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专题05 分式（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）
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这是一份专题05 分式（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共42页。试卷主要包含了分式，一个式子是分式需满足的条件，分式的基本性质，分式的混合运算顺序，分式的混合运算，分式的化简求值等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．分式
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
2．一个式子是分式需满足的条件
①是形如的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
【注意】（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
（3）判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
3．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简．
吃透考点
1．分式的概念
（1）一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
（2）一个式子是分式需满足的条件
①是形如的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．分式的加减运算
（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
最简公分母的判断方法：系数取各个分母的系数的最小公倍数；因式取分母中含有的所有因式，注意：相同的因式留一个，每个因式的指数取最高指数．
（2）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（3）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后加减．
4．分式的乘除运算
（1）约分的关键是确定分子、分母的公因式．
公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的最大公约数；因式取分子、分母都含有的因式（即分子、分母中相同的因式），注意：相同因式的指数取最低指数．
（2）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
（3）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
5．分式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简．
6．分式的化简求值
（1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．
（2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
（3）分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意．总的来说有以下两类：
①当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；
②当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
考点1 分式的定义
【例1】（2023•惠城区校级三模）代数式，，，，，中，属于分式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：，，，
分式有3个，
故选：．
【变式练1】（2022•松江区校级模拟）下列代数式中，归类于分式的是
A．B．C．D．
【分析】一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，结合选项进行判断即可．
【解答】解：、不是分式，故本选项错误；
、是分式，故本选项正确；
、不是分式，故本选项错误；
、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；
故选：．
【变式练2】（2021•衡阳模拟）下列各式中，属于分式的是
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2021•罗湖区校级模拟）下列代数式中，是分式的为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．
【解答】解：根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，、、都不符合题意，故排除；中分母含有字母，满足要求，符合题意，
故选：．
【变式练4】（2021•罗湖区校级模拟）下列各式：，，，，，中，分式有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：，，是分式，
故选：．
【变式练5】（2020•奉贤区三模）下列代数式中，属于分式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式定义进行分析即可．分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：．分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
．分母含未知数，是分式，故此选项符合题意；
．是根式，不是分式，故此选项不合题意；
．是根式，不是分式，故此选项不合题意；
故选：．
考点2 分式有意义的条件
【例2】（2023•鄞州区一模）要使分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】代数式有意义的条件为：，解得的取值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
【变式练1】（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【变式练2】（2023•鄞州区校级三模）要使分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得，
故选：．
【变式练3】（2023•红花岗区校级三模）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：，
故选：．
【变式练4】（2023•明水县模拟）要使式子有意义，则的取值范围是
A．且B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：要使式子有意义，则，
解得，
故选：．
【变式练5】（2023•武侯区模拟）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．
【解答】解：分式有意义，
，
解得：．
故选：．
考点3 分式的值为零的条件
【例3】（2023•惠水县一模）分式，则的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】据分式的值为0的条件，即可求解．
【解答】解：分式，
且，
解得：．
故选：．
【变式练1】（2023•香河县校级三模）若分式，则
A．B．
C．D．不存在，使得
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件列式计算，判断即可．
【解答】解：由题意得：且，
符合条件的的值不存在，
故选：．
【变式练2】（2023•南浔区二模）若分式的值为0，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出的值即可．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故选：．
【变式练3】（2023•洞头区二模）若分式的值是0，则的值是
A．B．C．2D．5
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件为分子为零，且分母不为零，进行求解即可．
【解答】解：由题意得，且，
解得．
故选：．
【变式练4】（2023•乌当区模拟）若分式的值为零，则的值为
A．3B．C．0D．以上均有可能
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：且，
解得：，
故选：．
【变式练5】（2023•龙港市二模）若分式的值为0，则的值是
A．B．0C．D．1
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【解答】解：由题意得：且，
解得：，
故选：．
考点4 分式的值
【例4】（2023•临沂一模）若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将变形得，然后整体代入即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•利辛县模拟）已知，为实数，，，则分式的值为
A．3B．C．2D．
【答案】
【分析】由，得，再整体代入即可求解．
【解答】解：，
．
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•镇海区校级模拟）若分式的值为整数，则正整数的个数为
A．4B．6C．7D．8
【答案】
【分析】先化简，再根据分式的值为整数，可得或或或，且，即可确定正整数的值．
【解答】解：
，
分式的值为整数，
或或或，且，
正整数或2或5或1或6或9，共6个，
故选：．
【变式练3】（2023•福州模拟）已知非零实数，满足，则的值等于 1 ．
【答案】1．
【分析】首先判断出与的关系，再整体代入到代数式中求值即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
原式．
故答案为：1．
【变式练4】（2023•内江模拟）若，．则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把和都用含的式子表示即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
②得：③，
①③得：，
，
把代入①中得：
，
，
，
故答案为：．
【变式练5】（2023•威远县校级一模）已知，则 ．
【答案】
【分析】先求已知的倒数等于7，化简后两边平方得62，再把所求式子的倒数求出结果为61，最终结果算出．
【解答】解：，
．
．
．
．
，
．
故答案为．
考点5 分式的基本性质
【例5】（2023•青龙县一模）根据分式的基本性质可知，
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分子分母同乘即可．
【解答】解：根据分式的基本性质可知：，
故选：．
【变式练1】（2023•迁安市二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【解答】解：．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；
．，故原选项错误，不符合题意；
．，故原选项错误，不符合题意；
．，故原选项正确，符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•武安市二模）若，的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•藁城区二模）若，则可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•海门市二模）如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值
A．扩大到原来的20倍B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍D．不变
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
【解答】解：，
把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值不变．
故选：．
【变式练5】（2023•修文县模拟）如果将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值
A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．扩大9倍
【答案】
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：分式中的和都扩大3倍，
，
分式的值不变，
故选：．
考点6 约分
【例6】（2023•白城模拟）分式约分的结果是 ．
【答案】．
【分析】先找出分式的分子和分母的最大公因式，再根据分式的除法法则进行计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【变式练1】（2023•宁江区三模）化简的结果是 ．
【答案】．
【分析】分子、分母约去进行约分即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【变式练2】（2023•西和县一模）计算： ．
【答案】．
【分析】直接约分即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【变式练3】（2023•奉贤区二模）化简分式的结果为 ．
【答案】．
【分析】先将分式的分母分解因式，然后约分即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【变式练4】（2023•乌鲁木齐一模）化简： ．
【答案】．
【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再将公因式约去即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【变式练5】（2023•五河县一模）化简 ．
【分析】把分子、分母分解因式，再根据分式的基本性质约分．
【解答】解：，
故答案为：
考点7 通分
【例7】（2022秋•澧县期末）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为
A．B．
C．D．
【分析】分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023春•洪泽区校级期中）通分：
（1）与；
（2）与．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）先确定分式的最简公分母，再通分即可；
（2）先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【解答】解：（1）与的最简公分母是，
，；
（2）与的最简公分母是，
，．
【变式练2】（2023春•宿豫区期中）按照下列要求解答：
（1）约分：；
（2）通分：与．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可；
（2）先确定最简公分母，再通分．
【解答】解：（1）；
（2），．
【变式练3】（2022春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是
A．最简公分母是
B．
C．
D．
【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
【解答】解：、最简公分母为最简公分母是，正确；
、，通分正确；
、，通分正确；
、通分不正确，分子应为；
故选：．
【变式练4】（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则 ， ．
【答案】，．
【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【解答】解：，．
故答案为：，．
【变式练5】（2022•丰顺县校级开学）通分：
（1），，；
（2），，．
【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同分母的形式即可得解．
【解答】解：（1），，；
（2），，．
考点8 最简分式
【例8】（2023•兰州模拟）下列分式中，是最简分式的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据最简分式的概念逐项判断即可．
【解答】解：是最简分式，故符合题意；
，
不是最简分式，故不符合题意；
，
不是最简分式，故不符合题意；
，
不是最简分式，故不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2022•江油市二模）下列分式属于最简分式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
、，是最简分式，故本选项符合题意；
、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2022•镶黄旗校级模拟）在分式，，，中，最简分式有 3 个．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：是最简分式，
是最简分式，
，不是最简分式，
是最简分式，
故答案为：3．
【变式练3】（2021•饶平县校级模拟）下列分式中，最简分式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：、该分式的分子、分母不能约分，是最简分式，故本选项符合题意．
、该分式的分子、分母中含有公因式，它不是最简分式，故本选项不符合题意．
、该分式的分子、分母中含有公因式，它不是最简分式，故本选项不符合题意．
、该分式的分子、分母中含有公因式，它不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2021•广州模拟）下列分式中，最简分式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简分式的定义计算判断．
【解答】解：、，所以选项不符合；
、，所以选项不符合；
、，所以选项不符合；
、为最简分式，所以选项符合．
故选：．
【变式练5】（2020春•镇平县期末）下列分式中，属于最简分式的是
A．B．C．D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：、，故选项错误．
、是最简分式，不能化简，故选项，
、，能进行化简，故选项错误．
、，故选项错误．
故选：．
考点9 最简公分母
【例9】（2021•越秀区校级二模）分式，，的最简公分母是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为．
故选：．
【变式练1】（2021•开平区一模）分式与的最简公分母是
A．B．C．D．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：的分母为，的分母为，故最简公分母是，故选．
【变式练2】（2021•宜兴市校级二模）分式和的最简公分母为 ．
【分析】利用最简公分母的定义求解即可．
【解答】解：分式和的分母分别是、．则它们的最简公分母是．
故答案为：．
【变式练3】（2020•江阴市模拟）分式的最简公分母是 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式的最简公分母是；
故答案为：．
【变式练4】（2018•中山市一模）分式与的最简公分母是 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与的最简公分母是．
故答案为．
【变式练5】（2015•南通模拟）下列三个分式、、的最简公分母是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式、、的分母分别是、、，故最简公分母是．
故选：．
考点10 分式的乘除法
【例10】（2023•唐山一模）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
【解答】解：，
运算的结果为整式，
“□”中的式子可能是含的单项式，
故选：．
【变式练1】（2023•裕华区二模）代数式的值为取整数），则为整数值的个数有
A．0个B．7个C．8个D．无数个
【答案】
【分析】利用分式的除法法则先计算分式，再化为整数与分式和的形式，根据整除的意义得结论．
【解答】解：
．
代数式的值为，
、．
当、、、时，
即，1，4、0、6、、10、时，为整数值．
当，1，4、0、6、、10时，为整数值．
故选：．
【变式练2】（2023•都昌县校级模拟）计算的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】原式把除法转换为乘法，再进行因式分解后约分即可得到答案．
【解答】解：
故选：．
【变式练3】（2023•济阳区一模）化简：
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练4】（2023•罗山县模拟）计算的结果是
A．2B．C．1D．
【答案】
【分析】根据分式的除法计算即可．
【解答】解：，
故选：．
【变式练5】（2023•高碑店市模拟）分式的值可能等于
A．0B．1C．2D．4
【答案】
【分析】首先化简分式，进而利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：，，
故选项不符合题意；
，则，存在，故选项符合题意；
，则，此时原式无意义，故选项不符合题意；
，则，此时原式无意义，故选项不符合题意；
故选：．
考点11 分式的加减法
【例11】（2023•河西区模拟）计算的结果为
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
故选：．
【变式练1】（2023•金东区一模）化简的结果是
A．B．0C．2D．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案
【解答】解：原式
，
故选：．
【变式练2】（2023•红桥区一模）计算的结果是
A．B．1C．D．
【答案】
【分析】利用同分母分式的减法法则运算即可．
【解答】解：原式．
故选：．
【变式练3】（2023•梁溪区一模）计算的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先通分，再进行分式的加减运算．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练4】（2023•鹿城区校级三模）化简的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式的减法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：．
【变式练5】（2023•河西区校级三模）化简的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同分母的分式的加减法计算即可．
【解答】解：，
故选：．
考点12 分式的混合运算
【例12】（2023•包河区三模）化简分式的最后结果是
A．B．
C．1D．
【答案】
【分析】利用平方差公式将分式变形为，利用完全平方公式将分式变形为，再将除法变为乘法，进而可约分，最后根据同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练1】（2023•冀州区校级模拟）计算 的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练2】（2023•忻州模拟）化简的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式的相应的法则进行求解即可．
【解答】解：
．
故选：．
【变式练3】（2023•来安县二模）计算的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先计算括号内的减法运算，再计算乘法运算即可．
【解答】解：
故选：．
【变式练4】（2023•乾安县四模）分式运算□的结果是，则□处的运算符号是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：，，
，
故选：．
【变式练5】（2023•双桥区模拟）若的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【解答】解：．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
．，是整式，故本选项符合题意；
．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：．
考点13 分式的化简求值
【例13】（2023•江岸区校级模拟）若，则代数式的值是
A．B．2C．D．4
【答案】
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
．
当时．原式．
故选：．
【变式练1】（2023•明光市二模）已知，则的值是
A．B．C．3D．
【答案】
【分析】先根据分式的加减法则把原式进行化简，再根据可得出，再代入分式进行计算即可．
【解答】解：
，
，
，
原式．
故选：．
【变式练2】（2023•北京二模）如果，那么代数式的值为
A．2B．1C．D．
【答案】
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式，
故选：．
【变式练3】（2023•越秀区校级一模）若，其中，都不为零，则的值是
A．B．C．2D．1
【答案】
【分析】根据完全平方公式可先将已知的式子变形为，，然后整体代入所求式子计算即可．
【解答】解：，
，，
即，，
，都不为零，
；
故选：．
【变式练4】（2023•泸县校级三模）已知非零实数满足，则的值为
A．11B．9C．7D．5
【答案】
【分析】根据分式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•天山区校级二模）如果，那么代数式的值为
A．1B．C．D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
由，得到，
则原式，
故选：．
考点14 零指数幂
【例14】（2023•绵阳三模）
A．0B．1C．2023D．
【答案】
【分析】根据零次幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，计算即可得到答案
【解答】解：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，
，
故选：．
【变式练1】（2023•灞桥区校级三模）计算
A．B．C．1D．0
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：，
故选：．
【变式练2】（2023•连江县校级模拟）下列各数中，负数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：、原式，2是正数，故此选项不合题意；
、原式，1是正数，故此选项不合题意；
、原式，4是正数，故此选项不符合题意；
、原式，是负数，故此选项合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•雄县一模）若，则“？”是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】根据零次幂可进行求解．
【解答】解：由可知：“？”是0；
故选：．
【变式练4】（2023•孟村县校级模拟）的结果是
A．0B．1C．D．
【答案】
【分析】根据非0数的零指数幂的定义可得结果．
【解答】解：，
．
故选：．
【变式练5】（2023•集美区模拟）化简的结果是
A．2B．C．D．
【分析】负整数指数幂：，为正整数）进行计算即可．
【解答】解：，
故选：．
考点15 负整数指数幂
【例15】（2023•梁溪区模拟）下列各式，化简结果为5的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据负整数指数幂的运算法则、有理数的加减法则进行计算即可．
【解答】解：、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•蜀山区校级三模）下面各数中最小的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先分别求出、的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
【解答】解：，，
，
，
所给的各数中最小的是．
故选：．
【变式练2】（2023•兴化市一模）计算的结果是
A．B．C．3D．
【答案】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质，负整数指数幂：，为正整数），计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练3】（2023•雁塔区校级模拟）计算：
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式．
故选：．
【变式练4】（2023•宁阳县校级一模）下列各数中，绝对值最小的数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据绝对值的概念，零指数幂，负整数指数幂，分别求出每个选项中数的绝对值，即可确定答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
绝对值最小的数是，
故选：．
【变式练5】（2023春•金寨县期末）一项工程，甲单独做需小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是
A．小时B．小时C．小时D．小时
【分析】设工作总量为1，甲乙合作20小时可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需小时完成，甲的工效为，则乙的工效为：，由时间工作量工效列式．
【解答】解：设工作总量为1，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需小时完成，甲的工效为，
乙单独完成需要的时间是小时．
故选：．
考点16 列代数式（分式）
【例16】（2023•盘锦三模）甲、乙两地相距，某人从甲地出发，以的速度步行，走了后改乘汽车，又过到达乙地，则汽车的速度为 ．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分析题意，步行小时的路程为千米；剩余路程为千米，汽车走了小时；由“速度路程时间”即可求出汽车的速度．
【解答】解：由题意得，步行小时走了千米．
则从甲地到乙地汽车还要走千米．
从甲地到乙地汽车要走小时，故故汽车的速度为千米时．
故选：．
【变式练1】（2023•靖宇县一模）某生产车间生产个机械零件需要小时完成，那么该车间生产200个同样的零件需要的时间
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】
【分析】每一个零件需要的时间为：小时，然后由“该车间生产200个同样的零件”列出代数式．
【解答】解：根据“某生产车间生产个机械零件需要小时完成”知：每一个零件需要的时间为：小时，则该车间生产200个同样的零件需要的时间为：小时．
故选：．
【变式练2】（2023•龙湾区一模）某商店有，两种糖果，原价分别为元千克和元千克．据调查发现，将两种糖果按种糖果千克与种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若种糖果单价上涨，种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据已知表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得出等式求出即可．
【解答】解：，两种糖果，原价分别为每千克元和元，两种糖果按种糖果千克与种糖果千克的比例混合，
两种糖果的平均价格为：，
种糖果单价上涨，种糖果单价下跌，
两种糖果的平均价格为：，
按原比例混合的糖果单价恰好不变，
，
整理得出：，
．
故选：．
【变式练3】（2022•钟楼区模拟）小明买了3支红笔，共用了元，则买一支红笔需要
A．元B．元C．元D．元
【答案】
【分析】根据“单价”即可解答．
【解答】解：由题意可得：买一支红笔需要（元．
故选：．
【变式练4】（2022•瑞安市二模）若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为
A．元B．元C．元D．元
【答案】
【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8即可．
【解答】解：千克的某种糖果售价为元，
这种糖果的单价为元千克，
千克的这种糖果售价为元，
故选：．
【变式练5】（2023•汉川市模拟）计算：的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】先计算零指数幂、去绝对值，然后计算加法．
【解答】解：
．
故答案为：6．
方
法
技
巧
点
拨
（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
（3）判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
（4）按照分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分式的值不变．
（5）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．
（6）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
（7）分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意．总的来说有以下两类：
①当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；
②当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
夯实基础
1．分式
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
2．一个式子是分式需满足的条件
①是形如的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
【注意】（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
（3）判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
3．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简．
吃透考点
1．分式的概念
（1）一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
（2）一个式子是分式需满足的条件
①是形如的式子；
②A，B为整式；
③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．分式的加减运算
（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
最简公分母的判断方法：系数取各个分母的系数的最小公倍数；因式取分母中含有的所有因式，注意：相同的因式留一个，每个因式的指数取最高指数．
（2）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（3）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后加减．
4．分式的乘除运算
（1）约分的关键是确定分子、分母的公因式．
公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的最大公约数；因式取分子、分母都含有的因式（即分子、分母中相同的因式），注意：相同因式的指数取最低指数．
（2）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
（3）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
5．分式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简．
6．分式的化简求值
（1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．
（2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
（3）分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意．总的来说有以下两类：
①当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；
②当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
考点1 分式的定义
【例1】（2023•惠城区校级三模）代数式，，，，，中，属于分式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有：，，，
整式有：，，，
分式有3个，
故选：．
【变式练1】（2022•松江区校级模拟）下列代数式中，归类于分式的是
A．B．C．D．
【分析】一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，结合选项进行判断即可．
【解答】解：、不是分式，故本选项错误；
、是分式，故本选项正确；
、不是分式，故本选项错误；
、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；
故选：．
【变式练2】（2021•衡阳模拟）下列各式中，属于分式的是
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2021•罗湖区校级模拟）下列代数式中，是分式的为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可．
【解答】解：根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，、、都不符合题意，故排除；中分母含有字母，满足要求，符合题意，
故选：．
【变式练4】（2021•罗湖区校级模拟）下列各式：，，，，，中，分式有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：，，是分式，
故选：．
【变式练5】（2020•奉贤区三模）下列代数式中，属于分式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式定义进行分析即可．分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：．分母不含未知数，不是分式，故此选项不合题意；
．分母含未知数，是分式，故此选项符合题意；
．是根式，不是分式，故此选项不合题意；
．是根式，不是分式，故此选项不合题意；
故选：．
考点2 分式有意义的条件
【例2】（2023•鄞州区一模）要使分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】代数式有意义的条件为：，解得的取值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
【变式练1】（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【变式练2】（2023•鄞州区校级三模）要使分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得，
故选：．
【变式练3】（2023•红花岗区校级三模）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：，
故选：．
【变式练4】（2023•明水县模拟）要使式子有意义，则的取值范围是
A．且B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：要使式子有意义，则，
解得，
故选：．
【变式练5】（2023•武侯区模拟）若分式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．
【解答】解：分式有意义，
，
解得：．
故选：．
考点3 分式的值为零的条件
【例3】（2023•惠水县一模）分式，则的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】据分式的值为0的条件，即可求解．
【解答】解：分式，
且，
解得：．
故选：．
【变式练1】（2023•香河县校级三模）若分式，则
A．B．
C．D．不存在，使得
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件列式计算，判断即可．
【解答】解：由题意得：且，
符合条件的的值不存在，
故选：．
【变式练2】（2023•南浔区二模）若分式的值为0，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出的值即可．
【解答】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故选：．
【变式练3】（2023•洞头区二模）若分式的值是0，则的值是
A．B．C．2D．5
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件为分子为零，且分母不为零，进行求解即可．
【解答】解：由题意得，且，
解得．
故选：．
【变式练4】（2023•乌当区模拟）若分式的值为零，则的值为
A．3B．C．0D．以上均有可能
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：且，
解得：，
故选：．
【变式练5】（2023•龙港市二模）若分式的值为0，则的值是
A．B．0C．D．1
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【解答】解：由题意得：且，
解得：，
故选：．
考点4 分式的值
【例4】（2023•临沂一模）若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将变形得，然后整体代入即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•利辛县模拟）已知，为实数，，，则分式的值为
A．3B．C．2D．
【答案】
【分析】由，得，再整体代入即可求解．
【解答】解：，
．
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•镇海区校级模拟）若分式的值为整数，则正整数的个数为
A．4B．6C．7D．8
【答案】
【分析】先化简，再根据分式的值为整数，可得或或或，且，即可确定正整数的值．
【解答】解：
，
分式的值为整数，
或或或，且，
正整数或2或5或1或6或9，共6个，
故选：．
【变式练3】（2023•福州模拟）已知非零实数，满足，则的值等于 1 ．
【答案】1．
【分析】首先判断出与的关系，再整体代入到代数式中求值即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
原式．
故答案为：1．
【变式练4】（2023•内江模拟）若，．则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把和都用含的式子表示即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
②得：③，
①③得：，
，
把代入①中得：
，
，
，
故答案为：．
【变式练5】（2023•威远县校级一模）已知，则 ．
【答案】
【分析】先求已知的倒数等于7，化简后两边平方得62，再把所求式子的倒数求出结果为61，最终结果算出．
【解答】解：，
．
．
．
．
，
．
故答案为．
考点5 分式的基本性质
【例5】（2023•青龙县一模）根据分式的基本性质可知，
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分子分母同乘即可．
【解答】解：根据分式的基本性质可知：，
故选：．
【变式练1】（2023•迁安市二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【解答】解：．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；
．，故原选项错误，不符合题意；
．，故原选项错误，不符合题意；
．，故原选项正确，符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•武安市二模）若，的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•藁城区二模）若，则可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•海门市二模）如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值
A．扩大到原来的20倍B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍D．不变
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解决此题．
【解答】解：，
把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值不变．
故选：．
【变式练5】（2023•修文县模拟）如果将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值
A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．扩大9倍
【答案】
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：分式中的和都扩大3倍，
，
分式的值不变，
故选：．
考点6 约分
【例6】（2023•白城模拟）分式约分的结果是 ．
【答案】．
【分析】先找出分式的分子和分母的最大公因式，再根据分式的除法法则进行计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【变式练1】（2023•宁江区三模）化简的结果是 ．
【答案】．
【分析】分子、分母约去进行约分即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【变式练2】（2023•西和县一模）计算： ．
【答案】．
【分析】直接约分即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【变式练3】（2023•奉贤区二模）化简分式的结果为 ．
【答案】．
【分析】先将分式的分母分解因式，然后约分即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【变式练4】（2023•乌鲁木齐一模）化简： ．
【答案】．
【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再将公因式约去即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【变式练5】（2023•五河县一模）化简 ．
【分析】把分子、分母分解因式，再根据分式的基本性质约分．
【解答】解：，
故答案为：
考点7 通分
【例7】（2022秋•澧县期末）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为
A．B．
C．D．
【分析】分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023春•洪泽区校级期中）通分：
（1）与；
（2）与．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）先确定分式的最简公分母，再通分即可；
（2）先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【解答】解：（1）与的最简公分母是，
，；
（2）与的最简公分母是，
，．
【变式练2】（2023春•宿豫区期中）按照下列要求解答：
（1）约分：；
（2）通分：与．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可；
（2）先确定最简公分母，再通分．
【解答】解：（1）；
（2），．
【变式练3】（2022春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是
A．最简公分母是
B．
C．
D．
【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
【解答】解：、最简公分母为最简公分母是，正确；
、，通分正确；
、，通分正确；
、通分不正确，分子应为；
故选：．
【变式练4】（2022秋•新化县校级期中）把，通分，则 ， ．
【答案】，．
【分析】把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【解答】解：，．
故答案为：，．
【变式练5】（2022•丰顺县校级开学）通分：
（1），，；
（2），，．
【分析】依据最简公分母的概念，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母；接下来结合所得最简公分母，将两组分式利用分式的基本性质变形为同分母的形式即可得解．
【解答】解：（1），，；
（2），，．
考点8 最简分式
【例8】（2023•兰州模拟）下列分式中，是最简分式的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据最简分式的概念逐项判断即可．
【解答】解：是最简分式，故符合题意；
，
不是最简分式，故不符合题意；
，
不是最简分式，故不符合题意；
，
不是最简分式，故不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2022•江油市二模）下列分式属于最简分式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
、，是最简分式，故本选项符合题意；
、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2022•镶黄旗校级模拟）在分式，，，中，最简分式有 3 个．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：是最简分式，
是最简分式，
，不是最简分式，
是最简分式，
故答案为：3．
【变式练3】（2021•饶平县校级模拟）下列分式中，最简分式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：、该分式的分子、分母不能约分，是最简分式，故本选项符合题意．
、该分式的分子、分母中含有公因式，它不是最简分式，故本选项不符合题意．
、该分式的分子、分母中含有公因式，它不是最简分式，故本选项不符合题意．
、该分式的分子、分母中含有公因式，它不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2021•广州模拟）下列分式中，最简分式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据最简分式的定义计算判断．
【解答】解：、，所以选项不符合；
、，所以选项不符合；
、，所以选项不符合；
、为最简分式，所以选项符合．
故选：．
【变式练5】（2020春•镇平县期末）下列分式中，属于最简分式的是
A．B．C．D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：、，故选项错误．
、是最简分式，不能化简，故选项，
、，能进行化简，故选项错误．
、，故选项错误．
故选：．
考点9 最简公分母
【例9】（2021•越秀区校级二模）分式，，的最简公分母是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为．
故选：．
【变式练1】（2021•开平区一模）分式与的最简公分母是
A．B．C．D．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：的分母为，的分母为，故最简公分母是，故选．
【变式练2】（2021•宜兴市校级二模）分式和的最简公分母为 ．
【分析】利用最简公分母的定义求解即可．
【解答】解：分式和的分母分别是、．则它们的最简公分母是．
故答案为：．
【变式练3】（2020•江阴市模拟）分式的最简公分母是 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式的最简公分母是；
故答案为：．
【变式练4】（2018•中山市一模）分式与的最简公分母是 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与的最简公分母是．
故答案为．
【变式练5】（2015•南通模拟）下列三个分式、、的最简公分母是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式、、的分母分别是、、，故最简公分母是．
故选：．
考点10 分式的乘除法
【例10】（2023•唐山一模）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
【解答】解：，
运算的结果为整式，
“□”中的式子可能是含的单项式，
故选：．
【变式练1】（2023•裕华区二模）代数式的值为取整数），则为整数值的个数有
A．0个B．7个C．8个D．无数个
【答案】
【分析】利用分式的除法法则先计算分式，再化为整数与分式和的形式，根据整除的意义得结论．
【解答】解：
．
代数式的值为，
、．
当、、、时，
即，1，4、0、6、、10、时，为整数值．
当，1，4、0、6、、10时，为整数值．
故选：．
【变式练2】（2023•都昌县校级模拟）计算的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】原式把除法转换为乘法，再进行因式分解后约分即可得到答案．
【解答】解：
故选：．
【变式练3】（2023•济阳区一模）化简：
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练4】（2023•罗山县模拟）计算的结果是
A．2B．C．1D．
【答案】
【分析】根据分式的除法计算即可．
【解答】解：，
故选：．
【变式练5】（2023•高碑店市模拟）分式的值可能等于
A．0B．1C．2D．4
【答案】
【分析】首先化简分式，进而利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：，，
故选项不符合题意；
，则，存在，故选项符合题意；
，则，此时原式无意义，故选项不符合题意；
，则，此时原式无意义，故选项不符合题意；
故选：．
考点11 分式的加减法
【例11】（2023•河西区模拟）计算的结果为
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
故选：．
【变式练1】（2023•金东区一模）化简的结果是
A．B．0C．2D．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案
【解答】解：原式
，
故选：．
【变式练2】（2023•红桥区一模）计算的结果是
A．B．1C．D．
【答案】
【分析】利用同分母分式的减法法则运算即可．
【解答】解：原式．
故选：．
【变式练3】（2023•梁溪区一模）计算的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先通分，再进行分式的加减运算．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练4】（2023•鹿城区校级三模）化简的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式的减法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：．
【变式练5】（2023•河西区校级三模）化简的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同分母的分式的加减法计算即可．
【解答】解：，
故选：．
考点12 分式的混合运算
【例12】（2023•包河区三模）化简分式的最后结果是
A．B．
C．1D．
【答案】
【分析】利用平方差公式将分式变形为，利用完全平方公式将分式变形为，再将除法变为乘法，进而可约分，最后根据同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练1】（2023•冀州区校级模拟）计算 的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简即可．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练2】（2023•忻州模拟）化简的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用分式的相应的法则进行求解即可．
【解答】解：
．
故选：．
【变式练3】（2023•来安县二模）计算的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先计算括号内的减法运算，再计算乘法运算即可．
【解答】解：
故选：．
【变式练4】（2023•乾安县四模）分式运算□的结果是，则□处的运算符号是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：，，
，
故选：．
【变式练5】（2023•双桥区模拟）若的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【解答】解：．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
．，是整式，故本选项符合题意；
．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：．
考点13 分式的化简求值
【例13】（2023•江岸区校级模拟）若，则代数式的值是
A．B．2C．D．4
【答案】
【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
【解答】解：原式
．
当时．原式．
故选：．
【变式练1】（2023•明光市二模）已知，则的值是
A．B．C．3D．
【答案】
【分析】先根据分式的加减法则把原式进行化简，再根据可得出，再代入分式进行计算即可．
【解答】解：
，
，
，
原式．
故选：．
【变式练2】（2023•北京二模）如果，那么代数式的值为
A．2B．1C．D．
【答案】
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式，
故选：．
【变式练3】（2023•越秀区校级一模）若，其中，都不为零，则的值是
A．B．C．2D．1
【答案】
【分析】根据完全平方公式可先将已知的式子变形为，，然后整体代入所求式子计算即可．
【解答】解：，
，，
即，，
，都不为零，
；
故选：．
【变式练4】（2023•泸县校级三模）已知非零实数满足，则的值为
A．11B．9C．7D．5
【答案】
【分析】根据分式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•天山区校级二模）如果，那么代数式的值为
A．1B．C．D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
由，得到，
则原式，
故选：．
考点14 零指数幂
【例14】（2023•绵阳三模）
A．0B．1C．2023D．
【答案】
【分析】根据零次幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，计算即可得到答案
【解答】解：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，
，
故选：．
【变式练1】（2023•灞桥区校级三模）计算
A．B．C．1D．0
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：，
故选：．
【变式练2】（2023•连江县校级模拟）下列各数中，负数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：、原式，2是正数，故此选项不合题意；
、原式，1是正数，故此选项不合题意；
、原式，4是正数，故此选项不符合题意；
、原式，是负数，故此选项合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•雄县一模）若，则“？”是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】根据零次幂可进行求解．
【解答】解：由可知：“？”是0；
故选：．
【变式练4】（2023•孟村县校级模拟）的结果是
A．0B．1C．D．
【答案】
【分析】根据非0数的零指数幂的定义可得结果．
【解答】解：，
．
故选：．
【变式练5】（2023•集美区模拟）化简的结果是
A．2B．C．D．
【分析】负整数指数幂：，为正整数）进行计算即可．
【解答】解：，
故选：．
考点15 负整数指数幂
【例15】（2023•梁溪区模拟）下列各式，化简结果为5的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据负整数指数幂的运算法则、有理数的加减法则进行计算即可．
【解答】解：、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•蜀山区校级三模）下面各数中最小的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先分别求出、的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
【解答】解：，，
，
，
所给的各数中最小的是．
故选：．
【变式练2】（2023•兴化市一模）计算的结果是
A．B．C．3D．
【答案】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质，负整数指数幂：，为正整数），计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练3】（2023•雁塔区校级模拟）计算：
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式．
故选：．
【变式练4】（2023•宁阳县校级一模）下列各数中，绝对值最小的数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据绝对值的概念，零指数幂，负整数指数幂，分别求出每个选项中数的绝对值，即可确定答案．
【解答】解：，
，
，
，
，
绝对值最小的数是，
故选：．
【变式练5】（2023春•金寨县期末）一项工程，甲单独做需小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是
A．小时B．小时C．小时D．小时
【分析】设工作总量为1，甲乙合作20小时可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需小时完成，甲的工效为，则乙的工效为：，由时间工作量工效列式．
【解答】解：设工作总量为1，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需小时完成，甲的工效为，
乙单独完成需要的时间是小时．
故选：．
考点16 列代数式（分式）
【例16】（2023•盘锦三模）甲、乙两地相距，某人从甲地出发，以的速度步行，走了后改乘汽车，又过到达乙地，则汽车的速度为 ．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分析题意，步行小时的路程为千米；剩余路程为千米，汽车走了小时；由“速度路程时间”即可求出汽车的速度．
【解答】解：由题意得，步行小时走了千米．
则从甲地到乙地汽车还要走千米．
从甲地到乙地汽车要走小时，故故汽车的速度为千米时．
故选：．
【变式练1】（2023•靖宇县一模）某生产车间生产个机械零件需要小时完成，那么该车间生产200个同样的零件需要的时间
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】
【分析】每一个零件需要的时间为：小时，然后由“该车间生产200个同样的零件”列出代数式．
【解答】解：根据“某生产车间生产个机械零件需要小时完成”知：每一个零件需要的时间为：小时，则该车间生产200个同样的零件需要的时间为：小时．
故选：．
【变式练2】（2023•龙湾区一模）某商店有，两种糖果，原价分别为元千克和元千克．据调查发现，将两种糖果按种糖果千克与种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若种糖果单价上涨，种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据已知表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得出等式求出即可．
【解答】解：，两种糖果，原价分别为每千克元和元，两种糖果按种糖果千克与种糖果千克的比例混合，
两种糖果的平均价格为：，
种糖果单价上涨，种糖果单价下跌，
两种糖果的平均价格为：，
按原比例混合的糖果单价恰好不变，
，
整理得出：，
．
故选：．
【变式练3】（2022•钟楼区模拟）小明买了3支红笔，共用了元，则买一支红笔需要
A．元B．元C．元D．元
【答案】
【分析】根据“单价”即可解答．
【解答】解：由题意可得：买一支红笔需要（元．
故选：．
【变式练4】（2022•瑞安市二模）若千克的某种糖果售价为元，则8千克的这种糖果售价为
A．元B．元C．元D．元
【答案】
【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8即可．
【解答】解：千克的某种糖果售价为元，
这种糖果的单价为元千克，
千克的这种糖果售价为元，
故选：．
【变式练5】（2023•汉川市模拟）计算：的值为 6 ．
【答案】6．
【分析】先计算零指数幂、去绝对值，然后计算加法．
【解答】解：
．
故答案为：6．
方
法
技
巧
点
拨
（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．
（3）判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，就是分式．
（4）按照分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分式的值不变．
（5）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．
（6）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．
（7）分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意．总的来说有以下两类：
①当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；
②当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．
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