2022-2023学年江苏省宿迁市高二（（上）学期期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年江苏省宿迁市高二（（上）学期期末数学试卷（含答案详解），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在等差数列{an}中，已知a8＝6，a11＝0，则a1等于（ ）
A．18B．20C．22D．24
2．（5分）若直线l1：ax+2ay+1＝0与直线l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣1＝0垂直，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
3．（5分）若直线l：x+y+a＝0是曲线C：y＝x﹣2lnx的一条切线，则实数a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
4．（5分）体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）圆O：x2+y2＝1与圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+22＝0的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2，a2022是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则lg2a1+lg2a2+lg2a3+⋯+lg2a2023的值为（ ）
A．B．C．2023D．1022
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切，直线l与双曲线左右支分别交于A、B两点，且，若双曲线C的离心率为e，则e2的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+31n，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝﹣2n+32
B．S17为Sn中的最大项
C．
D．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝430
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，f（x）存在单调递增区间
B．当时，f（x）存在两个极值点
C．是f（x）为减函数的充要条件
D．∀a∈R，f（x）无极大值
（多选）11．（5分）平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源．运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶．反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯．如图所示，已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点射入，经过C上的点M（x1，y1）反射后，再经过点N（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，经过点Q，F为抛物线焦点，A为抛物线C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．|PA|+|AF|的最小值为B．y1y2＝﹣4
C．D．PN平分∠MNQ
（多选）12．（5分）若圆O：x2+y2＝1，A（﹣1，0），B（1，0），点P在直线l：x+y﹣2＝0上，则（ ）
A．圆O上存在点N使得
B．圆O上存在点M使得∠OPM＝45°
C．直线l上存在点P使得|PA|+|PB|＝3
D．直线l上存在点P使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣an＝n，n∈N+，则a10＝ ．
14．（5分）过点（3，2）的直线l，被直线l1：2x﹣5y+9＝0，l2：2x﹣5y﹣7＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线x﹣4y﹣1＝0上，则直线l的方程为 ．
15．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线，交椭圆于点P，若直线PF1的斜率为，则椭圆C的离心率为 ．
16．（5分）若不等式mx2﹣emxlnx≥0对恒成立，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且 _____．
请在①S2+S3＝20；②S2是a2与a3的等差中项；③2a2+a3＝16，三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求解下面的问题：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（n+1）lg2an，求数列的前n项和Tn．
18．（12分）已知函数f（x）＝kx+2sinx，x∈[0，2π]，函数f（x）在处有极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的最值．
19．（12分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，直线l过点A（3，2）．
（1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．
20．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点E（p，0），过F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AE⊥x轴时，|AF|＝2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线AE，BE与抛物线C的另一个交点分别为点R，S，记直线AB，RS的斜率分别为k1，k2，求的值．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2且x1＜x2；
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
2022-2023学年江苏省宿迁市高二（（上）学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在等差数列{an}中，已知a8＝6，a11＝0，则a1等于（ ）
A．18B．20C．22D．24
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a8＝6，a11＝0，
∴a1+7d＝6，a1+10d＝0，
解得：a1＝20．
故选：B．
2．（5分）若直线l1：ax+2ay+1＝0与直线l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣1＝0垂直，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【解答】解：∵直线l1：ax+2ay+1＝0与直线l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣1＝0垂直，
当a＝0时不满足，
当a≠0时，a（a﹣1）﹣2a（a+1）＝0，解得a＝﹣3．
故选：D．
3．（5分）若直线l：x+y+a＝0是曲线C：y＝x﹣2lnx的一条切线，则实数a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
【解答】解：∵y＝x﹣2lnx，∴，
设直线l与曲线C的切点P（x0，y0），
则直线l的斜率，
∵直线x+y+a＝0斜率为﹣1，
∴，解得x0＝1，
∴y0＝1﹣2ln1＝1，∴切点为（1，1），
∴1+1+a＝0，∴a＝﹣2．
故选：C．
4．（5分）体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构．如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：渐近线方程为，上焦点坐标为，可得，c，可得a2+b2，解得a，b＝2，
所以该双曲线的标准方程为：．
故选：C．
5．（5分）圆O：x2+y2＝1与圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+22＝0的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由圆O：x2+y2＝1，可得圆O的圆心为（0，0），半径为1，
由圆C：x2+y2﹣8x﹣6y+22＝0，可得圆C的圆心为（4，3），半径为，
∵圆O与圆C的圆心距，
∴圆O与圆C相离，
故有4条公切线．
故选：D．
6．（5分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a2，a2022是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则lg2a1+lg2a2+lg2a3+⋯+lg2a2023的值为（ ）
A．B．C．2023D．1022
【解答】解：由韦达定理，可得a2⋅a2022＝2，
由等比数列性质可得an⋅a2024﹣n＝2，n∈[1，2023]，n∈N*．
设S＝lg2a1+lg2a2+lg2a3+⋯+lg2a2023，
则2S＝lg2a1+lg2a2023+lg2a2+lg2a2022+⋯+lg2a2023+lg2a1，
得．
故选：B．
7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切，直线l与双曲线左右支分别交于A、B两点，且，若双曲线C的离心率为e，则e2的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过O作OT⊥l交l于T，过F2作F2M⊥l交l于M，
由题意可得|TO|＝a，|F1O|＝c，
∴，
∵O是F1F2中点，∴|MF2|＝2|TO|＝2a，|F1M|＝2|TF1|＝2b，
又，∴，|BF2|＝4a，
由双曲线定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，
∴①，
又c2＝a2+b2②，③，
①②③联立可得．
故选：A．
8．（5分）已知，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
【解答】解：因为a＝lnln1＝0，b0，c0，
所以a是最小的数，
设f（x）＝ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，
则f'（x）10，
所以f（x）＝ln（x+1）﹣x在[0，1]上单调递减，
所以f（）＜f（0）＝0，
即ln0，即，
所以﹣ln，
所以ln，
所以，
即，即b＞c，
综上所述，b＞c＞a．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+31n，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝﹣2n+32
B．S17为Sn中的最大项
C．
D．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝430
【解答】解：对于A：当n＝1时，a1＝30；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+32，
经检验，当n＝1时，a1＝﹣2+32＝30，故an＝﹣2n+32，A正确；
对于B：令an＝﹣2n+32≥0，则n≤16，故当n＞17时，an＜0，故S15和S16为Sn中的最大项，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a30|＝（a1+a2+⋯+a16）﹣（a17+a18+⋯+a30），D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，f（x）存在单调递增区间
B．当时，f（x）存在两个极值点
C．是f（x）为减函数的充要条件
D．∀a∈R，f（x）无极大值
【解答】解：由题，，
设g（x）＝ax2+x﹣1，x＞0．
A选项，当且a≠0时，方程g（x）＝0的判别式4a+1＞0，
则g（x）＝0的两根为．
当时，x1＞x2＞0，则g（x）＞0的解为（x2，x1），则此时f（x）存在单调递增区间（x2，x1）；
当a＞0时，x1＜0＜x2，则g（x）＞0的解为（x2，+∞），则此时f（x）存在单调递增区间（x2，+∞）；
当a＝0时，g（x）＞0的解为（1，+∞），则此时f（x）存在单调递增区间（1，+∞）．
综上：当时，f（x）存在单调递增区间，故A正确；
B选项，由A选项分析可知，当时，f（x）存在两个极值点x1，x2；
当a＞0时，f（x）存在唯一极值点x2；当a＝0时，f（x）存在唯一极值点1，故B错误；
C选项，当，g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，得f（x）为（0，+∞）上的减函数；
若f（x）为（0，+∞）上的减函数，则f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
得，则．
综上，是f（x）为减函数的充要条件，故C正确；
D选项，由A选项分析可知，当时，f（x）在（0，x2）上单调递减，
在（x2，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，则此时f（x）有极大值f（x1），故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源．运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶．反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯．如图所示，已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点射入，经过C上的点M（x1，y1）反射后，再经过点N（x2，y2）反射后，沿直线l2射出，经过点Q，F为抛物线焦点，A为抛物线C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．|PA|+|AF|的最小值为B．y1y2＝﹣4
C．D．PN平分∠MNQ
【解答】解：过A作AA'垂直y2＝4x的准线x＝﹣1，垂足为A'，则|AF|＝|AA'|，
过P作PA''垂直y2＝4x的准线x＝﹣1，垂足为A''，
∵，∴，
∵，
当且仅当P，A，A'三点共线时，取等号，故选项A错误；
∵MP平行x轴，，∴，
∴8＝4x1，∴x1＝2，∴，
又F（1，0），∴过MF的直线为，
联立，可得，
∴y1y2＝﹣4，故选项B正确；
∵，∴或，即，
代入，可得，即，
∴，故选项C正确；
∵，，kNQ＝0，
∴，
∴2∠PNQ＝∠MNQ，∴PN平分∠MNQ，故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）若圆O：x2+y2＝1，A（﹣1，0），B（1，0），点P在直线l：x+y﹣2＝0上，则（ ）
A．圆O上存在点N使得
B．圆O上存在点M使得∠OPM＝45°
C．直线l上存在点P使得|PA|+|PB|＝3
D．直线l上存在点P使得
【解答】解：对于A，∵圆心到直线的距离为，
∴，∴圆O上存在点N使得，∴A正确；
对于B，过P作圆O的切线，切点为Q，
则，
∴当PM与圆相切时，∠OPM＝45°，B正确；
对于C，设点B关于直线l的对称点为点B'，则B'（2，1），
∴，故C错误；
对于D，当P点坐标为（2，0）时，|PA|＝3，|PB|＝1，
故，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣an＝n，n∈N+，则a10＝ 46 ．
【解答】解：∵an+1﹣an＝n，n∈N+，
∴a2﹣a1＝1，
a3﹣a2＝2，
……
a10﹣a9＝9，
将这9个式子相加，可得：
a10﹣a1＝1+2+3+…+9＝45，∴a10＝46．
故答案为：46．
14．（5分）过点（3，2）的直线l，被直线l1：2x﹣5y+9＝0，l2：2x﹣5y﹣7＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线x﹣4y﹣1＝0上，则直线l的方程为 x﹣2y+1＝0 ．
【解答】解：设AB中点为M，
因为l1∥l2，
所以M在直线2x﹣5y+1＝0上，
由M在直线x﹣4y﹣1＝0上，
联立可得，解得，即AB中点为M（﹣3，﹣1），
所以直线l的斜率，所以l的方程为，即x﹣2y+1＝0．
故答案为：x﹣2y+1＝0．
15．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线，交椭圆于点P，若直线PF1的斜率为，则椭圆C的离心率为 ．
【解答】解：∵F1（﹣c，0），F2（c，0），
又PF2⊥x轴，且，
∴，
∴①，
又a2＝b2+c2②，
①②联立得2c2+3ac﹣2a2＝0，
∴2e2+3e﹣2＝0，
解得或﹣2（舍去），
故答案为：．
16．（5分）若不等式mx2﹣emxlnx≥0对恒成立，则实数m的取值范围是 [﹣2ln2，+∞） ．
【解答】解：当时，mx2＞0，﹣emxlnx＞0，
所以mx2﹣emxlnx≥0恒成立；
当时，﹣lnx≥0恒成立；
当时，由mx2﹣emxlnx≥0可得对恒成立，
构造，则，
所以当0＜t＜e时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，当t＞e时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，
又，
由单调性可知x≤emx，整理得对恒成立，
令，则，
所以当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以，
综上，实数m的取值范围为[﹣2ln2，+∞）．
故答案为：[﹣2ln2，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且 _____．
请在①S2+S3＝20；②S2是a2与a3的等差中项；③2a2+a3＝16，三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求解下面的问题：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（n+1）lg2an，求数列的前n项和Tn．
【解答】解：（1）选①：当q＝1时，不符合题，
当q≠1时，，
则，
∴q2+2q﹣8＝0，故（q﹣2）（q+4）＝0，
则q＝2（负值舍去），则；
选②：由题知2（a1+a2）＝a2+a3即q2﹣q﹣2＝0，
有（q﹣2）（q+1）＝0，即q＝2（负值舍去），∴；
选，即q2+2q﹣8＝0，同①有；
（2）∵，
∴，
∴．
18．（12分）已知函数f（x）＝kx+2sinx，x∈[0，2π]，函数f（x）在处有极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的最值．
【解答】解：（1）由题，f'（x）＝k+2csx．
因为f（x）在处有极值，则．
又k＝1时，f（x）＝x+2sinx，f'（x）＝1+2csx，
因为时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0．
得f（x）在上单调递增，在上单调递减，
则函数f（x）在处有极大值，满足题意，故f（x）＝x+2sinx．
（2）当x∈[0，2π]时，令f'（x）＞0，得，
令f'（x）＜0，得．
故f（x）在上单调递增，在上单调递减．
则，．
故函数f（x）在[0，2π]上的最大值为2π，最小值0．
19．（12分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，直线l过点A（3，2）．
（1）若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，l：x＝3与圆相切不符合题意，舍去．
当直线斜率存在时，设直线l：y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，
圆心坐标为（1，2），由弦长为可知，圆心到直线的距离为1，
即，所以，
∴直线l方程为或；
（2）设C（t，0），∵A为BC中点，
∴B（6﹣t，4），又B在圆M上，
∴（6﹣t﹣1）2+（4﹣2）2＝4，
∴t＝5，∴C（5，0），
∴直线，
即直线l：y＝﹣x+5．
20．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由得n≥2时，，
两式相减得，
整理得an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
∵an＞0，所以an﹣an﹣1＝1（n≥2），
∴数列{an}是以1为公差的等差数列，
在中，令n＝1得a1＝1，
∴an＝n；
（2）∵，
设数列{（﹣1）nn2}的前n项和为Pn，
∴当n为偶数时，
＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+⋯+（2n﹣1）[n﹣（n﹣1）]
；
当n为奇数时，n+1为偶数，
即，
∴．
21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点E（p，0），过F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AE⊥x轴时，|AF|＝2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线AE，BE与抛物线C的另一个交点分别为点R，S，记直线AB，RS的斜率分别为k1，k2，求的值．
【解答】解：（1）∵点E（p，0），当直线AE⊥x轴时，|AF|＝2，
∴A点的横坐标为p，
又抛物线C：y2＝2px（p＞0），则y＝±p，
不妨设A（p，p），
又抛物线C的准线为x，则|AF|＝p2，解得p，
故抛物线C的方程为y2x；
（2）由（1）得抛物线C的方程为y2x，则F（，0），E（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），R（x3，y3），S（x4，y4），
由题意得直线AB的斜率存在且不为0，则设直线AB的方程为x＝my，即k1，
联立，整理得y2my0，
∴y1+y2m，y1y2，
则直线AE的方程为xy，
联立，整理得y2y0，
则y1y3，则y3，
则直线BE的方程为xy，
联立，整理得y2y0，
则y2y4，则y4，
∴k2•，
∴2．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2且x1＜x2；
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
【解答】解：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝a，
所以当0＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．
（2）（i）由（1）可得当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，此时f（x）至多有一个零点，故a＞0，
若函数f（x）有两个零点x1，x2，则f（x）min＝f（a）＝lna+1＜0，解得，
又f（1）＝a＞0，，
令，所以，g（a）在单调递减，
所以，即f（a2）＞0，
所以当时，f（x）在（a2，a），（a，1）上各有一个零点x1，x2．
（ii）证明：要证明，只需证明，
由（i）可知x1＜a＜x2，令，，
所以t1，t2为h（x）＝at﹣lnt的两个零点，
构造函数φ（x）＝ax2﹣2x+e，因为Δ＝（﹣2）2﹣4ae＝4（1﹣ae）＞0，
所以φ（x）有两个零点x3，x4，不妨令x3＜x4，开口向上，对称轴为，且，
由（1）可得，即t1lnt1﹣2t1+e＞0，
又at1＝lnt1，所以，即φ（t1）＞0，所以t1＞x4，
同理可得φ（t2）＞0，所以t2＜x3，
所以，即．