【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 圆的切线相关证明题专题训练（含解析）

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(1)求证：是的切线；
(2)若，，求．
2．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，请直接写出 ．
3．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．
(1)试说明：直线为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
4．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若，求的长．
5．如图，为的直径，C为上一点，，交于E点，，F为上一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)，求的半径．
6．如图，在中，，平分，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆经过点D，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
7．如图，分别平分，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线．
(1)若，则 °， °；
(2)求证：是的切线；
8．如图，在中，，是角平分线，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆经过点D，交于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
9．如图，是直径，点是上一点，，点为延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)过点作交于点，的延长线交于点，若的直径为4，求线段的长．
10．如图，中，为的直径，点B为延长线上一点，是的切线，A为切点，且，

(1)求的度数；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
11．如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，点F在上，且．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，，求半圆O的半径长．
12．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
13．如图，是的直径，点C，D是同侧圆上两点，，与交于点E，延长到F使，连接

(1)求证：；
(2)若平分，求证：为的切线．
14．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交射线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求图中阴影部分的面积．
15．如图，、是上的两点，过作的垂线交于，交于，交的切线于．
(1)求证：；
(2)当，时，求及的长．
16．如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
17．如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
18．如图，为的直径，C为上一点，于点E，交于点F，直线与直线交于点H，平分．

(1)求证：是的切线，；
(2)若F为中点，半径为2，求的长．
19．如图所示，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点E，作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的边长为2，求的长度．
20．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为1，求的长，
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆切线的判定、勾股定理等知识．
（1）连接，由，得，则，所以，即可证明是的切线的切线；
（2）由勾股定理得，而，所以，求得，则．
【详解】（1）解：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
，
，
，且，
，
解得：，
∴．
2．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形转换得，即可证明结论；
（2）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化即可证明结论；
（3）根据垂径定理得到点为的中点，设，则，利用勾股定理列方程计算得出，再利用中位线的性质即可求出的长．
【详解】（1）连接，

∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵点是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图：设交于点H，

∵，，
∴，
∴；
设，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线．
（2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，又是的半径，
直线为的切线．
（2）如图，连接，作，垂足为，则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即的半径为4，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接．证明即可；
（2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）设，则，
在中，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，推出，得到，进而得到，即可得证；
（2）延长交与点，得到，，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）延长交与点，

∵，，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，，
∴，
∴，即圆的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)阴影部分的面积是
【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线与圆相切；垂直于弦的直径平分弦；．
（1）连接，易得，根据角平分线的性质得出，进而得出，则，即可求证；
（2）连接，作于点I，则，，通过证明四边形OICD是矩形，得出，根据勾股定理得出，进而得出是等边三角形，则，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：连接，作于点I，则，，
∵，
∴四边形OICD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是．
7．(1)70，125
(2)见解析
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理．
（1）根据圆周角定理求出，根据三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理求出；
（2）连接交于，根据圆周角定理和切线的判定即可证明．
【详解】（1）解：由圆周角定理得，，
，
，
∵分别平分，
，，
，
故答案为：70，125；
（2）证明：连接交于，如图，
∵平分，
即，
∴，
，
∴，
∵，
，
是的切线；
8．(1)见解析
(2)8
【分析】此题考查了切线的判定“切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键；
（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，根据，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出与平行，利用两直线平行同位角相等得到为直径，即可得证；
（2）过作垂直于，可得出四边形为矩形，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂径定理可得．
【详解】（1）证明：连接，

∵为平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
则为圆O的切线；
（2）解：过O作，连接，

∴四边形为矩形，
∴，
在中，利用勾股定理得：，
∴，
∵，
∴．
∴．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由求出，再由、得到，从而得到，得证是的切线；
（2）由和直径为4，求得的值和的长度，再结合的度数求出和的大小，结合等腰三角形的性质求出线段的长即可．
【详解】（1）证明：连接，如下图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵直径为4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法和圆周角定理等知识是解题关键．
10．(1)的度数为
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）根据切线的性质证明，进而求得的度数；
（2）根据阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积即可解决问题．
【详解】（1）解：连接，

是的切线，点A为切点，
，
又，，
，
设，则在中，有：，
解得：，
∴的度数为；
（2）解：，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握切线的性质和扇形面积公式是解题关键．
11．(1)见解析
(2)半圆O的半径长为
【分析】本题考查了切线的判定“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”和勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，易得，根据，得出，则，即可求证；
（2）连接，易得，设半圆O的半径长为r，则，在中，根据勾股定理可得：，在中，根据勾股定理可得：，则，求解即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
设半圆O的半径长为r，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
解得：，
即半圆O的半径长为．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证是的切线，只要连接，再证即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接；
∵，又，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
又是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，及公共边证，得，进而得．
（2）由及直径所对的圆周角为直角，证BD是EF的垂直平分线，进而得，，再由平分进而证明即可．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
在和中
，
，
，
，
；
（2），
，
，
是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形全等，线段垂直平分线，等腰三角形的判定定理与性质定理．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，连接，则，由平分，可得，则，，则，进而结论得证；
（2）由线段是的直径，可得，由，，，可得，则；
（3）证明是等边三角形，则，，，，，如图1，连接，，，由，，可得，，则是等边三角形，，，根据计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）证明：∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，平分，
∴，
如图1，连接，，，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角为直角，角平分线，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，扇形面积等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）要证明，只要证明即可，根据题目中的条件可以得到，结论得以证明；
（2）根据（1）中的结论和勾股定理可以求得及的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，
∴设，
则，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质，等腰三角形中“等角对等边”的性质，利用勾股定理解三角形是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，求不规则图形的面积．
（1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积．
【详解】（1）连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
17．(1)见详解
(2)5
【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论；
（2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵于点E，
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：设的半径为，
因为，
所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
，
所以的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）连接，根据切线的性质和已知求出，求出，即可得出答案；
（2）连接，，，证明四边形是菱形，推出是等边三角形，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是半径，
即直线是的切线；
（2）解：连接，，，

∵F为中点，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，又，
∴，
∴，，
∵，
∴，则四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
19．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接，根据等边三角形的性质求出，根据面积法结合图形计算即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴于点D．
∵点D在上，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，

∵为直径，
∴．
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易得，，，根据等量代换可得，证明可得结论；
（2）根据，，得出，，根据，，求出，得出，根据勾股定理得出．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．