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专题18 三角形基础（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）
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这是一份专题18 三角形基础（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共35页。试卷主要包含了三角形有关概念，三角形的分类，三角形的三边关系，三角形的高，三角形的稳定性，三角形的内角，三角形的外角，直角三角形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。
一、三角形有关概念
1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
2．三角形的基本元素：
（1）三角形的三条边：即组成三角形的线段．
（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角．
（3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点．
3．三角形的特征：
（1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形．
4．三角形的符号：
三角形用符号“△”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
二、三角形的分类
1．按边分类：
2．按角分类：
【注意】三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
三、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边．
推论：三角形任意两边之差小于第三边．
四、三角形的高、中线、角平分线
五、三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
六、三角形的内角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【拓展】
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
八、直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的两个锐角互余．
2．有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
九、多边形及其内角和
1．多边形及其相关概念
（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形．
（2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的对角线
（1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）规律总结：
①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．
②n边形共有条对角线．
3．凸多边形与正多边形
（1）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形．
（2）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
4．多边形内角和定理：
边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为．
5．多边形的外角和定理：
（1）多边形的外角和为．
（2）外角和定理的应用：
①已知外角的度数求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数求外角的度数．
吃透考点
一、三角形的概念
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
三角形特性
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”．
2．三角形按边分类：
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等．
3．三角形的三边关系
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）．
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a．
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b．
二、三角形中的重要线段和有关的角
1．三角形的高概念
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
2．三角形的中线概念
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
3．三角形的角平分线概念
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
4．三角形的内角和定理
三角形三个内角和等于180°．
推论：
①直角三角形的两个锐角互余．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和．
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
5．三角形的外角和定理
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
考点1 三角形
【例1】（2022•迁安市一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【解答】解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；
故选：．
【变式练1】（2022秋•泰山区校级月考） 叫做三角形
A．连接任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
【分析】三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
【解答】解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：．
【变式练2】（2021•福清市校级模拟）在中，建立适当的坐标系后，其三个顶点的坐标分别为，，，则三角形是 等腰直角 三角形．
【答案】等腰直角．
【分析】根据题意画出图形，过作与，根据三个顶点的坐标求得，进而求得，，即可得到是等腰直角三角形．
【解答】解：如图所示：过作与，
，
，，，
点的坐标为，
，，，
，
，，
，
故答案为：等腰直角．
【变式练3】（2012•湛江模拟）如图，点、、、是直线上的四点．已知点是直线外的一点．则图中的线段有 10 条，三角形有 个．
【分析】线段上有4个点，可以与点组成个三角形；线段上有4个点，那么有条线段，点与线段上的4个点可以连接4条线段．
【解答】解：线段与点组成的三角形的个数：；
线段上有4个点，那么有该线段上的线段的条数是：，点与线段上的4个点可以连接4条线段，
故图中的线段的条数是；
故答案为：10；6．
【变式练4】（2020•定兴县一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能
【答案】
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从题中可知，只看到一个角是钝角．
所以这个三角形为钝角三角形．
故选：．
【变式练5】（2017•鱼峰区校级模拟）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为，则它的最短边长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设大小处于中间的边长是，则最大的边是，最小的边长是，根据三角形的周长即可求得，进而求解．
【解答】解：设大小处于中间的边长是，则最大的边是，最小的边长是．
则，
解得：，
则最短的边长是：．
故选：．
考点2 三角形的角平分线、中线和高
【例2】（2023•路北区二模）如图所示在中，边上的高线画法正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在中，边上的高线画法正确的是，
故选：．
【变式练1】（2023•三门峡二模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为
A．B．C．D．4
【答案】
【分析】由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【解答】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故选：．
【变式练2】（2023•石家庄二模）如图，在中，边上的高是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形高的定义即可得出答案．
【解答】解：，
在中，边上的高是．
故选：．
【变式练3】（2023•梁山县二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：，，分别是的高、角平分线、中线，
，，，无法确定．
故选：．
【变式练4】（2023•南皮县校级一模）画的边上的高，正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【解答】解：．此图形中是边上的高，符合题意；
．此图形中不是边上的高，不符合题意；
．此图形中是边上的高，不符合题意；
．此图形中不是边上的高，不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•临平区校级二模）如图，是的中线，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解答】解：是的中线，
，
故选：．
考点3 三角形的面积
【例3】（2023•合阳县二模）如图，是矩形的对角线，延长至，使得，连接，若矩形的面积为20，则的面积为
A．16B．14C．12D．10
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•榆阳区校级二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为
A．5B．3C．4D．6
【答案】
【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：为的中线，
，
的面积为5，
，
为的高线，，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•长汀县模拟）如图，将直角 的边沿边的方向平移到的位置，连结，，若，，，，则的面积为
A．B．C．6D．3
【答案】
【分析】由平移可知平行且等于，则四边形为平行四边形，所以，，，在与利用三角函数求及的长，进而求的面积．
【解答】解：，，，
，
由平移得且（依据：平移的性质），
四边形 是平行四边形，
，，，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•梅州一模）如图，的面积为30，，为的中点，则的面积等于
A．15B．12C．10D．9
【答案】
【分析】根据三角形面积公式，两三角形同高，则它们的面积比等于对应底边比，进而求得答案．
【解答】解：在和中，边与上的高相同，，
根据三角形的面积公式，．
同理，在和中，边与上的高相同，为的中点，
，根据三角形的面积公式，．
故选：．
【变式练4】（2023•鄞州区校级模拟）如图，，分别为的中线和高，，已知，，则面积为
A．5B．10C．15D．20
【分析】由等腰三角形的性质可求出的长，进而可求出的面积，再根据等底同高的三角形面积相等即可求出的面积，继而可求出的面积．
【解答】解：，，
，
，
，
的面积，
是的中线，
，
，
的面积．
故选：．
【变式练5】（2023•乌当区模拟）如图，在中，是的中点，连接，过作，交于，已知，，则的长是
A．B．1C．D．2
【答案】
【分析】由与等底等高，间接得知两者面积相等，再根据三角形面积公式即可求出高．
【解答】解：是的中点，
（等底等高），
又，即，
．
故选：．
考点4 三角形的稳定性
【例4】（2023•兴宁区校级模拟）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是
A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为D．垂线段最短
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【解答】解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上．
故选：．
【变式练1】（2023•张湾区模拟）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．三角形具有稳定性
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：．
【变式练2】（2023•浑江区一模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：．
【变式练3】（2023•南海区校级三模）下列图形中有稳定性的是
A．平行四边形B．三角形C．长方形D．正方形
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：．
【变式练4】（2023•南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．
【解答】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
故答案选：．
【变式练5】（2022•东莞市校级一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是
A．两点之间线段最短B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：．
考点5 三角形的重心
【例5】（2023•青浦区一模）三角形的重心是
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：．
【变式练1】（2023•盐都区一模）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则 4 ．
【答案】4．
【分析】根据三角形的重心的性质解答即可．
【解答】解：点为的重心，
，
故答案为：4．
【变式练2】（2023•泗洪县模拟）如图，在中，，点是的重心，，则长为 6 ．
【分析】延长交于，如图，根据三角形重心的定义和性质得到为斜边上的中线，，则可求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质确定的长．
【解答】解：延长交于，如图，
点是的重心，
为斜边上的中线，，
，
，
．
故答案为6．
【变式练3】（2023春•普陀区校级期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是 ．
【分析】延长交于，如图，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】解：延长交于，如图，
点为的重心，
为边上的中线，，
，
，
，，
，
，
即三角形的重心到点的距离是．
故答案为．
【变式练4】（2019秋•海陵区校级期末）如图，半圆的直径，为半圆上一动点，点为的重心．则的长为 3 ．
【分析】根据圆周角定理和重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为即可求解．
【解答】解：连接，
半圆的直径，
，
点为的重心，
经过，
．
故答案为：3．
【变式练5】（2023•偃师市模拟）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到，推出得到，由相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：点是的重心，
，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
．
故选：．
考点6 三角形三边关系
【例6】（2023•茂南区三模）从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是
A．1，3，5B．1，3，7C．1，5，7D．3，5，7
【答案】
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：、，三条线段不能围成三角形，故不符合题意；
、，三条线段不能围成三角形，故不符合题意；
、，三条线段不能围成三角形，故不符合题意；
、，三条线段能围成三角形，故符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•衢江区三模）已知一个三角形的两边长分别为1和2，则第三边的长可以是
A．1B．2C．3D．3.5
【答案】
【分析】设第三边的长为，再根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：设第三边的长为，则，
即，
所以只有2适合，
故选：．
【变式练2】（2023•武安市一模）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】
【分析】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【解答】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故选：．
【变式练3】（2023•淳安县一模）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系求出第三根木棍的长的范围，判断即可．
【解答】解：设第三根木棍的长为，
则，即，
第三根木棍不可能取，
故选：．
【变式练4】（2023•兴义市校级模拟）为了估计池塘两岸、间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，，直接利用三角形的三边关系求解即可求得的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：，，
，
即，
间的距离不可能是：．
故选：．
【变式练5】（2023•任丘市三模）有四根长度分别为2，4，5，为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长
A．最小值是8B．最小值是9C．最大值是13D．最大值是14
【答案】
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可得到答案．
【解答】解：根据题意可得：2、4、，4、5、，2、4、5，2、5、都能组成三角形，
，，，
即，，，
，
为正整数，
取4或5，
要组成的三角形的周长最小，即时，三边为2，4，4，其最小周长为，
要组成的三角形周长最大，即时，三边为4，5，5，其最大周长为，
故选：．
考点7 三角形内角和定理
【例7】（2023•雁塔区校级模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的大小是（ ）
A．10°B．15°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可得∠BAC＝45°，根据邻补角互补可得∠EAF＝135°，然后再利用三角形的外角的性质可得∠AFD＝135°+30°＝165°．即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠AFD＝135°+30°＝165°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°
故选：B．
【变式练1】（2023•未央区校级模拟）如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】在中，先根据角平分线的定义求出的度数，再根据是的高线可得出的度数，进而可得出结论．
【解答】解：在中，
，，是的角平分线，
．
是的高线，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•大连模拟）如图，直线，为的三等分线，，，则的度数为
A．B．C．或D．或
【答案】
【分析】由得到，，分为的三等分线且和为的三等分线且两种情况求解即可．
【解答】解：如图，
，
，，
当为的三等分线且时，，
是的外角，
，
当为的三等分线且时，，
是的外角，
，
综上，的度数为或，
故选：．
【变式练3】（2023•长岭县模拟）一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数小，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用普吉岛定义，构建方程组即可解决问题．
【解答】解：由题意
解得．
故选：．
【变式练4】（2023•婺城区模拟）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【变式练5】（2023•碑林区校级模拟）如图，在中，，，．若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先根据在直角三角形中，两锐角互余得出，根据，，得到，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数．
【解答】解：中，，，
，
，，
，
，
故选：．
考点8 三角形的外角性质
【例8】（2023•曲靖一模）是的平分线，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：是的平分线，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•池州模拟）将直角三角板和直角三角板按如图方式摆放（直角顶点重合），已知，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解，，
，
在中，
，，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•旌阳区一模）如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义求出，根据补角的概念求出，根据平行线的性质求出，再根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：平分，，
，
，
，
，
是的一个外角，，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•前郭县一模）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：由三角形外角性质，可得：，
故选：．
【变式练4】（2023•鞍山二模）如图，、相交于点，连接、．下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：，故正确，错误；
，故、错误；
故选：．
【变式练5】（2022秋•海珠区校级期末）如图，在中，平分，，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义以及三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：在中，平分，，，
，
，
，
故选：．
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
定义
如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．
如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言
∵是的高，
∴，
（或）．
∵是的中线，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
用途举例
（1）得到线段垂直；
（2）得到角相等．
（1）得到线段相等；
（2）得到面积相等．
得到角相等．
线段在图中的位置
锐角三角形
三条高全在三角形内．
三条中线全在三角形内．
三条角平分线全在三角形内．
直角三角形
三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形
三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置
锐角三角形
交点在三角形内．
三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）．
交点在三角形内．
直角三角形
交点在直角顶点处．
钝角三角形
交点在三角形外．
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
方
法
技
巧
点
拨
1．三角形三边之间关系的应用：
①在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形．
②已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是．
2．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．
（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．
（2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．
一、三角形有关概念
1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
2．三角形的基本元素：
（1）三角形的三条边：即组成三角形的线段．
（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角．
（3）三角形的顶点：即相邻两边的公共端点．
3．三角形的特征：
（1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形．
4．三角形的符号：
三角形用符号“△”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
二、三角形的分类
1．按边分类：
2．按角分类：
【注意】三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
三、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边．
推论：三角形任意两边之差小于第三边．
四、三角形的高、中线、角平分线
五、三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
六、三角形的内角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【拓展】
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
八、直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的两个锐角互余．
2．有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
九、多边形及其内角和
1．多边形及其相关概念
（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由条线段组成，那么这个多边形就叫做边形．
（2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的对角线
（1）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）规律总结：
①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．
②n边形共有条对角线．
3．凸多边形与正多边形
（1）凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形．
（2）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
4．多边形内角和定理：
边形内角和等于．正多边形的每个内角的度数为．
5．多边形的外角和定理：
（1）多边形的外角和为．
（2）外角和定理的应用：
①已知外角的度数求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数求外角的度数．
吃透考点
一、三角形的概念
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
三角形特性
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”．
2．三角形按边分类：
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等．
3．三角形的三边关系
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）．
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a．
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b．
二、三角形中的重要线段和有关的角
1．三角形的高概念
从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
2．三角形的中线概念
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
3．三角形的角平分线概念
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
4．三角形的内角和定理
三角形三个内角和等于180°．
推论：
①直角三角形的两个锐角互余．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和．
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
5．三角形的外角和定理
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
考点1 三角形
【例1】（2022•迁安市一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【解答】解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；
故选：．
【变式练1】（2022秋•泰山区校级月考） 叫做三角形
A．连接任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
【分析】三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
【解答】解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：．
【变式练2】（2021•福清市校级模拟）在中，建立适当的坐标系后，其三个顶点的坐标分别为，，，则三角形是 等腰直角 三角形．
【答案】等腰直角．
【分析】根据题意画出图形，过作与，根据三个顶点的坐标求得，进而求得，，即可得到是等腰直角三角形．
【解答】解：如图所示：过作与，
，
，，，
点的坐标为，
，，，
，
，，
，
故答案为：等腰直角．
【变式练3】（2012•湛江模拟）如图，点、、、是直线上的四点．已知点是直线外的一点．则图中的线段有 10 条，三角形有 个．
【分析】线段上有4个点，可以与点组成个三角形；线段上有4个点，那么有条线段，点与线段上的4个点可以连接4条线段．
【解答】解：线段与点组成的三角形的个数：；
线段上有4个点，那么有该线段上的线段的条数是：，点与线段上的4个点可以连接4条线段，
故图中的线段的条数是；
故答案为：10；6．
【变式练4】（2020•定兴县一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能
【答案】
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从题中可知，只看到一个角是钝角．
所以这个三角形为钝角三角形．
故选：．
【变式练5】（2017•鱼峰区校级模拟）已知三角形的三边长为连续整数，且周长为，则它的最短边长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设大小处于中间的边长是，则最大的边是，最小的边长是，根据三角形的周长即可求得，进而求解．
【解答】解：设大小处于中间的边长是，则最大的边是，最小的边长是．
则，
解得：，
则最短的边长是：．
故选：．
考点2 三角形的角平分线、中线和高
【例2】（2023•路北区二模）如图所示在中，边上的高线画法正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在中，边上的高线画法正确的是，
故选：．
【变式练1】（2023•三门峡二模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为
A．B．C．D．4
【答案】
【分析】由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【解答】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故选：．
【变式练2】（2023•石家庄二模）如图，在中，边上的高是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形高的定义即可得出答案．
【解答】解：，
在中，边上的高是．
故选：．
【变式练3】（2023•梁山县二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：，，分别是的高、角平分线、中线，
，，，无法确定．
故选：．
【变式练4】（2023•南皮县校级一模）画的边上的高，正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【解答】解：．此图形中是边上的高，符合题意；
．此图形中不是边上的高，不符合题意；
．此图形中是边上的高，不符合题意；
．此图形中不是边上的高，不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•临平区校级二模）如图，是的中线，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．
【解答】解：是的中线，
，
故选：．
考点3 三角形的面积
【例3】（2023•合阳县二模）如图，是矩形的对角线，延长至，使得，连接，若矩形的面积为20，则的面积为
A．16B．14C．12D．10
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•榆阳区校级二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为
A．5B．3C．4D．6
【答案】
【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：为的中线，
，
的面积为5，
，
为的高线，，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•长汀县模拟）如图，将直角 的边沿边的方向平移到的位置，连结，，若，，，，则的面积为
A．B．C．6D．3
【答案】
【分析】由平移可知平行且等于，则四边形为平行四边形，所以，，，在与利用三角函数求及的长，进而求的面积．
【解答】解：，，，
，
由平移得且（依据：平移的性质），
四边形 是平行四边形，
，，，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•梅州一模）如图，的面积为30，，为的中点，则的面积等于
A．15B．12C．10D．9
【答案】
【分析】根据三角形面积公式，两三角形同高，则它们的面积比等于对应底边比，进而求得答案．
【解答】解：在和中，边与上的高相同，，
根据三角形的面积公式，．
同理，在和中，边与上的高相同，为的中点，
，根据三角形的面积公式，．
故选：．
【变式练4】（2023•鄞州区校级模拟）如图，，分别为的中线和高，，已知，，则面积为
A．5B．10C．15D．20
【分析】由等腰三角形的性质可求出的长，进而可求出的面积，再根据等底同高的三角形面积相等即可求出的面积，继而可求出的面积．
【解答】解：，，
，
，
，
的面积，
是的中线，
，
，
的面积．
故选：．
【变式练5】（2023•乌当区模拟）如图，在中，是的中点，连接，过作，交于，已知，，则的长是
A．B．1C．D．2
【答案】
【分析】由与等底等高，间接得知两者面积相等，再根据三角形面积公式即可求出高．
【解答】解：是的中点，
（等底等高），
又，即，
．
故选：．
考点4 三角形的稳定性
【例4】（2023•兴宁区校级模拟）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是
A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为D．垂线段最短
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【解答】解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上．
故选：．
【变式练1】（2023•张湾区模拟）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．三角形具有稳定性
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：．
【变式练2】（2023•浑江区一模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：．
【变式练3】（2023•南海区校级三模）下列图形中有稳定性的是
A．平行四边形B．三角形C．长方形D．正方形
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：．
【变式练4】（2023•南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．
【解答】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
故答案选：．
【变式练5】（2022•东莞市校级一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是
A．两点之间线段最短B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短
【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：．
考点5 三角形的重心
【例5】（2023•青浦区一模）三角形的重心是
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点
D．三角形三条高的交点
【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．
【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
故选：．
【变式练1】（2023•盐都区一模）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则 4 ．
【答案】4．
【分析】根据三角形的重心的性质解答即可．
【解答】解：点为的重心，
，
故答案为：4．
【变式练2】（2023•泗洪县模拟）如图，在中，，点是的重心，，则长为 6 ．
【分析】延长交于，如图，根据三角形重心的定义和性质得到为斜边上的中线，，则可求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质确定的长．
【解答】解：延长交于，如图，
点是的重心，
为斜边上的中线，，
，
，
．
故答案为6．
【变式练3】（2023春•普陀区校级期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是 ．
【分析】延长交于，如图，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】解：延长交于，如图，
点为的重心，
为边上的中线，，
，
，
，，
，
，
即三角形的重心到点的距离是．
故答案为．
【变式练4】（2019秋•海陵区校级期末）如图，半圆的直径，为半圆上一动点，点为的重心．则的长为 3 ．
【分析】根据圆周角定理和重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为即可求解．
【解答】解：连接，
半圆的直径，
，
点为的重心，
经过，
．
故答案为：3．
【变式练5】（2023•偃师市模拟）如图，点是的重心，和是以点为位似中心的位似图形．则与的面积之比为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由是的重心得到，和是以点为位似中心的位似图形，得到，推出得到，由相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：点是的重心，
，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
．
故选：．
考点6 三角形三边关系
【例6】（2023•茂南区三模）从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是
A．1，3，5B．1，3，7C．1，5，7D．3，5，7
【答案】
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：、，三条线段不能围成三角形，故不符合题意；
、，三条线段不能围成三角形，故不符合题意；
、，三条线段不能围成三角形，故不符合题意；
、，三条线段能围成三角形，故符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•衢江区三模）已知一个三角形的两边长分别为1和2，则第三边的长可以是
A．1B．2C．3D．3.5
【答案】
【分析】设第三边的长为，再根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：设第三边的长为，则，
即，
所以只有2适合，
故选：．
【变式练2】（2023•武安市一模）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】
【分析】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【解答】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故选：．
【变式练3】（2023•淳安县一模）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系求出第三根木棍的长的范围，判断即可．
【解答】解：设第三根木棍的长为，
则，即，
第三根木棍不可能取，
故选：．
【变式练4】（2023•兴义市校级模拟）为了估计池塘两岸、间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，，直接利用三角形的三边关系求解即可求得的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：，，
，
即，
间的距离不可能是：．
故选：．
【变式练5】（2023•任丘市三模）有四根长度分别为2，4，5，为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长
A．最小值是8B．最小值是9C．最大值是13D．最大值是14
【答案】
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可得到答案．
【解答】解：根据题意可得：2、4、，4、5、，2、4、5，2、5、都能组成三角形，
，，，
即，，，
，
为正整数，
取4或5，
要组成的三角形的周长最小，即时，三边为2，4，4，其最小周长为，
要组成的三角形周长最大，即时，三边为4，5，5，其最大周长为，
故选：．
考点7 三角形内角和定理
【例7】（2023•雁塔区校级模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的大小是（ ）
A．10°B．15°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可得∠BAC＝45°，根据邻补角互补可得∠EAF＝135°，然后再利用三角形的外角的性质可得∠AFD＝135°+30°＝165°．即可．
【解答】解：∵∠B＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝135°，
∴∠AFD＝135°+30°＝165°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°
故选：B．
【变式练1】（2023•未央区校级模拟）如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】在中，先根据角平分线的定义求出的度数，再根据是的高线可得出的度数，进而可得出结论．
【解答】解：在中，
，，是的角平分线，
．
是的高线，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•大连模拟）如图，直线，为的三等分线，，，则的度数为
A．B．C．或D．或
【答案】
【分析】由得到，，分为的三等分线且和为的三等分线且两种情况求解即可．
【解答】解：如图，
，
，，
当为的三等分线且时，，
是的外角，
，
当为的三等分线且时，，
是的外角，
，
综上，的度数为或，
故选：．
【变式练3】（2023•长岭县模拟）一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数小，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用普吉岛定义，构建方程组即可解决问题．
【解答】解：由题意
解得．
故选：．
【变式练4】（2023•婺城区模拟）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【变式练5】（2023•碑林区校级模拟）如图，在中，，，．若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先根据在直角三角形中，两锐角互余得出，根据，，得到，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数．
【解答】解：中，，，
，
，，
，
，
故选：．
考点8 三角形的外角性质
【例8】（2023•曲靖一模）是的平分线，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：是的平分线，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•池州模拟）将直角三角板和直角三角板按如图方式摆放（直角顶点重合），已知，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解，，
，
在中，
，，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•旌阳区一模）如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义求出，根据补角的概念求出，根据平行线的性质求出，再根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：平分，，
，
，
，
，
是的一个外角，，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•前郭县一模）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：由三角形外角性质，可得：，
故选：．
【变式练4】（2023•鞍山二模）如图，、相交于点，连接、．下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：，故正确，错误；
，故、错误；
故选：．
【变式练5】（2022秋•海珠区校级期末）如图，在中，平分，，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义以及三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：在中，平分，，，
，
，
，
故选：．
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
定义
如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．
如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言
∵是的高，
∴，
（或）．
∵是的中线，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
用途举例
（1）得到线段垂直；
（2）得到角相等．
（1）得到线段相等；
（2）得到面积相等．
得到角相等．
线段在图中的位置
锐角三角形
三条高全在三角形内．
三条中线全在三角形内．
三条角平分线全在三角形内．
直角三角形
三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形
三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置
锐角三角形
交点在三角形内．
三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）．
交点在三角形内．
直角三角形
交点在直角顶点处．
钝角三角形
交点在三角形外．
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
方
法
技
巧
点
拨
1．三角形三边之间关系的应用：
①在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形．
②已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是．
2．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．
（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．
（2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．
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