初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数练习题

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1.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数的概念
基础过关全练
知识点1 锐角三角函数的定义
1.在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则下列三角函数值正确的是( ) ( )
A.sin A=513 B.cs A=513
C.tan A=513 D.tan B=513
2.(2022浙江丽水景宁模拟)如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示tan α的值,错误的是( )
A.CDBD B.ACBC C.CDAC D.ADCD
3.(2022浙江湖州中考)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.( )
知识点2 已知三角形的边长或边长之间的数量关系求三角函数值
4.【一题多变】如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,☉O的圆心O及A、B、C、E均在格点上,BC交☉O于D,则∠AED的余弦值是 .

[变式]如图,直径为10的☉A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧☉A上一点,则∠OBC的余弦值为 .
5.(2019浙江杭州中考)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cs C= .( )
6.【射影定理】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=4,BC=3.( )
(1)求BD的长;
(2)求∠ACD的正切值、正弦值及余弦值.
知识点3 已知三角函数值,求三角形的边长或其他三角函数值
7.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,BC=8,则AC等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
8.【方程思想】已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=255,则tan B的值等于 .
能力提升全练
9.(2019浙江台州中考,8,★★☆)如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合.当两张纸片交叉所成的角α最小时,tan α等于( )
A.14 B.12
C.817 D.815
10.(2020浙江丽水中考,15,★★☆)如图所示的是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边重合,点A,B,C均为正六边形的顶点,AB与地面BC所成的锐角为∠β,则tan β的值是 .
11.【网格构造直角法】(2022浙江金华婺城模拟,15,★★☆)如图所示的是一个5×6的正方形网格,点A,B,C,D都在格点上,且线段AB,CD相交于点P,则tan∠BPC的值为 .
素养探究全练
12.【运算能力】我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图①,在△ABC中,AB=AC,底角B的邻对记做can B,这时can B=底边腰=BCAB.根据上述底角的邻对的定义,解答下列问题:
(1)can 30°= ; 提示:cs30°=32
(2)如图②,已知在△ABC中,AB=AC,can B=85,S△ABC=24,求△ABC的周长.
答案全解全析
基础过关全练
1.A 如图,∵∠C=90°,AC=12,BC=5,
∴AB=122+52=13,
∴sin A=513,cs A=1213,tan A=512,tan B=125,故选A.
2.C ∵AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠B=∠ACD=∠α,∴tan B=tan∠ACD,
∴tan B=tan α=CDBD=ACBC=ADCD,故选C.
3.解析 ∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC=AB2-BC2=52-32=4,sin A=BCAB=35.
4.答案 255
解析 如图,连结AB,AC,
∵AB=2,AC=1,
∴BC=22+12=5,
∴∠ABD的余弦值为ABCB=25=255,
∵∠AED=∠ABD,
∴∠AED的余弦值是255.
[变式] 答案 32
解析 如图,设☉A与x轴的另一个交点为D,连结CD,
∵∠COD=90°,∴CD是直径,∴CD=10,
∵C(0,5),∴OC=5,∴OD=CD2-OC2=53,
∵∠OBC=∠ODC,
∴cs∠OBC=cs∠ODC=ODCD=5310=32.
5.答案 32或255
解析 设AB=x(x>0),则AC=2x,
若∠B=90°,则BC=(2x)2-x2=3x,
则cs C=BCAC=3x2x=32;
若∠A=90°,则BC=(2x)2+x2=5x,
所以cs C=ACBC=2x5x=255.
综上所述,cs C的值为32或255.
6.解析 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=AC2+BC2=5,
∵S△ABC=12AB·CD=12AC·BC,
∴CD=AC·BCAB=4×35=125.
∵tan B=CDBD=ACBC,∴125BD=43,∴BD=95.
(2)∵AB=5,BD=95,∴AD=AB-BD=165,
∵CD⊥AB,
∴tan∠ACD=ADCD=165125=43,sin∠ACD=ADAC=1654=45,
cs∠ACD=CDAC=1254=35.
7.D ∵∠C=90°,∴tan A=BCAC=2,
∴AC=12BC=12×8=4.故选D.
8.答案 12
解析 ∵∠C=90°,sin A=255,
∴设直角边BC的长为25x(x>0),斜边AB的长为5x,
则AC=AB2-BC2=(5x)2-(25x)2=5x,
∴tan B=ACBC=5x25x=12.
能力提升全练
9.D 如图,
∵∠ADC=∠HDF=90°,
∴∠ADM+∠MDC=∠HDN+∠ADM,
∴∠CDM=∠NDH,
又∵CD=DH,∠C=∠H=90°,
∴△CDM≌△HDN(ASA),∴MD=ND,
∴平行四边形DNKM是菱形,∴KM=DM,
∵sin α=sin∠DMC=CDMD,
∴当点B与点E重合时,两张纸片交叉所成的角α最小.
设MD=a cm,易得MD=BM,则CM=(8-a)cm,
∵MD2=CD2+MC2,∴a2=22+(8-a)2,
∴a=174,∴CM=154 cm,
∴tan α=tan∠DMC=CDMC=815,故选D.
10.答案 19315
解析 如图,过点A作AT∥BC,过点B作BH⊥AT于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为a,边心距=32a.
观察图形可知BH=192a,AH=532a,
∵AT∥BC,∴∠BAH=∠β,
∴tan β=tan∠BAH=BHAH=192a532a=19315.
11.答案 3
解析 如图,取格点M,N,连结MN,AN,CB,则AN⊥CD,
设小正方形的边长均是1,∴AN=22+22=22,
∵MN∥CB,∴△MPN∽△BPC,
∴NPPC=MNBC=15,
∴PNNC=16,
∵CN=42+42=42,∴PN=16CN=223,
∴tan∠BPC=tan∠APN=ANPN=22223=3.
素养探究全练
12.解析 (1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,过点A作AD⊥BC于点D,
∵∠B=30°,∴cs B=BDAB=32,∴BD=32AB,
∵△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,
∴BC=2BD=3AB,∴can 30°=BCAB=3.

(2)过点A作AE⊥BC于点E,如图2,
∵can B=85,∴可设BC=8x,AB=5x,x>0,
易知BE=12BC=4x,∴AE=AB2-BE2=3x,
∵S△ABC=24,
∴12BC·AE=12x2=24,
解得x1=2,x2=-2(舍去),
∴AB=AC=52,BC=82,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=52+52+82=182.
大概念素养目标
对应新课标内容
理解锐角三角函数的定义
利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A,cs A,tan A)【P69】
了解特殊角的锐角三角函数值
知道30°,45°,60°角的三角函数值【P69】
理解用计算器求已知锐角的三角函数值,已知三角函数值求锐角的度数
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角【P69】
掌握运用三角函数解直角三角形
能用锐角三角函数解直角三角形【P69】
应用锐角三角函数解决实际问题
能用相关知识解决一些简单的实际问题【P69】