2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）从a、b、c中任取两个不同字母排成一列，则不同的排列种数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（5分）过点P（，﹣2）且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法判断
4．（5分）双曲线与双曲线具有相同的（ ）
A．焦点B．实轴长C．离心率D．渐近线
5．（5分）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）设P为直线l：x+y+1＝0的动点，PA为圆C：（x﹣2）2+y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个．
A．65B．70C．75D．80
8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则（ ）
A．4B．2C．2D．3
二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）
（多选）9．（5分）若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．{}B．{an•an+1}C．{an+an+1}D．{an+1}
（多选）10．（5分）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有CC种
B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC种
C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CCCCC种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC种
（多选）11．（5分）已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线C可表示为离心率是的椭圆
D．曲线C可表示为渐近线方程式的双曲线
（多选）12．（5分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣xy＝1，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C关于原点中心对称
C．若动点P、Q都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为2
D．曲线C的面积小于3
三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）
13．（5分）抛物线y＝x2的焦点坐标是 ．
14．（5分）圆C：x2+4x+y2﹣5＝0的一条弦以点A（﹣1，2）为中点，则该弦的斜率为 ．
15．（5分）已知椭圆1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则||•||的值为 ．
16．（5分）已知直线（a，b为非零实数）与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条．
四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）（1）计算：AA；
（2）计算：CCCCC．
18．（12分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为2（a∈R），且，，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，求a2+aaa的表达式．
19．（12分）在平面直角坐标系xy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F作直线l交椭圆C于A、B两点，点P（2，0），若△ABP的面积为，求直线l的方程．
20．（12分）数列{an}满足a1＝1，an0．
（1）求证数列{}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1＝2，2，求{bn}的前n项和Sn．
21．（12分）已知点P是双曲线C：1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|＝（2）|PF2|，∠F1PF2＝60°．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求．
22．（12分）如图，已知直线l：x＝﹣1，点F（1，0），H为直线l上任意一点，过点H与l垂直的直线交线段HF的垂直平分线于点M，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）E为x轴正半轴上的一点，过点E的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AF，BF分别与曲线C相交于异于A，B的P，Q两点当直线AB，PQ的斜率都存在时，分别记这两个斜率为k1，k2，若k2＝2k1恒成立，求点E的
坐标．
2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分)
1．（5分）从a、b、c中任取两个不同字母排成一列，则不同的排列种数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：根据题意，从a，b，c中任取两个字母，有C32＝3种取法，
再将取出的字母排成一列，有A22＝2种情况，
则有3×2＝6种不同的排法；
故选：D．
2．（5分）过点P（，﹣2）且倾斜角为135°的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵直线的倾斜角为135°，
∴斜率k＝tan135°＝﹣1，
又直线过点P（，﹣2），
∴直线的点斜式为y+21（x），
即x+y0．
故选：D．
3．（5分）直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法判断
【解答】解：直线y＝k（x﹣2）+1，所以直线恒过点（2，1），
∵1，
∴（2，1）在椭圆的内部，
∴直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆的位置关系是相交，
故选：B．
4．（5分）双曲线与双曲线具有相同的（ ）
A．焦点B．实轴长C．离心率D．渐近线
【解答】解：将双曲线化为标准方程得，
对于双曲线，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦点坐标为，实轴长为2a＝4，离心率为，渐近线方程为；
对于双曲线，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线方程为；
故双曲线与双曲线具有相同的渐近线．
故选：D．
5．（5分）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，
由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，
则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，
|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，
则，
故选：A．
6．（5分）设P为直线l：x+y+1＝0的动点，PA为圆C：（x﹣2）2+y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，
则圆心坐标为C（2，0），半径R＝1，
则△PAC的面积S|PA|•|AC||PA|，
∴要使△PAC的面积的最小，则|PA|最小，又|PA|，
即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d，
|PA|min，
即△PAC的面积的最小值为S．
故选：C．
7．（5分）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个．
A．65B．70C．75D．80
【解答】解：自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．
则3个数，相等或相邻，
十位数为0时，有100，或101，共2个；
十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；
十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；
十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；
十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．
综上共有：2+6+7×9+4＝75个．
故选：C．
8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则（ ）
A．4B．2C．2D．3
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2，
在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cs ，
化简得3a12+a22＝4c2，
该式可变成4，
结合e1，e2，
∴4．
故选：A．
二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）
（多选）9．（5分）若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（ ）
A．{}B．{an•an+1}C．{an+an+1}D．{an+1}
【解答】解：若数列{an}是等比数列，则q，
A：q2，符合等比数列，A正确；
B：q2，符合等比数列，B正确；
当an＝（﹣1）n时，CD显然不符合题意．
故选：AB．
（多选）10．（5分）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有CC种
B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC种
C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CCCCC种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC种
【解答】解：根据题意，对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法，所以A正确；
对于B，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有85，所以B不正确；
对于C，抽出的3件产品中一件不合格的抽法：CC，两件不合格的抽法：CC，三件不合格的抽法：C，
所以至少有1件是不合格品的抽法有CCCCC种，所以C正确；
对于D，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有85，所以D正确；
故选：ACD．
（多选）11．（5分）已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线C可表示为离心率是的椭圆
D．曲线C可表示为渐近线方程式的双曲线
【解答】解：因为m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，
所以2m＝3+5，n2＝4×16，
解得m＝4，n＝±8，
则曲线C的方程为1或1，
其中1表示焦点在y轴的椭圆，
此时它的离心率为e，故A正确，C正确；
1表示焦点在x轴的双曲线，
焦距为2c＝224，
渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，故B不正确，D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣xy＝1，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C关于原点中心对称
C．若动点P、Q都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为2
D．曲线C的面积小于3
【解答】解：对B：曲线C的上任一点A（x，y）关于原点的对称点为A′（﹣x，﹣y），
则（﹣x）2+（﹣y）2﹣（﹣x）（﹣y）＝x2+y2﹣xy＝1，即A′在曲线C上，
∴曲线C关于原点中心对称，B正确；
对A：∵曲线C的上任一点B（x，y）关于x轴的对称点为B′（x，﹣y），
则x2+（﹣y）2﹣（﹣y）x＝x2+y2+xy≠1，即B不在曲线上，
∴曲线C关不于x轴对称，A错误；
∵x2+y2﹣xy＝1，则（x+y）2+3（x﹣y）2＝4，
∴（x+y）2≤4，即﹣2≤x+y≤2，
又∵x2+y2﹣xy＝1，即，
则

，
同理可得：，
则曲线C的上任一点P（x，y）到的距离之和为：
，
∴曲线C表示以M，N为焦点且的椭圆，则，
对C：则线段|PQ|的最大值为，C正确；
对D：则曲线C的面积，D错误；
故选：BC．
三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）
13．（5分）抛物线y＝x2的焦点坐标是 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2，即 x2＝y，
∴p，，
∴焦点坐标是 （0，），
故答案为：（0，）．
14．（5分）圆C：x2+4x+y2﹣5＝0的一条弦以点A（﹣1，2）为中点，则该弦的斜率为 ．
【解答】解：将x2+4x+y2﹣5＝0配方得（x+2）2+y2＝9，
圆心为C（﹣2，0），r＝3，
∴kAC2，
∵弦以点A（﹣1，2）为中点，∴该弦的斜率为．
故答案为：．
15．（5分）已知椭圆1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则||•||的值为 2 ．
【解答】解：∵a＝2，b＝1；∴c，∴|F1F2|＝2c＝2，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，∵P为椭圆上一点，∴t1+t2＝4①，
∵∠F1PF2＝90°，∴t12+t22＝（2）2②，
由①2﹣②得t1t2＝2，
∴||•||＝t1t2＝2．
故答案为：2．
16．（5分）已知直线（a，b为非零实数）与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 60 条．
【解答】解：x2+y2＝100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），
如图，共12个点，
直线（a，b为非零实数），
∴直线与x，y轴不平行，不经过原点，
任意两点连线有C122条，
与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，
其中有两条既过原点又与x，y轴平行，
∴共有C122+12﹣14﹣6+2＝60．
故答案为：60．
四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）（1）计算：AA；
（2）计算：CCCCC．
【解答】解：（1）A4×3×2+5×4×3＝84；
（2）CCCCCC
＝CCC70．
18．（12分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为2（a∈R），且，，成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，求a2+aaa的表达式．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，
由，，成等比数列，可得，
即有（2+d）2＝2（2+3d），
解得d＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）对n∈N*，a2+aaa
＝4+8+16+...+2n+12n+2﹣4．
19．（12分）在平面直角坐标系xy中，椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F作直线l交椭圆C于A、B两点，点P（2，0），若△ABP的面积为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）右焦点为F（1，0），则c＝1，则a2＝b2+1，
椭圆过点（1，），则1，则a2＝2，b2＝1，椭圆的方程为y2＝1；
（2）直线l过点F（1，0），设l方程为x＝my+1，直线l交椭圆C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
联立方程，得y1+y2，y1y2，
S△ABP1•|y1|1•|y2||y1﹣y2|，
则m2＝1，m＝±1，则直线l的方程为x＝±y+1，即x±y﹣1＝0．
20．（12分）数列{an}满足a1＝1，an0．
（1）求证数列{}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1＝2，2，求{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）证明：由a1＝1，an0，
可得an，
两边取倒数可得2，即2，
则数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，
则1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即有an；
（2）由b1＝2，22•，
可得bn＝b1•••...•2•（2•3）•（2•）•...•（2•）＝2n•（2n﹣1），
所以Sn＝1•2+3•4+5•8+...+2n﹣1•（2n﹣3）+2n•（2n﹣1），
2Sn＝1•4+3•8+5•16+...+2n•（2n﹣3）+2n+1•（2n﹣1），
上面两式相减可得﹣Sn＝2+2（4+8+...+2n﹣1+2n）﹣2n+1•（2n﹣1）
＝2+2•2n+1•（2n﹣1），
化简可得Sn＝6+（2n﹣3）•2n+1．
21．（12分）已知点P是双曲线C：1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|＝（2）|PF2|，∠F1PF2＝60°．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求．
【解答】解：（1）由P为双曲线的右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，
又|PF1|＝（2）|PF2|，可得|PF1|＝（1）a，|PF2|＝（1）a，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝（4+2）a2+（4﹣2）a2﹣2（1）（1）a2•
＝8a2﹣2a2＝6a2，即ca，
可得e；
（2）由2R2a，即Ra；
因为S|PF1|•|PF2|•sin60°（1）（1）a2•a2，
又S（|PF1|+|PF2|+2c）r（2aa）r，
所以raa，
所以2+2．
22．（12分）如图，已知直线l：x＝﹣1，点F（1，0），H为直线l上任意一点，过点H与l垂直的直线交线段HF的垂直平分线于点M，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）E为x轴正半轴上的一点，过点E的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AF，BF分别与曲线C相交于异于A，B的P，Q两点当直线AB，PQ的斜率都存在时，分别记这两个斜率为k1，k2，若k2＝2k1恒成立，求点E的
坐标．
【解答】解：（1）根据线段垂直平分线的性质，知|MH|＝|MF|．
∴动点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线．
故曲线C的方程为y2＝4x．
（2）设点A（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），Q（xQ，yQ），E（m，0）（m＞0），
直线lAB：x＝ty+m，t≠0，
由，消去x，得y2﹣4ty﹣4m＝0，
因为t≠0，Δ＝16（t2+m）＞0，
所以yA+yB＝4t，yAyB＝﹣4m，
又（xP﹣1，yP），（xA﹣1，yA），
由A，F，P三点共线，知yA（xP﹣1）﹣yP（xA﹣1）＝0，
即yA（1）﹣yP（1）＝0，
化简得（1）（yP﹣yA）＝0，
显然yP≠yA，所以1＝0，即4，
同理可得yByQ＝﹣4，
所以k2，
又k1，由k2＝2k1，可得，所以m＝2，
故点E的坐标为（2，0）．
：37103942