专题01 实数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题01 实数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共18页。试卷主要包含了实数，数轴，相反数、倒数、绝对值，科学记数法，无理数常见的四种类型，实数大小比较的7种技巧等内容，欢迎下载使用。

夯实基础
1．实数
（1）实数的分类
（2）实数大小的比较
①在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小．
②正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值小的较大．
③设是任意两实数．
若，则；
若，则；
若，则．
2．数轴
数轴的三要素为原点、正方向和单位长度．数轴上的点与实数一一对应．
3．相反数、倒数、绝对值
（1）实数a、b互为相反数，则a+b=0．
（2）实数a、b互为倒数，则ab=1．
（3）绝对值：
|a|的几何意义是数轴上表示a的点与原点之间的距离．
4．科学记数法
（1）用科学记数法来表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）用科学记数法来表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，当用科学记数法表示较小的数时，n等于原数从左边起第一位不是零的数字前面的所有零的个数，确定n的值即可正确作答．
吃透考点
1．实数的相关概念
（1）实数a、b互为相反数，则a+b=0．
（2）实数a、b互为倒数，则ab=1．
（3）绝对值：
（4）数轴
①数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
②任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的．
③数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数．
2．实数的大小比较
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小．
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小．
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小．
（5）差值比较法．
3．科学记数法
（1）用科学记数法来表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）用科学记数法来表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，当用科学记数法表示较小的数时，n等于原数从左边起第一位不是零的数字前面的所有零的个数，确定n的值即可正确作答．
（3）近似数
①表示数据时，有时很难取得准确值，或者不必使用准确值时，我们可以用近似数来表示．
②中考中对有效数字的考查属于低频考点，牢记有效数字的概念是解答的关键：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字；用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
③用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
4．实数的运算
（1）有理数的运算法则可以推广到实数中．
①加法法则
◆同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
◆绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
◆互为相反数的两数相加，和为零；
◆一个数与零相加，仍得这个数．
②减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a-b=a+（-b）．
③乘法法则
◆法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
◆法则二：任何数同0相乘，都得0；
◆法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
◆法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0．
④除法法则
◆除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数．
◆两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
◆乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数．
⑤乘方
◆负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数．
◆正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
（2）有理数的运算律可以推广到实数中．
◆加法交换律：a+b=b+a
◆加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
◆乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab=ba
◆乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c=a（bc）．
◆乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a（b+c）=ab+ac．
（3）做实数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方、开方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．
考点1 实数的分类
【例1】（2023•江油市开学）下列各数中，是负数的是
A．B．0C．D．
【答案】
【分析】根据负数的定义进行判断即可．
【解答】解：，均为正数，0既不是正数，也不是负数，是负数，
则，，均不符合题意，符合题意，
故选：．
【变式练1】（2023•江油市开学）在数，，，，，2023，，，0，中，负分数有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】
【分析】根据负分数的定义进行判断即可．
【解答】解：负分数有，，，，，共6个，
故选：．
【变式练2】（2022秋•河池期末）下列数中，是正整数的是
A．B．0C．1D．
【答案】
【分析】根据正整数的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：这四个数中，只有1是正整数，
只有选项符合题意，
故选：．
【变式练3】（2022秋•太平区校级期末）在，3.14，，0.1414，中，有理数的个数是
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】
【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在，3.14，，0.1414，中，有理数的个数为，3.14，，0.1414，共4个，
故选：．
【变式练4】（2023春•松北区校级月考）已知下列各数：，2.57，6，，，，，0，其中非负数有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】
【分析】非负数包括正数和0，选出即可．
【解答】解：非负数有2.57，6，，0，共4个，
故选：．
【变式练5】（2023•赣州三模）下列各数中，是负整数的是
A．0B．2C．D．
【答案】
【分析】根据有理数的概念进行求解．
【解答】解：．0是整数，不是负整数，故本选项不合题意；
．2是正整数，不是负整数，故本选项不合题意；
．是负分数，故本选项不合题意；
．是负整数，故本选项符合题意．
故选：．
考点2 数轴
【例2】（2023•兰山区开学）如图，点表示的数可能是
A．0.85B．1.1C．1.5D．1.25
【答案】
【分析】先观察数轴所处的位置，然后进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：点位于1和2之间，且没有在中点处，故选项、均不符合题意；
点的位置靠近1，但距离1的距离大约是1和2之间距离的，故选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【变式练1】（2023•路南区二模）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是
A．B．C．1D．2
【答案】
【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：根据数轴得：，
可以是．
故选：．
【变式练2】（2023•九台区校级模拟）如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据图中的点、点的取值及绝对值逐个判断即可．
【解答】解：、由图得，，故不正确，不符合题意；
、、异号，，故正确，符合题意；
、，，故不正确，不符合题意；
、，，故不正确，不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•郓城县校级模拟）如图，数轴上点、、、所表示的数分别是、、、，若，，则原点的位置在
A．点的左边B．线段上C．线段上D．线段上
【答案】
【分析】根据，，判断出，，，，即可得出原点的位置在线段上．
【解答】解：，
要么，、、，要么，，，，
又，
，，，，
原点的位置在线段上．
故选：．
【变式练4】（2022秋•吉州区期末）已知点为数轴上表示的点，当点沿数轴移动6个单位长度到点时，点所表示的数为
A．B．3C．和3D．和9
【答案】
【分析】根据题意分两种情况，①当点向正半轴移动时，②当点向负半轴移动时，进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
①当点向正半轴移动时，点表示的数为，
②当点向负半轴移动时，点表示的数为，
所以点表示的数为或3．
故选：．
【变式练5】（2022秋•曲阜市期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】数轴的点所表示的数，右边的总比左边的大．
【解答】解：由数轴可知，，，且，
，，
故选：．
考点3 比较大小
【例3】（2023•蕉城区校级开学）在、、0.375、0.37575这四个数中，最大的数是
A．B．C．0.375D．0.37575
【答案】
【分析】先把和化为小数，再进行比较即可．
【解答】解：，，
，
这四个数中最大的数是0.37575，
故选：．
【变式练1】（2022秋•新洲区期末）在四个数，0，1，2中，最小的数是
A．2B．0C．1D．
【答案】
【分析】先根据有理数的大小比较法则比较各个数的大小，再得出答案即可．
【解答】解：，
最小的数是，
故选：．
【变式练2】（2022秋•南通期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则数，，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据相反数的定义在数轴上找出表示、的点，然后借助数轴比较大小即可．
【解答】解：将，在数轴上表示为：
．
故选：．
【变式练3】（2022秋•梅里斯区期末）在数轴上表示和5.2之间的整数有
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】
【分析】画出数轴，在数轴上找出和5.2，进而可得出结论．
【解答】解：如图所示，
由图可知，数轴上和5.2之间的整数有，，0，1，2，3，4，5共8个．
故选：．
【变式练4】（2022秋•裕华区校级期末）、两数在数轴上的位置如图所示，将、、、用“”连接，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据、在数轴上的位置，可对、赋值，然后即可用“”连接．
【解答】解：令，，则，，
则可得．
故选：．
【变式练5】（2023•松原四模）在，，0，四个数中，最小的数是
A．B．C．0D．
【答案】
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数其绝对值大的反而小，可得答案．
【解答】解：，
故最小的数是．
故选：．
考点4 相反数、倒数、绝对值
【例4】（2023•镇江）的相反数是 ．
【答案】100．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得出结论．
【解答】解：的相反数为100，
故答案为：100．
【变式练1】（2023•枣庄二模）下列互为倒数的是
A．3和B．和2C．3和D．和
【答案】
【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、，
和互为倒数，符合题意；
、，
和2不互为倒数，不符合题意；
、，
和不互为倒数，不符合题意；
、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•临沂模拟）的绝对值是
A．B．C．D．2023
【答案】
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：，
故选：．
【变式练3】（2023•海棠区一模）的相反数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：的相反数是．
故选：．
【变式练4】（2023•桐柏县一模）的相反数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据绝对值、相反数的定义进行计算即可．
【解答】解：，
的相反数是，即，
故选：．
【变式练5】（2023•黔东南州二模）的倒数是
A．2B．C．D．
【答案】
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：的倒数是2，
故选：．
考点5 实数的运算
【例5】（2023春•乾安县期中）下列算式中，结果等于的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用有理数的加减运算计算后判断即可．
【解答】解：，选项符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不符合题意，
故选：．
【变式练1】（2023•河东区二模）计算的结果等于
A．B．2C．D．15
【答案】
【分析】根据有理数乘法法则，求出计算的结果即可．
【解答】解：，
计算的结果等于．
故选：．
【变式练2】（2022秋•武汉期末）计算的值是
A．3B．C．1D．
【答案】
【分析】根据有理数的除法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式
，
故选：．
【变式练3】（2023春•桥西区期末）一个数的立方是，则这个数是
A．2B．C．D．
【答案】
【分析】根据立方根的定义进行解答．
【解答】解：，
，
即的立方根是，
故选：．
【变式练4】（2022秋•鄞州区期末）下列四个式子中，计算结果最大的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
，
，
，
，
，
计算结果最大的是选项．
故选：．
考点6 科学计数法
【例6】（2022秋•安次区校级月考）上海合作组织青岛峰会期间，为推进：“一带一路”的建设，中国决定上海合作组织银行联合体框架内，设立300.6亿元人民币等值专项贷款，将300.6亿元用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将300.6亿元用科学记数法表示为：元．
故选：．
【变式练1】（2023•二道区校级开学）有一种新冠变异病毒的平均直径为0.0000033毫米，则0.0000033用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：．
故选：．
【变式练2】（2023春•连平县期末）人体中枢神经系统中含有1千亿个神经元．某个神经元的直径约为52微米，52微米为米．将用小数表示为
A．0.0052B．0.00052C．0.000052D．0.0000052
【答案】
【分析】只需将5.2的小数点向左平移5个数位即可．
【解答】解：，
故选．
【变式练3】（2022秋•南阳期末）据统计我国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据有效数字和科学记数法进行解答即可．
【解答】解：近似数499.5亿，精确到十亿位，用科学记数法表示为，
故选：．
【变式练4】（2023•文成县开学）2023年8月3日晚天空上演了“土星合月”的天文趣象，土星的直径约为，大约是月球直径的33倍．数据116000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法即为科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：，
故选：．
【变式练5】（2023•雁塔区校级开学）纳米是一种长度单位，1纳米米，已知某种植物花粉的直径约为31000纳米，用科学记数法表示该种花粉的直径为
A．米B．米C．米D．米
【答案】
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：（米，
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．描述一对具有相反意义的量，必须要把握关键词，如“上升，下降”，“盈利，亏损”等．描述相反意义可以用符号，例如“→”为正，则“←”为负数．
2．数轴上一个数对应点到原点的距离，叫做这个数的绝对值．
绝对值描述的是一个数在数轴上与原点之间的距离，故任何数的绝对值都不小于0，即为非负数．
3．正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值等于0，即
．
4．比较实数大小的五种方法
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小．
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小．
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小．
（5）差值比较法．
5．无理数常见的四种类型
（1）开不尽的数，如，．
（2）含有π的绝大部分数，如π，．
（3）具有特定结构的数，如0.10100000(两个1之间依次增加1个0)．
（4）三角函数数中的一些数，如，，．
6．实数大小比较的7种技巧
（1）比较绝对值法
（2）开方法
（3）平方法或立方法
（4）取近似值法
（5）放缩法
（6）作差法
（7）特殊值法