倒数）
只需证，
只需证
设，只需证明．
设
则
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）＝0，
∴，从而（1）式得证，
∴，
已知，∴，
由二次函数的性质知，
∴，命题得证．
；学号：3710394