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苏科版七年级上册3.2 代数式学案
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这是一份苏科版七年级上册3.2 代数式学案，文件包含苏科版七年级数学上册同步精品讲义32代数式学生版docx、苏科版七年级数学上册同步精品讲义32代数式教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 代数式
1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
【微点拨】
带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式.
【即学即练1】1．用代数式表示：a与b的的和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先表示b的，再表示与a的和．
【详解】
解：a与b的的和表示为：，
故选：A．
【即学即练2】2．一项工程甲单独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合作了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，得出乙单独做5天完成，进而得出两人合做了m天完成的工作量，再利用剩下的工作量由乙完成，表示出还需的天数．
【详解】
解：甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，
乙单独做5天完成，
两人合做了天未完成，
还剩工作量为：，
剩下的工作量由乙完成，还需的天数为：，
故选：B．
知识点02 列代数式
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
1.重点：用字母表示数·
2.比谁的几倍多（少）几的问题
3.比谁的几分之几多（少）几的问题
4.折扣问题：
例：八折是乘0.8，八五折是乘0.85
5.提价与降价问题：
例：一个商品原价a,先提价20%,在降价20%，即a（1+20%）（1-20%）
6.路程问题：
把握s=vt
7.出租车计费问题：
分类讨论思想，将总路程切割成不同的段(例：前三公里收费7元，之后每公里1.6元，公里数x，总费用y）
Y=7 x≤3
Y=
Y=1.6（x-3）+7 x＞3
8.已知各数位上的数字，表示数的问题：
9.字母乘10表示在十位上，乘100表示在百位上。
10.特定字母的意义：
C：周长 S：面积 V:体积 r：半径 d：直径
s：路程 t：时间 v：速度
n：正整数
【微点拨】
代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.
【即学即练3】3．某商品的批发价为a元，先提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后单价是（ ）元．
A．aB．C．D．
【答案】C
【分析】
原价提高10%后商品新单价为a（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为a（1+10%）（1-10%），由此解决问题即可．
【详解】
解：由题意得a（1+10%）（1-10%）=0.99a（元）．
故选：C．
【即学即练4】4．某超市出售一种商品，其原价为a元，现有四种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价25%．（4）先降价15%，再提价25%，针对以上调价方案，下列说法不正确的是（ ）
A．第三种方案最优惠B．四种方案的结果都恢复不了原价
C．前两种方案的优惠一样多D．四种方案优惠后都比原价低
【答案】D
【分析】
先求出四种调价方案的价格，再逐项判断即可得．
【详解】
调价方案（1）：（元），
调价方案（2）：（元），
调价方案（3）：（元），
调价方案（4）：（元），
A、最小，所以第三种方案最优惠，此项说法正确，不符题意；
B、四种方案的结果都不等于元，所以都恢复不了原价，此项说法正确，不符题意；
C、前两种方案的优惠一样多，此项说法正确，不符题意；
D、第四种方案的价格比原价高，此项说法不正确，符合题意；
故选：D．
能力拓展
考法01 代数式书写方法
（1）书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面。
（2）带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数。
如：乘a 写作：，不要写成a
（3）“×”号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的“×”通常简写成“•”，或省略不写；但数字与数字之间的“×”既不能写成“•”，也不能省略不写。
如： a的5倍，写作：5a 不要写成a 5；
a乘b ，写成ab 或ba；
4乘5，写作4×5，不能写成4•5，更不能写成45。
（4）“÷”号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式。
如：5除以a 写作，不要写成 ； c除以 d写作 ，不要写成
（5）带单位的代数式书写要求：用“+”“—”号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位。
如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a）本
（6）关于约定的写法：一些写法是约定俗成的，比如当数字与字母相乘，数字因数为1时，通常把1省略不写；“a与b的差”是指“a-b”，而不是“b-a”；“a、b的平方和”是指“a、b 两个数分别平方后相加的和”，即“a2+b2”，而不是“a+b2 ”；同样，“a、b的平方差”是指“a、 b两个数分别平方后相减的差”，即“a2-b2”，而不是“a-b2 ”，等等。
【典例1】下列式子中，符合代数式书写格式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据代数式的书写要求判断各项．
【详解】
解：选项A正确的书写格式是，
选项B的书写格式是正确的，
选项C正确的书写格式是5xy，
选项D正确的书写格式是-c.
故选：B．
考法02 单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，在确定单项式的系数和次数时要紧紧抓住此定义是解决问题的关键
误区一：把数字指数和字母指数混为一谈
误区二：把π当做字母
误区三：忽视“1”的省略
【典例2】单项式﹣2x3y的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
根据单项式的次数的定义即可求解．
【详解】
解:单项式﹣2x3y的次数是3+1=4．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．用代数式表示“a与b的平方差”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据代数式的意义列出即可．
【详解】
解：根据题意列得：a2-b2．
故选：A．
2．下列代数式属于二次三项式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【详解】
解：A. 是三次三项式，故此选项不合题意；
B. 不是多项式，故此选项不合题意；
C. 是二次三项式，故此选项符合题意；
D. 是三次三项式，故此选项不合题意；
故选：C．
3．代数式的意义是（ ）
A．m除以n减2B．除m
C．n与2的差除以mD．m除以n与2的差所得的商
【答案】D
【分析】
根据代数式的意义，表示m除以n与2的差所得的商．
【详解】
解：代数式表示m除以n与2的差所得的商，
故选：D．
4．若为自然数，则多项式的次数应当是（ ）
A．mB．nC．D．中较大的数
【答案】D
【分析】
由于多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，因为m，n均为自然数，而4m+n是常数项，所以多项式的次数应该是x，y的次数，由此可以确定选择项．
【详解】
解：∵多项式中每个单项式叫做多项式的项，
这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，
而4m+n是常数项，
∴多项式xm-yn-4m+n的次数应该是x，y中指数大的，
∴D是正确的．
故选：D．
5．代数式：，，，，，，0，，中，单项式和多项式分别有（ ）
A．3个，1个B．3个，2个C．4个，1个D．4个，2个
【答案】D
【分析】
根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】
解：单项式：-4，，0，，
多项式：，，
故选：D．
6．下列各式：，，，，，，．其中单项式的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
根据单项式的概念即可判断．
【详解】
解：，，是单项式，
故选：B．
7．代数式：中，单项式和多项式分别有（ ）
A．3个，1个B．3个，2个C．4个，1个D．4个，2个
【答案】D
【分析】
根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】
解：单项式：-4x，π，0，，
多项式为：，a2-b2，
故选：D．
题组B 能力提升练
1．我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对，其中，均不是3的倍数，但与的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有（ ）对．
A．1089B．1122C．2176D．2244
【答案】D
【分析】
先判断出只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，即可得出结论．
【详解】
解：从1到100这100个自然数中，除3余1的数为，除3余2的数为，为自然数），
而，
所以是3的倍数，
而，，
所以，以及不是3的倍数，
即：两个数的和是3的倍数，只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，
所以，是除3余1的数，必是除3余2的数或是除3余2的数，必是除3余1的数，
而从1到100这100个自然数中，除3余1的数有34个，除3余2的数有33个，
满足条件的有序数对共有对，
答案：．
2．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得的值即可．
【详解】
解：P1（1，-1）=（0，2），
P2（1，-1）=P1(P1)=P1(0，2)=（2，-2），
P3（1，-1）=P1（P2）=P1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P4（1，-1）=P1（P3）=P1（0，4）=（4，-4），
P5（1，-1）=P1（P4）=P1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P6（1，-1）=P1（P5）=P1（0，8）=（8，-8），
…
当n为奇数时，Pn（1，-1）=（0，），
∴=（0, ）=（0，21011），
应该等于．
故选C．
3．电子跳蚤游戏盘（如图）为，如果电子跳蚤开始时在BC边的点，，第一步跳蚤从跳到AC边上点，且；第二步跳蚤从跳到AB边上点，且；第三步跳蚤从跳回到BC边上点，且；……跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与间的距离为（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【分析】
根据题意分别求出电子跳蚤每次跳后的位置，从而得到点P6与点P0重合，然后用2023除以6，根据余数是1可得P2023与P1重合，从而得解．
【详解】
解：∵BC=10，BP0=4，
∴CP0=6，
第一步，CP1=CP0=6，
∵AC=9，
∴AP1=9-6=3，
第二步，AP2=AP1=3，
∵AB=8，
∴BP2=5，
第三步，BP3=BP2=5，
依此类推，第四步，CP4=CP3=5，
第五步，AP5=AP4=4，
第六步，BP6=BP5=4，
此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点，
∵2023÷6=，
∴P2023与是第338循环组的第1步，与P1重合，
此时P4与P2023之间的距离是1．
故选：B．
4．已知整数、、、……满足下列条件：，，，，……，（n为正整数）依此类推，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，，n是偶数时，，然后把n的值代入进行计算即可得解．
【详解】
解：a1=-1，
a2=-|a1+1|=-|-1+1|=0，
a3=-|a2+2|=-|0+2|=-2，
a4=-|a3+3|=-|-2+3|=-1，
a5=-|a4+4|=-|-1+4|=-3，
a6=-|a5+4|=-|-3+5|=-2，
a7=-|a6+4|=-|-2+6|=-4
…，
所以，n是奇数时，，n是偶数时，，
a2019=（2019+1）=-1010，
故选：A．
5．我们可以用符号表示代数式，当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，；如果a为奇数，．例如：．设；依此规律进行下去，得到一列数：（n为正整数），则________．
【答案】11
【分析】
通过计算可以发现规律为：每7个数循环一次，再结合所求式子发现a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14=14-14=0，则可得到所求式子=a1+a1-a2+a3-a4，将所求的每一项代入即可．
【详解】
解：由题意可得，a1=6，a2=f（6）=3，a3=f（3）=16，a4=f（16）=8，a5=f（8）=4，a6=f（4）=2，a7=f（2）=1，a8=f（1）=6，…，
可以发现规律为：每7个数循环一次，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=6-3+16-8+4-2+1=14，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14=14-14=0，
∵2020÷14=144…4，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2019-a2020=a2017-a1018+a2019-a2020，
∵2017÷7=288…1，
∴a2017=a1，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2019-a2020
= a1-a2+a3-a4
=6-3+16-8
=11，
故答案为11．
6．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了2021cm时，它停在_____点．
【答案】F
【分析】
先通过观察发现：每移动8cm为一个循环组依次循环，则用2021除以8，根据商的余数情况，即可确定最后停留的位置．
【详解】
解：∵两个正方形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵2021÷8＝252……5，
∴移动2021cm时停在点F处．
故填：F．
7．是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：3的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…依此类推，则______．
【答案】4
【分析】
根据差倒数的定义分别求出a2、a3、a4…，发现每3个数为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商和余数的情况可以确定a2020的值．
【详解】
解：∵a1=4，
∴a2=，
∴a3==，
∴a4==4，
，
∴每3个数为一个循环组依次循环3，
∵2020÷3=，
∴a2020是第674循环组的第1个数，与a1相同，
∴a2020=4，
故答案为：4．
题组C 培优拔尖练
1．为了求 的值，可令，则，因此，所以.
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
仔细阅读题目中示例，找出其中规律，利用错位相减法求解．
【详解】
解：令
∴
∴
∴
∴
故选D
2．在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表.用这些简单的平方表，他们很快算出两数的乘积.例如：对于95×103，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2=99；第二步：（103-95）÷2=4；第三步：查平方表，知99的平方是9801；第四步：查平方表，知4的平方是16；第五步：9801-16=9785=95×103. 请结合以上实例，设两因数分别为a和 b,写出蕴含其中道理的整式运算（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题目中所给出的式子，整合计算，即可得出公式.
【详解】
故选D
3．如图，在平面直角坐标系上有一点，点A第一次向左跳动至点，第二次向右跳动至点，第三次向左跳动至点，第四次向右跳动至点，……以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
结合题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
…
∴，即
∴，即
故选：B．
4．下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ）
A．69B．73C．77D．83
【答案】B
【分析】
根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．
【详解】
解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），
第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，
第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，
第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，
第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，
……
第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73
第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1）
故选：B．
5．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
故选：B．
6．对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），…则的值为（ ）
A．4042B．4048C．4050D．10
【答案】A
【分析】
试着往下求出几个式子的值，发现结果成一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，用2021除以5得到一共有几组循环，余几，从而求出式子的和．
【详解】
解：根据题意，
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
……
这些数有一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，每组循环的数加起来等于10，
∵，
∴原式．
故选：A．
7．在一列数……中，已知，且当时，（符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
发现结果是一个循环，每4个数一个循环，
，
∴．
故选：B．
课程标准
课标解读
能按要求列出代数式，会求代数式的值；
掌握代数式的列法
1.理解代数式分类及定义
目标导航
知识精讲
知识点01 代数式
1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
【微点拨】
带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式.
【即学即练1】1．用代数式表示：a与b的的和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先表示b的，再表示与a的和．
【详解】
解：a与b的的和表示为：，
故选：A．
【即学即练2】2．一项工程甲单独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合作了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，得出乙单独做5天完成，进而得出两人合做了m天完成的工作量，再利用剩下的工作量由乙完成，表示出还需的天数．
【详解】
解：甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，
乙单独做5天完成，
两人合做了天未完成，
还剩工作量为：，
剩下的工作量由乙完成，还需的天数为：，
故选：B．
知识点02 列代数式
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
1.重点：用字母表示数·
2.比谁的几倍多（少）几的问题
3.比谁的几分之几多（少）几的问题
4.折扣问题：
例：八折是乘0.8，八五折是乘0.85
5.提价与降价问题：
例：一个商品原价a,先提价20%,在降价20%，即a（1+20%）（1-20%）
6.路程问题：
把握s=vt
7.出租车计费问题：
分类讨论思想，将总路程切割成不同的段(例：前三公里收费7元，之后每公里1.6元，公里数x，总费用y）
Y=7 x≤3
Y=
Y=1.6（x-3）+7 x＞3
8.已知各数位上的数字，表示数的问题：
9.字母乘10表示在十位上，乘100表示在百位上。
10.特定字母的意义：
C：周长 S：面积 V:体积 r：半径 d：直径
s：路程 t：时间 v：速度
n：正整数
【微点拨】
代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.
【即学即练3】3．某商品的批发价为a元，先提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后单价是（ ）元．
A．aB．C．D．
【答案】C
【分析】
原价提高10%后商品新单价为a（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为a（1+10%）（1-10%），由此解决问题即可．
【详解】
解：由题意得a（1+10%）（1-10%）=0.99a（元）．
故选：C．
【即学即练4】4．某超市出售一种商品，其原价为a元，现有四种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价25%．（4）先降价15%，再提价25%，针对以上调价方案，下列说法不正确的是（ ）
A．第三种方案最优惠B．四种方案的结果都恢复不了原价
C．前两种方案的优惠一样多D．四种方案优惠后都比原价低
【答案】D
【分析】
先求出四种调价方案的价格，再逐项判断即可得．
【详解】
调价方案（1）：（元），
调价方案（2）：（元），
调价方案（3）：（元），
调价方案（4）：（元），
A、最小，所以第三种方案最优惠，此项说法正确，不符题意；
B、四种方案的结果都不等于元，所以都恢复不了原价，此项说法正确，不符题意；
C、前两种方案的优惠一样多，此项说法正确，不符题意；
D、第四种方案的价格比原价高，此项说法不正确，符合题意；
故选：D．
能力拓展
考法01 代数式书写方法
（1）书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面。
（2）带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数。
如：乘a 写作：，不要写成a
（3）“×”号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的“×”通常简写成“•”，或省略不写；但数字与数字之间的“×”既不能写成“•”，也不能省略不写。
如： a的5倍，写作：5a 不要写成a 5；
a乘b ，写成ab 或ba；
4乘5，写作4×5，不能写成4•5，更不能写成45。
（4）“÷”号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式。
如：5除以a 写作，不要写成 ； c除以 d写作 ，不要写成
（5）带单位的代数式书写要求：用“+”“—”号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位。
如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a）本
（6）关于约定的写法：一些写法是约定俗成的，比如当数字与字母相乘，数字因数为1时，通常把1省略不写；“a与b的差”是指“a-b”，而不是“b-a”；“a、b的平方和”是指“a、b 两个数分别平方后相加的和”，即“a2+b2”，而不是“a+b2 ”；同样，“a、b的平方差”是指“a、 b两个数分别平方后相减的差”，即“a2-b2”，而不是“a-b2 ”，等等。
【典例1】下列式子中，符合代数式书写格式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据代数式的书写要求判断各项．
【详解】
解：选项A正确的书写格式是，
选项B的书写格式是正确的，
选项C正确的书写格式是5xy，
选项D正确的书写格式是-c.
故选：B．
考法02 单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，在确定单项式的系数和次数时要紧紧抓住此定义是解决问题的关键
误区一：把数字指数和字母指数混为一谈
误区二：把π当做字母
误区三：忽视“1”的省略
【典例2】单项式﹣2x3y的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
根据单项式的次数的定义即可求解．
【详解】
解:单项式﹣2x3y的次数是3+1=4．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．用代数式表示“a与b的平方差”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据代数式的意义列出即可．
【详解】
解：根据题意列得：a2-b2．
故选：A．
2．下列代数式属于二次三项式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【详解】
解：A. 是三次三项式，故此选项不合题意；
B. 不是多项式，故此选项不合题意；
C. 是二次三项式，故此选项符合题意；
D. 是三次三项式，故此选项不合题意；
故选：C．
3．代数式的意义是（ ）
A．m除以n减2B．除m
C．n与2的差除以mD．m除以n与2的差所得的商
【答案】D
【分析】
根据代数式的意义，表示m除以n与2的差所得的商．
【详解】
解：代数式表示m除以n与2的差所得的商，
故选：D．
4．若为自然数，则多项式的次数应当是（ ）
A．mB．nC．D．中较大的数
【答案】D
【分析】
由于多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，因为m，n均为自然数，而4m+n是常数项，所以多项式的次数应该是x，y的次数，由此可以确定选择项．
【详解】
解：∵多项式中每个单项式叫做多项式的项，
这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，
而4m+n是常数项，
∴多项式xm-yn-4m+n的次数应该是x，y中指数大的，
∴D是正确的．
故选：D．
5．代数式：，，，，，，0，，中，单项式和多项式分别有（ ）
A．3个，1个B．3个，2个C．4个，1个D．4个，2个
【答案】D
【分析】
根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】
解：单项式：-4，，0，，
多项式：，，
故选：D．
6．下列各式：，，，，，，．其中单项式的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】
根据单项式的概念即可判断．
【详解】
解：，，是单项式，
故选：B．
7．代数式：中，单项式和多项式分别有（ ）
A．3个，1个B．3个，2个C．4个，1个D．4个，2个
【答案】D
【分析】
根据单项式与多项式的概念即可求出答案．
【详解】
解：单项式：-4x，π，0，，
多项式为：，a2-b2，
故选：D．
题组B 能力提升练
1．我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对，其中，均不是3的倍数，但与的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有（ ）对．
A．1089B．1122C．2176D．2244
【答案】D
【分析】
先判断出只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，即可得出结论．
【详解】
解：从1到100这100个自然数中，除3余1的数为，除3余2的数为，为自然数），
而，
所以是3的倍数，
而，，
所以，以及不是3的倍数，
即：两个数的和是3的倍数，只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，
所以，是除3余1的数，必是除3余2的数或是除3余2的数，必是除3余1的数，
而从1到100这100个自然数中，除3余1的数有34个，除3余2的数有33个，
满足条件的有序数对共有对，
答案：．
2．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得的值即可．
【详解】
解：P1（1，-1）=（0，2），
P2（1，-1）=P1(P1)=P1(0，2)=（2，-2），
P3（1，-1）=P1（P2）=P1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P4（1，-1）=P1（P3）=P1（0，4）=（4，-4），
P5（1，-1）=P1（P4）=P1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P6（1，-1）=P1（P5）=P1（0，8）=（8，-8），
…
当n为奇数时，Pn（1，-1）=（0，），
∴=（0, ）=（0，21011），
应该等于．
故选C．
3．电子跳蚤游戏盘（如图）为，如果电子跳蚤开始时在BC边的点，，第一步跳蚤从跳到AC边上点，且；第二步跳蚤从跳到AB边上点，且；第三步跳蚤从跳回到BC边上点，且；……跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与间的距离为（ ）
A．0B．1C．4D．5
【答案】B
【分析】
根据题意分别求出电子跳蚤每次跳后的位置，从而得到点P6与点P0重合，然后用2023除以6，根据余数是1可得P2023与P1重合，从而得解．
【详解】
解：∵BC=10，BP0=4，
∴CP0=6，
第一步，CP1=CP0=6，
∵AC=9，
∴AP1=9-6=3，
第二步，AP2=AP1=3，
∵AB=8，
∴BP2=5，
第三步，BP3=BP2=5，
依此类推，第四步，CP4=CP3=5，
第五步，AP5=AP4=4，
第六步，BP6=BP5=4，
此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点，
∵2023÷6=，
∴P2023与是第338循环组的第1步，与P1重合，
此时P4与P2023之间的距离是1．
故选：B．
4．已知整数、、、……满足下列条件：，，，，……，（n为正整数）依此类推，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，，n是偶数时，，然后把n的值代入进行计算即可得解．
【详解】
解：a1=-1，
a2=-|a1+1|=-|-1+1|=0，
a3=-|a2+2|=-|0+2|=-2，
a4=-|a3+3|=-|-2+3|=-1，
a5=-|a4+4|=-|-1+4|=-3，
a6=-|a5+4|=-|-3+5|=-2，
a7=-|a6+4|=-|-2+6|=-4
…，
所以，n是奇数时，，n是偶数时，，
a2019=（2019+1）=-1010，
故选：A．
5．我们可以用符号表示代数式，当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，；如果a为奇数，．例如：．设；依此规律进行下去，得到一列数：（n为正整数），则________．
【答案】11
【分析】
通过计算可以发现规律为：每7个数循环一次，再结合所求式子发现a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14=14-14=0，则可得到所求式子=a1+a1-a2+a3-a4，将所求的每一项代入即可．
【详解】
解：由题意可得，a1=6，a2=f（6）=3，a3=f（3）=16，a4=f（16）=8，a5=f（8）=4，a6=f（4）=2，a7=f（2）=1，a8=f（1）=6，…，
可以发现规律为：每7个数循环一次，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=6-3+16-8+4-2+1=14，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14=14-14=0，
∵2020÷14=144…4，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2019-a2020=a2017-a1018+a2019-a2020，
∵2017÷7=288…1，
∴a2017=a1，
∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2019-a2020
= a1-a2+a3-a4
=6-3+16-8
=11，
故答案为11．
6．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了2021cm时，它停在_____点．
【答案】F
【分析】
先通过观察发现：每移动8cm为一个循环组依次循环，则用2021除以8，根据商的余数情况，即可确定最后停留的位置．
【详解】
解：∵两个正方形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵2021÷8＝252……5，
∴移动2021cm时停在点F处．
故填：F．
7．是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：3的差倒数是的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…依此类推，则______．
【答案】4
【分析】
根据差倒数的定义分别求出a2、a3、a4…，发现每3个数为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商和余数的情况可以确定a2020的值．
【详解】
解：∵a1=4，
∴a2=，
∴a3==，
∴a4==4，
，
∴每3个数为一个循环组依次循环3，
∵2020÷3=，
∴a2020是第674循环组的第1个数，与a1相同，
∴a2020=4，
故答案为：4．
题组C 培优拔尖练
1．为了求 的值，可令，则，因此，所以.
请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
仔细阅读题目中示例，找出其中规律，利用错位相减法求解．
【详解】
解：令
∴
∴
∴
∴
故选D
2．在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表.用这些简单的平方表，他们很快算出两数的乘积.例如：对于95×103，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2=99；第二步：（103-95）÷2=4；第三步：查平方表，知99的平方是9801；第四步：查平方表，知4的平方是16；第五步：9801-16=9785=95×103. 请结合以上实例，设两因数分别为a和 b,写出蕴含其中道理的整式运算（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题目中所给出的式子，整合计算，即可得出公式.
【详解】
故选D
3．如图，在平面直角坐标系上有一点，点A第一次向左跳动至点，第二次向右跳动至点，第三次向左跳动至点，第四次向右跳动至点，……以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
结合题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
…
∴，即
∴，即
故选：B．
4．下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ）
A．69B．73C．77D．83
【答案】B
【分析】
根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．
【详解】
解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），
第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，
第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，
第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，
第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，
……
第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73
第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1）
故选：B．
5．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
故选：B．
6．对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），…则的值为（ ）
A．4042B．4048C．4050D．10
【答案】A
【分析】
试着往下求出几个式子的值，发现结果成一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，用2021除以5得到一共有几组循环，余几，从而求出式子的和．
【详解】
解：根据题意，
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
（的末位数字），
……
这些数有一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，每组循环的数加起来等于10，
∵，
∴原式．
故选：A．
7．在一列数……中，已知，且当时，（符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
发现结果是一个循环，每4个数一个循环，
，
∴．
故选：B．
课程标准
课标解读
能按要求列出代数式，会求代数式的值；
掌握代数式的列法
1.理解代数式分类及定义
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