高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置第1课时导学案，共21页。


在平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离(如图所示)．
通过前面的学习，已经知道，借助平面直角坐标系，平面内的直线l与圆C可以分别用方程表示．那么，由直线l与圆C的方程，如何判断它们的位置关系呢？
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系．
(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离．
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
A [圆心到直线的距离d＝532+42＝1<4，所以直线与圆相交，故选A．]
2．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
0或3 [直线l的一般式方程为kx－y＋3k＝0，圆C的圆心为(0，1)，半径为1，
由直线l与圆C相切得-1+3kk2+1＝1，解得k＝0或3．]
类型1 直线与圆的位置关系的判定
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0时，
即m>0或m<－43时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点．
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点．
(3)当Δ<0时，即－43即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝2m-1-m-11+m2＝m-21+m2.
(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点．
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当d>2时，即－43即直线与圆没有公共点．
判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
提示：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac，Δ＞0⇔相交；Δ=0⇔相切；Δ＜0⇔相离．
[跟进训练]
1．(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)设m>0，则直线l：2(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
(1)A (2)C [(1)将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)圆心到直线l的距离为d＝1+m2，圆的半径为r＝m，∵d－r＝1+m2－m＝12(m－2m＋1)＝12(m－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．]
类型2 直线与圆的相切问题
【例2】 若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
[解] ∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．
法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∵直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，∵5-kk2+1＝1，∴k＝125.
∴直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
法二：①若直线l的斜率存在，
设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，
∴k＝125.此时直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
∴直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
[母题探究]
1．在本例条件下，求此切线长．
[解] 点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为2-12+3+22＝26，
∴切线长为26-1＝5.
2．若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，求直线l的方程．
[解] ∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．
∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，
即直线l的方程为x＝2.
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
③过圆外一点的切线有两条．
提醒：注意切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．(1)(2022·南京市调研)经过点M(2，6)，且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为________．
(2)经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为________．
(1)2x＋6y－10＝0 (2)x＝4或21x－20y＋16＝0
[(1)法一：因为22＋(6)2＝10，
所以点M在圆x2＋y2＝10上，
由题意可知圆心C的坐标为(0，0)，
则直线CM的斜率kCM＝62.
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率k＝－26.
故经过点M的切线方程为y－6＝－26(x－2)，
整理得2x＋6y－10＝0.
法二：显然点M(2，6)在圆x2＋y2＝10上，因为过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故所求切线方程为2x＋6y＝10，即2x＋6y－10＝0.
(2)因为(4－2)2＋52＝29>4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外．
法一：若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为y－5＝k(x－4)，
即kx－y＋5－4k＝0.
又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，
所以2k-0+5-4kk2+1＝2，解得k＝2120，
所以直线的方程为21x－20y＋16＝0.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为x＝4，显然满足题意．
综上可知，满足题意的直线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.
法二：设所求切线方程为(x0－2)(x－2)＋y0y＝4，其中(x0，y0)是圆上的切点，
将(4，5)代入后，得2(x0－2)＋5y0＝4.
由2x0-2+5y0=4，x0-22+y02=4，
解得x0=4，y0=0 或x0=1629 ，y0=4029 .
故所求切线方程为x＝4或21x－20y＋16＝0．]
类型3 直线与圆相交问题
【例3】 (源自人教B版教材)已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝9相交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)求线段AB中点的坐标．
[解] (1)法一：如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理可知OM⊥AB，因此△AMO是个直角三角形．
由点到直线的距离公式可知|OM|＝212+12＝2，
又OA是圆的半径，因此|OA|＝9＝3，
从而在Rt△AMO中，有|AM|＝OA2-OM2＝32-22＝7.
因此|AB|＝2|AM|＝27.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)都是直线x＋y＋2＝0上的点，所以x1+y1+2=0，x2+y2+2=0，
第二式减去第一式可得x2－x1＋y2－y1＝0，因此y2－y1＝－(x2－x1)，
从而|AB|2＝(x2－x1)2＋[－(x2－x1)]2＝2(x2－x1)2.
又因为从方程组x+y+2=0，x2+y2=9
中消去y，整理可得2x2＋4x－5＝0，而且x1，x2是这个方程的两个根，
因此由根与系数的关系可知
x1+x2=-42 =-2，x1x2=-52=-52，
所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(－2)2－4×-52＝14，
因此|AB|2＝2×14＝28，从而可知|AB|＝27.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则
x0＝x1+x22，y0＝y1+y22.
由(1)中的法二可知
x0＝x1+x22＝-22＝－1，
又因为直线l的方程可以化为y＝－x－2，
所以y0＝y1+y22＝-x1-2+-x2-22＝－x1+x22－2＝－(－1)－2＝－1，
因此所求中点坐标为(－1，－1)．
1．求圆的弦长的两种方法
(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理d2＋l22＝r2求解，这是常用解法；
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．
2．利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．
[跟进训练]
3．过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
[解] 将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝
252-822＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为
y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，
得3＝-k-2+4k1+k2，
解得k＝－512，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
B [∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离
d＝0-0+12＝22<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0，0)不在y＝x＋1上，
∴直线不过圆心．]
2．已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
C [由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解得a＝3．]
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．
x－3y＋2＝0 [由题意点P在圆上且P为切点．
∵点P与圆心(2，0)连线的斜率为3-01-2＝－3，
∴切线的斜率为33，
∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0．]
4．圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为22的圆的方程为________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝4 [设圆的半径为r，由条件，
得圆心到直线y＝x－1的距离d＝2+1-12＝2.又由题意知，半弦长为2，
∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
提示：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
提示：(1)点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程．
(2)点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况．
3．直线和圆相交时，如何求弦长？
提示：(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系12l2＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
课时分层作业(二十一) 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．直线l：y＝k(x－1)＋1和圆x2＋y2－2x＝0的位置关系为( )
A．相交 B．相切或相交
C．相离 D．相切
A [由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为1.因为圆心(0，1)到直线l：y＝k(x－1)＋1的距离d＝-k-1+1k2+1＝kk2+1<1，所以直线l：y＝k(x－1)＋1和圆x2＋y2－2y＝0相交．]
2．(多选)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－12 B．－2 C．2 D．12
CD [圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为7-b5＝1，得b＝2或b＝12，故选CD．]
3．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．10 B．32 C．26 D．22
A [由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为a+12+b-22，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为a+12+b-22-8＝2a-22+10，当a＝2时，所求的切线长取得最小值，为10，故选A．]
4．过点(0，2)作与圆x2＋y2－2x＝0相切的直线l，则直线l的方程为( )
A．3x－4y＋8＝0
B．3x＋4y－8＝0
C．x＝0或3x＋4y－8＝0
D．x＝0或3x－4y－8＝0
C [圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径r为1，
当直线l的斜率不存在时，直线x＝0到圆心的距离为1，与圆相切成立；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
由直线l与圆相切得k+2k2+1＝1，解得k＝－34，
此时直线l的方程为y＝－34x＋2，化为一般式即3x＋4y－8＝0，故选C．]
5．已知直线l：4x－3y＋a＝0，圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是( )
A．当－10B．当a＝10时，直线l与圆C相交
C．当a＝－10时，直线l与圆C相交
D．当a>10或a<－10时，直线l与圆C相交
A [法一：联立得4x-3y+a=0，x2+y2=4， 消去y，得25x2＋8ax＋a2－36＝0.
Δ＝(8a)2－4×25×(a2－36)＝－36(a2－100)．
当－100，直线l与圆C相交，故A正确；令Δ＝0，得a＝10或a＝－10，此时直线l与圆C相切，故B、C错误；令Δ<0，得a>10或a<－10，此时直线l与圆C相离，故D错误．故选A．
法二：圆x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径r＝2，则圆心到直线4x－3y＋a＝0的距离d＝a42+-32＝a5.当直线l与圆相交时，dr，解得a>10或a<－10.故选A．]
二、填空题
6．(2022·杭州市段考)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0与直线x＋y－8＝0的位置关系是________，圆上的点到直线的最大距离是________．
相交 52 [由题意得，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，
则圆的半径r＝32，圆心(2，2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝2+2-812+12＝22<32，故直线与圆相交，
且圆上的点到直线的最大距离是32＋22＝52．]
7．(2022·广东广州期中)直线y＝kx＋3被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长的最小值是________．
2 [直线y＝kx＋3经过定点(0，3)，设定点为A，因为(0－1)2＋(3)2＝4<5，所以定点A在圆内．圆(x－1)2＋y2＝5的圆心坐标为(1，0)，设为点C，半径r＝5，因为|AC|＝(0－1)2＋(3－0)2＝2，且当直线y＝kx＋3与AC垂直时，弦长最小，所以最小弦长为25-4＝2．]
8．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________，此时切线长为________．
x＝2或3x－4y＋10＝0 4 [由22＋42＝20>4，得点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，
∴-2k+41+k2＝2，解得k＝34.
故所求切线方程为3x－4y＋10＝0.
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．
此时切线长为P点的纵坐标4.
故直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2．]
三、解答题
9．从下面三个条件中任选两个，根据你选择的条件确定直线l，并判断直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝4的位置关系．
①直线l过点(－2，0)；②直线l的斜率为33；③直线l在x轴和y轴上的截距相等．
[解] 方案一：选择条件①②.
由题意知直线l的方程为y＝33(x＋2)，即x－3y＋2＝0，圆C的圆心为C(2，0)，半径为r＝2.
所以圆心C到直线l的距离d＝2-0+21+3＝2，
因为d＝r，所以直线l与圆C相切．
方案二：选择条件①③.
由题意知直线l在x轴和y轴上的截距都为－2，
所以直线l的方程为x-2＋y-2＝1，即x＋y＋2＝0.
易知圆C的圆心为C(2，0)，半径为r＝2，
所以圆心C到直线l的距离d＝2+0+21+1＝22.
因为d>r，所以直线l与圆C相离．
方案三：选择条件②③.
由题意知直线l必过原点，
所以直线l的方程为y＝33x，即x－3y＝0.
易知圆C的圆心为C(2，0)，半径为r＝2，
所以圆心C到直线l的距离d＝2-01+3＝1.
因为d10．(多选)(2022·广东汕头期中)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列命题正确的是( )
A．直线l过定点(3，1)
B．圆C被y轴截得的弦长为46
C．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为2x－y－5＝0
D．直线l与圆C一定相交
ABD [直线l的方程可化为m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由2x+y-7=0，x+y-4=0，得x=3，y=1，所以直线l过定点(3，1)，故A正确；在圆的方程中，令x＝0，得1＋(y－2)2＝25，从而y＝2±26，所以圆C被y轴截得的弦长为46，故B正确；直线l被圆截得的弦长最长时，直线l过圆心(1，2)，从而m＝－13，此时直线方程为13x＋23y－53＝0，即x＋2y－5＝0，故C错误；因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以(3，1)在圆内，直线l与圆C一定相交，故D正确．故选ABD．]
11．已知曲线y＝1＋4-x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A．34，+∞ B．-34，-512
C．512，+∞ D．512，34
D [曲线y＝1＋4-x2可化为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，所以y＝1＋4-x2表示以(0，1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，直线y＝k(x－2)＋4恒过定点(2，4)，设为A，可得图象如图所示．
当直线y＝k(x－2)＋4为圆的切线时，可得圆心到直线的距离d＝3-2kk2+1＝2，解得k＝512；当直线y＝k(x－2)＋4过点B(－2，1)时，k＝4-12+2＝34.由图象可知，当y＝k(x－2)＋4与曲线有两个不同交点时，51212．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
ABD [对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，
∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．
对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
综上故选ABD．]
13．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)的圆的方程是________．
x-122＋y-122＝12 [设圆心坐标为C(a，b)．
∵圆心在直线y＝－x＋1上，
∴b＝－a＋1.
又∵圆与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)，
则CP⊥l.
∴kCP＝1-b1-a＝1--a+11-a＝a1-a＝1.
解得a＝12.
∴b＝－a＋1＝12.∴圆心C12，12.
圆的半径r＝|CP|＝1-122+1-122＝22.
∴圆的方程为x-122＋y-122＝12．]
14．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为r，
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以r＝-1+4+75＝25，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程为x＝－2，
此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，因为Q是MN的中点，
所以AQ⊥MN，
所以|AQ|2＋12MN2＝r2，
又因为|MN|＝219，r＝25，
所以|AQ|＝20-19＝1，
解方程|AQ|＝k-2k2+1＝1，得k＝34，
所以此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
15．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为23.
(1)求圆C的方程；
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标．
[解] (1)设圆心(a，0)(a>0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝4a-35，
由题意可得，d2＋(3)2＝22，
即4a-3225＋3＝4，
解得a＝2或a＝－12(舍去)．
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)证明：∵P是直线x＋y＋4＝0上一点，
设P(m，－m－4)，
∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，
即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆．
设圆上任一点Q(x，y)，则PQ·CQ＝0，
∵PQ＝(x－m，y＋m＋4)，CQ＝(x－2，y)，
∴PQ·CQ＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
令x2+y2-2x+4y=0，-x+y+2=0
解得x=-1，y=-3 或x=2，y=0.
∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0)．
学习任务
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象)
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算)
3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝Aa+Bb+CA2+B2
d＜r
d＝r
d＞r
判定方法
代数法：由
Ax+By+C=0， x-a2+y-b2=r2
消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0