【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析）

这是一份【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数压轴题专题训练（含解析），共59页。试卷主要包含了已知二次函数，如图，抛物线与直线交于点和点B，已知抛物线的顶点为与轴交于等内容，欢迎下载使用。


(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点，与y轴交于点B，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
(3)点Q是第一象限的抛物线上的一个动点，当时，求点Q的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧）．
(1)当时，求线段的长．
(2)请直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式．
(3)若抛物线经过点，将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，求抛物线的顶点的坐标．
3．如图，抛物线与直线交于点和点B．
(1)求出m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点P为抛物线上一动点，当的面积为3时，直接写出点P的坐标．
4．已知抛物线的顶点为与轴交于．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过顶点作轴于，交直线于，点，分别在抛物线和轴上，若点Q坐标为，且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值；
(3)将抛物线向右平移一个单位得抛物线，直线与轴交于点，与抛物线交于，两个不同点；分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，当的值在取值范围内发生变化时，式子的值是否发生变化？若不变，请求其值．
5．如图，已知二次函数的图像交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标．
(3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
7．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．

(1)
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
8．如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N. 试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
9．如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．

(1)求A、B两点坐标；
(2)求的最大值；
(3)当时，
①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标；
②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D．
①在P点的运动过程中是否存在四边形为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求点P的坐标；
②求的最大值．
11．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的面积有最大值？
(3)过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连接，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是上方抛物线上的一动点，作轴于点，点的横坐标为，交于点．
(1)求，的坐标和直线的解析式；
(2)连接，求面积的最大值；
(3)已知点也在抛物线上，点的横坐标为，作轴于点，交于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
13．如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标；
(3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标．
14．如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在直线BC上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接DC、DB，当△BCD面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；
(3)如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE．点M为原抛物线对称轴上一点，以B、E、M为顶点的三角形是直角三角形时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，C两点，与x轴交于点A．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
17．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点C在直线上，抛物线上是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点D的坐标．
18．已知抛物线的顶点为D，与轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C

(1)若点A坐标为，点C坐标为求其解析式；
(2)如图（1），已知抛物线的顶点D在直线：上滑动，且与直线交于另一点E，若的面积为，求此时点A的坐标；
(3)如图（2），在（1）的条件下，直线交抛物线于M，N两个不同的点，直线分别交y轴于点G、F，求与满足的数量关系．
19．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．

(1)求直线的解析式；
(2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
(3)平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．
20．如图，二次函数的图象经过A，B，C三点．
(1)观察图象，直接写出：当x满足_____时，抛物线在直线AC的上方．
(2)求抛物线的解析式；
(3)观察图象，直接写出：当x满足_____时，；
(4)若抛物线上有两个动点，，请比较和的大小．
参考答案：
1．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）本题考查抛物线与一元二次方程关系，根据两个交点列方程根据判别式大于0求解列式求解即可得到答案；
（2）本题考查抛物线与坐标轴交点及两直线交点问题，将代入求出解析式，从而求出，点，求出直线解析式及抛物线的对称轴联立即可得到答案；
（3）本题考查二次函数与图形面积关系，连接，设点，根据面积列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴的判别式大于0，
即：，
解得：；
（2）解：将代入抛物线得，
，解得：，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设的解析式为：，将，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
（3）解：连接，设点，
，
解得：，，
∴或．
2．(1)线段的长为5
(2)抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为
(3)抛物线为或，抛物线的顶点的坐标为或
【分析】（1）求出当时，抛物线与x轴的两个交点坐标，即可得到线段的长；
（2）把抛物线化为顶点式，再根据关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得到答案；
（3）根据抛物线L经过点求出a的值，根据平移规律求出抛物线的解析式，化为顶点式，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，抛物线，即，
当时，，即，
解得，
∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
即线段的长为5；
（2）解：∵，关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数，
∴抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为，即，
∴抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为；
（3）解：∵抛物线L经过点，
∴，即，
解得，
∴抛物线或，
∴将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，
得到抛物线为或，
∴抛物线的顶点的坐标为或．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的平移、二次函数的顶点式、关于原点对称的点的特征等知识，熟练掌握二次函数的平移、二次函数的顶点式是解题的关键．
3．(1)，
(2)，或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，再把点P纵坐标代入抛物线解析式中求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得，解得，
把代入中得，解得；
（2）解：联立，解得或，
∴，
∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：∵，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或；
在中，当时，此时方程无解；
∴点P的坐标为或
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键．
4．(1)；
(2)或；
(3)的值不发生变化，为，理由见解析；
【分析】（）运用顶点式待定系数法求解即可；
（）根据点坐标，表示点坐标，进一步表示长度，由平行四边形的对边相等列出方程求解即可；
（）联立直线和抛物线求出交点坐标，表示，的长度，代入化简即可；
此题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是会用待定系数法求解析式，运用平行四边形的性质建立方程并准确求解，会求含有字母系数的方程组，并化简分式．
【详解】（1）设抛物线的解析式为：，
把点代入得，，解得：，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）由题意得，，
∵点，
∴点，
∴，
由，当时，，
∴点，
当时，，解得：或，
∴点，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
∵，
∴，
∴，
由平行四边形的性质得：
∴，
解得：或；
（3）的值不发生变化，理由：
如图，
抛物线向右平移一个单位得到抛物线的解析式为，
联立方程组，
解得：，，
∴，，
∴，，
∴．
5．(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积是
(3)存在，Q的坐标为或或或
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点M做轴于点E，设面积为S，得出，求出，得出，求出结果即可；
（3）先求出直线解析式为，设，又，，分三种情况讨论，当，是对角线时，当，是对角线时，当，是对角线时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：将点，代入中，得：
，
解得，
该二次函数的表达式为；
（2）解：如图：过点M做轴于点E，设面积为S，
由题可知：，
在中，当时，得，
∴，
∴，
∴，
由，得，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积是．
（3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设直线解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
设，又，，
①当，是对角线时，则，的中点重合，
则，
解得（与C重合，舍去）或，
∴；
②当，是对角线时，则，的中点重合，
则，
解得（与C重合，舍去）或，
∴；
③当，是对角线时，则的中点重合，
则，
解得或，
∴或．
综上所述，Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质，注意分类讨论．
6．(1)
(2)最大值，点
(3)或或
【分析】（1）根据点的坐标及可得出点的坐标，再根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，进而得出：，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为，设，，分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵点的坐标为，，
点的坐标为，
将点、代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）由，
解得：，，
，
，
，
设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，点，
．
（3），对称轴为直线，
将抛物线向右平移个单位后的抛物线解析式为，
联立，
解得：，
，
设，，又，，
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数、二次函数图象上上点坐标的特征，三角形面积，二次函数的图象和性质，平行四边形性质等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
7．(1)抛物线的解析式为
(2)当的周长最小时，点M的坐标为，△MBC的周长为
(3)在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，连接，交抛物线对称轴于点M，此时的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可得出，的长度及直线的解析式，再结合二次函数图象对称轴的横坐标和直线的解析式可得出点M的坐标和的周长；
（3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点Q的坐标．
【详解】（1）解：解：将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为．
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
连接，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．

∵点A，B关于直线对称，
，
，
∴此时的周长取最小值．
∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
，，直线的解析式为（可用待定系数法求出来）．
当时，，
∴当的周长最小时，点M的坐标为，的周长为．
（3）解：∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或，如图2所示．

当时，，
解得：（舍去），
∴点Q的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点Q的坐标为或．
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用两点之间线段最短，找出点M的位置；（3）根据平行四边形的性质，找出点Q的纵坐标为2或．
8．(1)
(2)线段的最大值，此时D点坐标为
(3)8
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）过点D作轴于点F，交于点G，则轴，得为等腰直角三角形，求出直线解析式为，设点D坐标为，列得，当时，最大，此时，，线段的最大值；
（3）由翻折得抛物线的解析式为，可设直线JI的解析式为，直线FJ的解析式为，当时，，得，，同理可求：，故的定值为8
【详解】（1）解： 抛物线经过点，
抛物线的解析式为
（2）如图1，过点D作轴于点F，交于点G，则轴，

图1
抛物线解析式为
∵轴
为等腰直角三角形
，
设直线解析式为
解得，，，
直线解析式为
设点D坐标为
点G坐标为
当时，最大，此时，
线段的最大值，此时D点坐标为；
（3）是定值，理由如下：
将抛物线沿y轴翻折得到抛物线
的解析式为
直线JI经过，
可设直线JI的解析式为
、I在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，

设直线FJ的解析式为，则有
解得，
直线FJ的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
故的定值为8
【点睛】此题考查二次函数综合知识，待定系数法求函数解析式，线段最值，二次函数与抛物线的交点问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键
9．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，则，即可求解；
（2）设，由，即可求解；
（3）①作点C关于x轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点N，由图形的对称性可知N为所求的点，即可求解；
②当时，列出等式即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，
∴，
即抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点A、B的坐标分别为：；
（2）解：设点，则，，
∴，
即的最大值为：；
（3）解：当时，点；
①作点C关于x轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交于点N，

设过点A、的直线解析式为：，
则有：，
解得：，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得：（不合题意的值已舍去），
∴；
②存在,
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴设点，
由点A、M、N的坐标得，，，
当时，即，
解得：，
即点M的坐标为：；
当时，则，
解得：，
即点M的坐标为：，
综上，点M的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于x轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等；第三问注意有两种情况，不要出现遗漏．
10．(1)
(2)①存在，；②的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①设P点的横坐标为，表示出，即，再表示出，即，根据四边形为平行四边形，可得，即有，解方程即可求解；②结合①，表示，利用二次函数的最值求解．
【详解】（1）解：∵，在抛物线的图象上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①存在点P，使四边形为平行四边形 理由如下：
设直线的解析式为：，
∵，在直线 的图象上，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：；
设P点的横坐标为，
∵轴，
∴C点的纵坐标为：，
∴C点的横坐标为：，
∴，即，
∵轴，P点的横坐标为，
∴，即，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴当P点坐标为：时，四边形为平行四边形；
②∵，
∴，
∴，
即，
∴当 时，有最大值．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数的性质，一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
11．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．
（3）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，据列式计算即可．
【详解】（1）∵点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：，
解得，
直线的解析式为：，
如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，，
∴
，由此可得，
当，最大为，
当时，，
∴．
（3）根据（2）得直线的解析式为：，
根据题意，得，，
设，则，
则，，
根据题意，
∴，
∴或，
解得（舍去）或（舍去）
当时，，此时；
当时，，此时；
故或．
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
12．(1)，，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）在中，分别令，，可求得，的坐标，设直线的解析式的解析式为，把点，，代入可求直线的解析式；
（2）设，，再利用二次函数的最值即可求解；
（3）构建平行四边形，可得，分别在第一和第四象限进行讨论求解．
【详解】（1）解：在中，当时，，
解得：，，
∴，，
当时，得，
∴，
设直线的解析式的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式的解析式为．
（2）解：如图
设，，
∴
，
∴面积的最大值为．
（3）解：根据题意， 的横坐标为时，有可能在第一象限，也可能在第四象限，
当在第一象限时，如图：
由于，抛物线上，，在上，
设，，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
解得：，
当在第四象限，如图：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
∴的值为．
【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，解题的关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
13．(1)
(2)点P的坐标为
(3)当G点坐标为或时，以C，D，G为顶点和三角形与相似
【分析】（1）由直线的解析式得出点A，点B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先设出点P的坐标，求出点E的坐标，再推导出点Q的坐标，根据列出方程，通过解方程即可确定P的坐标；
（3）先根据求出F的坐标，设出点G的坐标，根据相似三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点G的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与y轴交于A，与x轴交于B，
∴当时，，则，
当时，，解得，则，
把点，，．代入中，
得：，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）解：依题意，联立直线和抛物线的解析式，
得，
即
解得或，
把代入，
解得，
故，
设，其中，
则，
如图：
∵，
∴，
解得，（不符合题意，故舍去）
∴
（3）解：过E作 轴于H，
∵， ，
∴ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
若，
则，
设所在的直线解析式为
∵
则所在的直线解析式为 ，
联立
整理得 ，
，
解得， ，
当时，
∴G点坐标为 ，
此时，，
∴，即，
∴，
故当G点坐标为时，，
由抛物线的对称性可知，关于对称轴直线的对称点，
此时，
∴，
综上所述，当G点坐标为或时，以C，D，G为顶点和三角形与相似．
【点睛】本题主要考查函数的综合问题，关键是要会用待定系数法求解析式、牢记等腰直角三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，相似三角形的判定及其性质，综合性较强，难度较大，解本题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用的过程．
14．(1)
(2)9
(3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可；
（3）画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；
【详解】（1）由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：如图，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为；
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．(1)
(2)，
(3)，，，
【分析】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数的图象和性质，勾股定理，是解题的关键．
（1），代入，求出a和b的值，即可得出表达式；
（2）过D作轴交于H，用待定系数法求出解析式为，设，则．得出，则当时，DH最大值为，再根据，即可解答；
（3）先得出对称轴为直线，平移后解析式为，
联立两函数，求出，设，则表示出，，，然后进行分类讨论：①当时，②当时，③时，，由此即可求解．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解这个方程组，得，
∴该抛物线得表达式为；
（2）解：如图所示，过D作轴交于H，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴解析式为，
设，则．
则
，
当时，DH最大值为，
，
此时；
（3）解：∵，
∴抛物线向右平移一个单位长度后经过原点，
∵．
∴对称轴为直线，平移后解析式为，
联立两函数得：，
解得：，
∴，
设，则，，，
①当时，
，
解得：，
∴；
②当时，
，
解得： ，
∴；
③时，
，
解得：，
∴，．
综上：，，，．
16．(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)点N的坐标为（，﹣）或（，3），求解过程见解析
【分析】（1）先由一次函数求出，，再由待定系数法求解即可；
（2）设，过点P作轴，根据条件可证明，利用二次函数性质即可求解；
（3）将抛物线沿射线方向平移2个单位长度，则相当于向左平移个单位，向下平移1个单位，设点，点，分情况讨论：当是对角线时，由中点坐标公式和可得方程组；当是对角线时，由中点坐标公式和可得方程组；当是对角线时，由中点坐标公式和可得方程组．
【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于，，C两点，
∴，
∴，
当时，，∴，
把，代入得：，解得，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵直线与x轴交于点A
令，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，过点P作轴，如图，

设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，此时点P的坐标为；
（3）解：∵，
原抛物线的对称轴为直线，顶点为，
∵ 将抛物线沿射线方向平移2个单位长度，则相当于向左平移个单位，向下平移1个单位，
则新抛物线的对称轴为直线，
设点，点，
∵，，
∴，
当是对角线时，由中点坐标公式和得：，解得，即；
当是对角线时，由中点坐标公式和得：，解得（不符合题意得值已经舍去），即；
当是对角线时，由中点坐标公式和得：，无解，
综上，点N的坐标为（，﹣）或（，3）；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
17．(1)该抛物线的解析式为
(2)S有最大值，当时，S的最大值是
(3)，，，
【分析】（1）把代入，求出B的值，再将点B的坐标代入，求出a的值，即可得出抛物线解析式；
（2）连接，设点，根据得出S关于x的表达式，将其化为顶点式，即可求解；
（3）设点C的坐标为，而点B和点O的坐标分别为和，进行分类讨论：①当是平行四边形的一条边时，则有，，得出或，得出方程或，求解即可；②当是平行四边形的对角线时，必过的中点，且与互相平分，即E也是的中点，得出，得出方程，求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：连接，如图所示：

设点，
∵，，
∴，
则
，
∵，
∴S有最大值，当时，S的最大值是．
（3）解：设点C的坐标为，而点B和点O的坐标分别为和，
①当是平行四边形的一条边时，则有，，
∴或，
∴或，
∴或，
∴，，，，
②当是平行四边形的对角线时，必过的中点，
且与互相平分，即E也是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
综上所述，点D坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，求二次函数最值的方法，以及平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，平行四边形对角线互相平分．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点，点代入，即可求解；
（2）设点D、E的坐标分别为、，则，将抛物线与直线l解析式联立并整理得：，可得，设直线l与x轴的交点为Q，则Q，利用三角形面积可得，即可得出答案；
（3）求出直线、对应的函数解析式，得出点G、F的坐标即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
解得，
抛物线对应的函数解析式为；
（2）设点D、E的坐标分别为，
则，将抛物线与直线l解析式联立得：，
整理得：
，
．
设直线l与x轴的交点为Q，则Q，

,
．
（3）设点M、N的坐标分别为,
设直线为，将A,代入，得
，
解得，
直线为，
同理可求直线为，
,
将抛物线与直线l解析式联立得：，
整理得：
，
,
故答案为：
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，三角形面积，一元二次方程解法，根与系数关系，解题关键是熟练运用一元二次方程根与系数关系等相关知识．
19．(1)
(2)当点F的坐标为，三角形的面积最大，最大值为4
(3)或或
【分析】（1）先根据对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）设， ，由知，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，只有，然后分两种情况：①；②或讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点和点B，
∴
设直线的解析式为，
将代入中得：
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
把带入中得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
过F点作轴交于Q，如图，

设点Q的坐标是，则点F的坐标是．
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值是4，
当时，，即此时F点坐标是；
（3）解：∵抛物线解析式为由，
∴顶点，
又∵点E在直线上，
∴，
∴．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，由于，则，
设点P的坐标是，则点Q的坐标是．
①当时，，
∴，
解得：或3．
当时，线段与重合，舍去，
∴，即．
②当或时，，
∴，
解得，经检验适合题意，
此时，．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是，，．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法，解方程组，三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键，抛物线上关于对称轴对称的两点函数值相同；求函数解析式，利用待定系数法求解；涉及平行四边形，可知平行四边形对边平行且相等，涉及二次函数与图形面积的关系，利用未知数表示出面积，得到对应的二次函数求解．
20．(1)或
(2)
(3)
(4)，；，；，
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质；
（1）观察函数图象，根据的横坐标，即可求解．
（2）直接由二次函数的图象写出点、、的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可；
（3）先求出抛物线与轴的另一个交点坐标，由图象可知，即轴上方的图象，即可直接写出的取值范围；
（4）分三种情况讨论，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）观察函数图象，可知：当或时，抛物线在直线的上方．
故答案为：或；
（2）将，，代入中，
（3）令，则，
∴，，
∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为，
由图象可知，当时，.
（4）∵，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，．