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专题12 函数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）
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这是一份专题12 函数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共36页。试卷主要包含了函数及函数值，自变量的取值范围，函数的表示方法，函数的图象，函数的图象及其画法等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．函数及函数值
（1）函数的定义：在某个变化过程中，两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
（2）函数值：对于一个函数，当自变量x=a时，求出对应的y值，称为当x=a时的函数值．
2．自变量的取值范围
3．函数的表示方法：解析法、图象法、列表法．
4．函数的图象
（1）概念：对一个函数，把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为横坐标、纵坐标，在坐标平面内有一个相应的点，这些点的全体组成的图形就是函数的图象．
（2）画法（描点法）：
①列表：列表求出自变量、函数的一些对应值；
②描点：以表中的对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；
③连线：按自变量从小到大的顺序，把所描各个点用平滑的曲线顺次连接起来．
（3）点在函数图象上的判断：
把一个点的坐标代入函数关系式，如果等式成立，那么点在函数图象上；如果等式不成立，那么点不在函数图象上．
（4）函数图象的性质：
一般地，函数图象的上升线表示因变量随自变量取值的增加而增加，下降线表示因变量随自变量取值的增加而减少，水平线表示因变量不随自变量取值的变化而发生变化．
上升线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越慢；上升线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越快．
下降线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越慢；下降线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越快．
吃透考点
1．常量和变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
（1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．
（2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．
（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．
（4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．
2．函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：
（1）有两个变量．
（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．
3．自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．
当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
4．函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
（1）函数解析式是等式．
（2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．
（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
5．函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
考点1 常量与变量
【例1】（2020•河北模拟）在圆的面积计算公式中，变量是
A．B．C．，D．，
【分析】在圆的面积计算公式中，是圆周率，是常数，变量为，．
【解答】解：在圆的面积计算公式中，变量为，．
故选：．
【变式练1】（2023•贺州一模）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断正确的是
A．2是变量B．是变量C．是变量D．是常量
【答案】
【分析】根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
在中．2，为常量，是自变量，是因变量．
故选：．
【变式练2】（2019•通州区模拟）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是
A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼
【答案】
【分析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量和，对于每一个的值，都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间，因变量是体温．
【解答】解：骆驼的体温随时间的变化而变化，
自变量是时间，因变量是体温，
故选：．
【变式练3】（2017•长乐市校级模拟）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定长时，在此式中
A．，是变量，，是常量B．，，是变量，是常量
C．，，是变量，是常量D．是变量，，，是常量
【答案】
【分析】根据函数的定义：对于函数中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应；来解答即可．
【解答】解：三角形面积，
当为定长时，在此式中、是变量，
，是常量；
故选：．
【变式练4】（2023•南海区校级模拟）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是
A．变量是，；常量是，B．变量是，；常量是
C．变量是，，；常量是D．变量是，；常量是
【答案】
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
【解答】解：球的体积是，球的半径为，则，
其中变量是，；常量是，
故选：．
【变式练5】（2023•蓬江区校级三模）如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为
A．的度数B．的长度C．的长度D．的面积
【答案】
【分析】根据常量和变量的定义进行判断．
【解答】解：木条绕点自由转动至过程中，的长度始终不变，
故的长度是常量；
而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量．
故选：．
考点2 函数的概念
【例2】（2021•南明区模拟）下列各曲线中，不表示是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然、、选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
选项对于取值时，都有2个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
【变式练1】（2021•饶平县校级模拟）下列关系中，不是的函数关系的是
A．长方形的长一定时，其面积与宽
B．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶的时间
C．
D．
【答案】
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，没有唯一确定的值，故错误；
故选：．
【变式练2】（2020•裕华区校级模拟）下列图象中，不是的函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则叫自变量，是的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解答】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应．而中的的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：．
【变式练3】（2020•成都模拟）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以只有选项不满足条件．
故选：．
【变式练4】（2019•河池一模）下列关系式中，不是自变量的函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定自变量是的函数．
【解答】解：、当取值时，有唯一的值对应；
、当取值时，有唯一的值对应；
、当取值时，有唯一的值对应；
、当取值时，有不唯一的值对应，故错误，
故选：．
【变式练5】（2018•梁山县一模）下列曲线所表示的与之间关系不是函数关系的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：，，的图象都符合对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故，，的都是函数；
、的图象不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不符合题意；
故选：．
考点3 函数关系式
【例3】（2023•天心区校级一模）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量（升与流出时间（分钟）的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用油箱中存油量20升流出油量剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：．
【变式练1】（2023•两江新区一模）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量（升与流出时间（分钟）的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用油箱中存油量40升流出油量剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：．
【变式练2】（2023•遵化市模拟）某汽车油箱中盛有油，装满货物行驶的过程中每小时耗油，则油箱中的剩油量与时间之间的关系式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据油箱剩油量等于总油量减去消耗的油量列出关系式即可．
【解答】解：油箱剩油量，
故选：．
【变式练3】（2023•甘井子区校级模拟）有一个长为15，宽为10的长方形，若将这个长方形的宽增加，长不变，所得新长方形的面积与的关系式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用长方形的面积公式解答即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：．
【变式练4】（2023•裕华区校级模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米的对应数据如下表．根据表中数据，可得关于的函数表达式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用已知数据可得，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：，
故关于的函数表达式为：．
故选：．
【变式练5】（2023•浙江二模）一辆汽车油箱内有油62升．如果设油箱内剩油量为（升，行驶路程为（千米），则随的变化而变化．
请根据表格中的数据写出（升与（千米）之间的关系式 ．
【答案】．
【分析】根据题意列出算式，即可求出答案．
【解答】解：（千米升），
．
故答案为：．
考点4 函数自变量的取值范围
【例4】（2023•梁溪区二模）函数中自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故函数中自变量的取值范围是．
故选：．
【变式练1】（2023•绥化模拟）在函数中，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：．
【变式练2】（2023•耿马县二模）函数中，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【变式练3】（2023•平昌县校级模拟）函数的自变量取值范围是
A．B．C．D．且
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故选：．
【变式练4】（2023•美兰区校级模拟）函数的自变量的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故选：．
【变式练5】（2023•内江模拟）函数的自变量的取值范围是
A．B．C．且D．或
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
考点5 函数值
【例5】（2023•奉贤区一模）已知，那么的值是 ．
【答案】．
【分析】将代入求解即可．
【解答】解：将代入，
得，
故答案为：．
【变式练1】（2023•浦东新区校级模拟）已知函数，则（3） ．
【答案】．
【分析】将代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
【解答】解：，
（3），
故答案为：．
【变式练2】（2023•恩阳区 模拟）已知，那么 4 ．
【答案】4．
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：，
当时，．
故答案为：4．
【变式练3】（2023•普陀区二模）已知，那么（3） 3 ．
【答案】3．
【分析】根据函数、函数值的定义进行计算即可．
【解答】解：，
（3），
故答案为：3．
【变式练4】（2023•长宁区二模）已知，那么 ．
【答案】．
【分析】将的值代入解析式求值．
【解答】解：由题意得，．
故答案为：．
【变式练5】（2023•徐汇区二模）已知，那么 ．
【答案】．
【分析】根据，可以求得的值，本题得以解决．
【解答】解：，
，
故答案为：．
考点6 函数的图象
【例6】（2023•邵阳县二模）早上李奶奶从家出发去超市买菜，付完钱后发现提不动，于是叫了滴滴打车回家．若设李奶奶离开家的距离为（米，离家时间为（分钟），则反映该情景的大致图象为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分三段分析，去超市买菜、付完钱后发现提不动、叫了滴滴打车回家，分析函数图象的性质，进行判断即可．
【解答】解：由题意得，最初与家的距离随时间的增大而增大，付完钱后发现提不动，时间增大而不变，叫了滴滴打车回家时，与家的距离随时间的增大而减小，
故选：．
【变式练1】（2023•博山区二模）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是
A．B．
C．D．
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【解答】解：
公共汽车经历：加速匀速减速到站加速匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0．
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有选项符合．
故选：．
【变式练2】（2023•临川区校级一模）在七年级的学习中，我们知道了．小明同学突发奇想，画出了函数的图象，你认为正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据绝对值的非负，结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：中非负，
符合函数图象的选项为．
故选：．
【变式练3】（2023•亭湖区校级三模）下列四个函数图象中，的大致图象
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据的取值范围可以判断的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：，
当时，；
当时，，
故选：．
【变式练4】（2023•武昌区模拟）如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而
A．增大B．减小
C．不变D．有时增大有时减小
【答案】
【分析】根据函数增减性定义，从左往右看，函数图象是下降的，即可确定随的增大而减小．
【解答】解：如图所示，从左往右看，函数图象是下降的，
随的增大而减小，
故选：．
【变式练5】（2023•鄱阳县二模）如图，这是某区域海水盐度随着纬度的变化情况，下列说法中不正确的是
A．北纬的海水盐度为
B．从北纬到北纬，海水盐度不断升高
C．北纬的海水盐度最高
D．此区域海水最高盐度与最低盐度之差为
【答案】
【分析】根据自变量的值与函数值的对应关系，可得相应的函数值；再结合函数图象的增减性解答即可．
【解答】解：由函数图象，得：
北纬的海水盐度为，故选项说法正确，不符合题意；
从北纬到北纬，海水盐度不断下降，从北纬到北纬，海水盐度不断升高，故选项说法错误，符合题意；
北纬的海水盐度最高，故选项说法正确，不符合题意；
此区域海水最高盐度与最低盐度之差为：，故选项说法正确，不符合题意；
故选：．
考点7 动点问题的函数图象
【例7】（2023•淮阳区三模）如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线 向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为
A．4B．C．8D．
【答案】
【分析】点运动到点处时，为4，即为4，当点运动到点处时，路程为8，即为8，证明，求出、，在中利用勾股定理求出即可．
【解答】解：由图2得，当点运动到点处时，为4，即为4，
如图，当点运动到点处时，路程为8，即为8，
，
，
，即，，
，
在中，，
．
故选：．
【变式练1】（2023•金水区校级三模）如图，，是半径为1的上两点，且，点从点出发，在上以每秒一个单位长度的速度按逆时针方向匀速运动，回到点运动结束，设运动时间为（单位：，弦的长为，那么下列图象中可能表示与函数关系的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】由图得，当点在弧上时，随的增大而减小；当点在弧上时，随的增大而增大；当点在弧上时，随的增大而减小；即可判断答案．
【解答】解：如图，设过的直径为，
由图得，当点在弧上时，随的增大而减小；
当点在弧上时，随的增大而增大；
当点在弧上时，随的增大而减小；
的变化是先减小后增大再减小，
故选：．
【变式练2】（2023•焦作二模）如图，在中，，，，点为边上一动点，过点作直线，交折线于点．设，，则关于的函数图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分两种情况：当点在时，当点在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【解答】解：，，，
，
当点在时，
直线，
，
，
，
，
即，
解得：；
当点在时，如图，
直线，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，关于的函数图象大致是：
故选：．
【变式练3】（2023•夹江县模拟）如图，在中，已知，，．点是边上的一个动点（不与端点和重合），过作交于点，点在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】作于，在中表示出，证明，表示出，再利用三角形面积表示出函数即可．
【解答】解：如图，作于，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
其中．
故选：．
【变式练4】（2023•兴隆台区二模）如图，在菱形中，已知，．动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为秒，的面积为．则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】由菱形的性质可证和都是等边三角形，可得，，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求与之间函数关系，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：当时，如图1，过点作于，
由题意可得，
在菱形中，，，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
的面积；
当时，如图2，过点作于，
由题意可得，
，
，
的面积，
该图象开口向上，对称轴为直线，
在时，随的增大而增大，
当时，有最大值为，
故选：．
【变式练5】（2023•延津县三模）如图（1），在矩形中，点是边的中点，动点从点出发，沿着折线运动到点停止．设动点运动的路程为，的面积为（当点与点，重合时，令，与的函数关系的图象如图（2）所示，则的面积为
A．4.8B．12C．8D．6
【答案】
【分析】根据题干条件结合图（1）、图（2），列出相关的等式，最后利用相关联的条件解出值，问题即可迎刃而解．
【解答】解：结合图1、图2可知，当点从点运动到点时，对应横坐标为，
．
由点是的中点及矩形对边相等知，
，
，
即①，
结合图1、图2可知，当点从点运动到点时，对应横坐标为5，对应的的面积，
，．
由勾股定理得，，
②，
，且，
③，
，
解关于的二次方程，得或（不合题意，舍去）．
的面积为：，
结合③式可得：．
故选：．
考点8 函数的表示方法
【例8】（2023•金湖县三模）在某次试验中，测得两个变量和之间的4组对应数据如下表：
则和之间的关系最接近于下列各关系式中的
A．B．C．D．
【答案】
【分析】对函数值取近似整数值，然后根据函数值是自变量的平方减1进行解答．
【解答】解：观察发现，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
．
故选：．
【变式练1】（2022•淮北模拟）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案．
【解答】解：由表格中“放水时间”与“水池中水量”对应值的变化规律可知，
放水时间每增加，水池中水量就减少，
所以当放水时间为时，水池中水量为，
故选：．
【变式练2】（2022•章丘区模拟）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度与摄氏温度之间的关系满足如表：
若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ．
【答案】．
【分析】根据表格中“摄氏（单位”与“华氏（单位”之间的变化关系得出函数关系式，再将代入计算即可．
【解答】解：由表格中两个变量的变化关系可得，
，
当时，，
故答案为：．
【变式练3】（2022•济阳区一模）甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315米的公路．在施工过程中，甲队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务．下表根据每天工程进度制作而成的．
甲队技术改进后比技术改进前每天多修路 15 米．
【答案】15．
【分析】先根据第4、5两天的施工量求出乙每天修路15米，再根据第2、3两天的施工量求出甲技术改进前每天修路10米，再根据第5、6两天的施工量求出甲队技术改进后每天修路25米，最后求出甲队技术改进后比技术改进前每天多修路的米数即可．
【解答】解：有题意可知，乙队每天修路：（米，
甲队技术改进前甲乙两人每天共修路：（米，
甲队技术改进前每天修路：（米，
根据表格可知，甲队技术改进后每天修路：（米，
甲队技术改进后比技术改进前每天多修路：（米，
故答案为：15．
【变式练4】（2021•广东模拟）已知是的函数，用列表法给出部分与的值，表中“▲”处的数是 12 ．
【答案】12．
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】解：设解析式为，
将代入解析式得，
这个函数关系式为：，
把代入得，
表中“▲”处的数为12，
故答案为：12．
【变式练5】（2019•平谷区二模）下表是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母的值是
A．45B．50C．53D．68
【答案】
【分析】由题意可知：摄氏温度每增加，华氏温度增加，据此可得的值．
【解答】解：由题可得，每增加，华氏温度增加，
，
故选：．
考点9 分段函数
【例9】（2022•兴山县一模）在国内投寄到外地质量为以内的普通信函应付邮资如下表：
某同学想寄一封质量为的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是
A．4.80B．3.60C．2.40D．1.20
【分析】当时，邮资元，据此可得结论．
【解答】解：由题可得，当时，邮资元，
同学想寄一封质量为的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，
故选：．
【变式练1】（2021•锡山区校级模拟）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离，单位：公里．
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是 4 元．
【答案】4．
【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．
【解答】解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第22次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费（元，
故答案为：4．
【变式练2】（2020•海淀区校级一模）北京地铁票价计费标准如表所示：
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．
小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是
A．2.5元B．3元C．4元D．5元
【答案】
【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．
【解答】解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费元，
故选：．
【变式练3】（2016•苏州模拟）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 838或910 元．
【分析】根据题意知付款480元时，其实际标价为为480或600元，付款520元，实际标价为650元，求出一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可．
【解答】解：由题意知付款480元，实际标价为480或元，
付款520元，实际标价为元，
如果一次购买标价元的商品应付款
元．
如果一次购买标价元的商品应付款
元．
故答案为：838或910．
【变式练4】（2015•诸城市二模）为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．该市一位同学家2015年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．如果该同学家4月份用电410千瓦时，那么电费为 269 元．
【分析】根据基本价格加提高价格等于电费，可得方程组，根据解方程组，可得基本单价，提高单价，根据用电量，可得答案．
【解答】解：设基本单价为元，提高单价为元，由题意，得
，
解得．
元，
故答案为：269．
【变式练5】（2012•西安模拟）诸暨“天天速递”快递公司规定：重量在2000克以内的包裹快递邮资标准如下表：
如果某人从该公司快递900克的包裹到距诸暨的某地，他应付的邮资是
A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元
【分析】根据表格，写出邮资与运送距离的函数关系式，判断出，得到邮资的值．
【解答】解：邮资与运送距离的函数关系式为
，
，
，
故选：．
所给代数式的形式
自变量的取值范围
整式
全体实数
分式
使分母不为0的一切实数．
【提醒】不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．
二次根式
被开方式为非负数
复合形式
列不等式组，兼顾所有式子同时有意义．
方
法
技
巧
点
拨
1．一个函数问题，只与自变量、函数之间的对应关系有关，而与自变量、函数采用什么字母无关．
2．求函数的值，实质上就是求自变量取某一个值时，代数式的值．
3．不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．
近视眼镜的度数（度
200
250
400
500
1000
镜片焦距（米
0.5
0.4
0.25
0.2
0.1
行驶路程（千米）
100
200
300
400
油箱内剩油量（升
50
38
26
14
1
2
3
4
0.01
2.88
8.03
15.01
放水时间
1
2
3
4
水池中水量
48
46
44
42
摄氏（单位
0
10
20
30
华氏（单位
14
32
50
68
86
施工时间天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
累计完成施工量米
25
50
75
100
115
155
195
235
275
315
1
2
3
4
6
▲
6
4
3
2
华氏
23
32
41
59
摄氏
0
5
10
15
信件质量
邮资元
1.20
2.40
3.60
4.80
乘车距离
票价（元
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
乘车距离（公里）
票价（元
3
4
5
6
每增加1元可乘坐20公里
运送距离
邮资（元
5.00
6.00
7.00
8.00
夯实基础
1．函数及函数值
（1）函数的定义：在某个变化过程中，两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
（2）函数值：对于一个函数，当自变量x=a时，求出对应的y值，称为当x=a时的函数值．
2．自变量的取值范围
3．函数的表示方法：解析法、图象法、列表法．
4．函数的图象
（1）概念：对一个函数，把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为横坐标、纵坐标，在坐标平面内有一个相应的点，这些点的全体组成的图形就是函数的图象．
（2）画法（描点法）：
①列表：列表求出自变量、函数的一些对应值；
②描点：以表中的对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；
③连线：按自变量从小到大的顺序，把所描各个点用平滑的曲线顺次连接起来．
（3）点在函数图象上的判断：
把一个点的坐标代入函数关系式，如果等式成立，那么点在函数图象上；如果等式不成立，那么点不在函数图象上．
（4）函数图象的性质：
一般地，函数图象的上升线表示因变量随自变量取值的增加而增加，下降线表示因变量随自变量取值的增加而减少，水平线表示因变量不随自变量取值的变化而发生变化．
上升线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越慢；上升线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的增加越快．
下降线倾斜程度越小表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越慢；下降线倾斜程度越大表示：随着自变量取值的增加，因变量取值的减少越快．
吃透考点
1．常量和变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
（1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．
（2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．
（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．
（4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．
2．函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：
（1）有两个变量．
（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．
（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．
3．自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．
当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
4．函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
（1）函数解析式是等式．
（2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．
（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
5．函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
考点1 常量与变量
【例1】（2020•河北模拟）在圆的面积计算公式中，变量是
A．B．C．，D．，
【分析】在圆的面积计算公式中，是圆周率，是常数，变量为，．
【解答】解：在圆的面积计算公式中，变量为，．
故选：．
【变式练1】（2023•贺州一模）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断正确的是
A．2是变量B．是变量C．是变量D．是常量
【答案】
【分析】根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
在中．2，为常量，是自变量，是因变量．
故选：．
【变式练2】（2019•通州区模拟）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是
A．沙漠B．体温C．时间D．骆驼
【答案】
【分析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量和，对于每一个的值，都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间，因变量是体温．
【解答】解：骆驼的体温随时间的变化而变化，
自变量是时间，因变量是体温，
故选：．
【变式练3】（2017•长乐市校级模拟）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定长时，在此式中
A．，是变量，，是常量B．，，是变量，是常量
C．，，是变量，是常量D．是变量，，，是常量
【答案】
【分析】根据函数的定义：对于函数中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应；来解答即可．
【解答】解：三角形面积，
当为定长时，在此式中、是变量，
，是常量；
故选：．
【变式练4】（2023•南海区校级模拟）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是
A．变量是，；常量是，B．变量是，；常量是
C．变量是，，；常量是D．变量是，；常量是
【答案】
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
【解答】解：球的体积是，球的半径为，则，
其中变量是，；常量是，
故选：．
【变式练5】（2023•蓬江区校级三模）如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为
A．的度数B．的长度C．的长度D．的面积
【答案】
【分析】根据常量和变量的定义进行判断．
【解答】解：木条绕点自由转动至过程中，的长度始终不变，
故的长度是常量；
而的度数、的长度、的面积一直在变化，均是变量．
故选：．
考点2 函数的概念
【例2】（2021•南明区模拟）下列各曲线中，不表示是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然、、选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
选项对于取值时，都有2个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
【变式练1】（2021•饶平县校级模拟）下列关系中，不是的函数关系的是
A．长方形的长一定时，其面积与宽
B．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶的时间
C．
D．
【答案】
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，都有唯一确定的值，故正确；
、对于的每一个取值，没有唯一确定的值，故错误；
故选：．
【变式练2】（2020•裕华区校级模拟）下列图象中，不是的函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则叫自变量，是的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解答】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量、，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，都有唯一确定的值和它对应．而中的的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：．
【变式练3】（2020•成都模拟）下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以只有选项不满足条件．
故选：．
【变式练4】（2019•河池一模）下列关系式中，不是自变量的函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定自变量是的函数．
【解答】解：、当取值时，有唯一的值对应；
、当取值时，有唯一的值对应；
、当取值时，有唯一的值对应；
、当取值时，有不唯一的值对应，故错误，
故选：．
【变式练5】（2018•梁山县一模）下列曲线所表示的与之间关系不是函数关系的是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：，，的图象都符合对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故，，的都是函数；
、的图象不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不符合题意；
故选：．
考点3 函数关系式
【例3】（2023•天心区校级一模）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量（升与流出时间（分钟）的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用油箱中存油量20升流出油量剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：．
【变式练1】（2023•两江新区一模）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量（升与流出时间（分钟）的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用油箱中存油量40升流出油量剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：．
【变式练2】（2023•遵化市模拟）某汽车油箱中盛有油，装满货物行驶的过程中每小时耗油，则油箱中的剩油量与时间之间的关系式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据油箱剩油量等于总油量减去消耗的油量列出关系式即可．
【解答】解：油箱剩油量，
故选：．
【变式练3】（2023•甘井子区校级模拟）有一个长为15，宽为10的长方形，若将这个长方形的宽增加，长不变，所得新长方形的面积与的关系式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用长方形的面积公式解答即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：．
【变式练4】（2023•裕华区校级模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米的对应数据如下表．根据表中数据，可得关于的函数表达式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用已知数据可得，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：，
故关于的函数表达式为：．
故选：．
【变式练5】（2023•浙江二模）一辆汽车油箱内有油62升．如果设油箱内剩油量为（升，行驶路程为（千米），则随的变化而变化．
请根据表格中的数据写出（升与（千米）之间的关系式 ．
【答案】．
【分析】根据题意列出算式，即可求出答案．
【解答】解：（千米升），
．
故答案为：．
考点4 函数自变量的取值范围
【例4】（2023•梁溪区二模）函数中自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故函数中自变量的取值范围是．
故选：．
【变式练1】（2023•绥化模拟）在函数中，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：．
【变式练2】（2023•耿马县二模）函数中，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
【变式练3】（2023•平昌县校级模拟）函数的自变量取值范围是
A．B．C．D．且
【答案】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故选：．
【变式练4】（2023•美兰区校级模拟）函数的自变量的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故选：．
【变式练5】（2023•内江模拟）函数的自变量的取值范围是
A．B．C．且D．或
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
考点5 函数值
【例5】（2023•奉贤区一模）已知，那么的值是 ．
【答案】．
【分析】将代入求解即可．
【解答】解：将代入，
得，
故答案为：．
【变式练1】（2023•浦东新区校级模拟）已知函数，则（3） ．
【答案】．
【分析】将代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
【解答】解：，
（3），
故答案为：．
【变式练2】（2023•恩阳区 模拟）已知，那么 4 ．
【答案】4．
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：，
当时，．
故答案为：4．
【变式练3】（2023•普陀区二模）已知，那么（3） 3 ．
【答案】3．
【分析】根据函数、函数值的定义进行计算即可．
【解答】解：，
（3），
故答案为：3．
【变式练4】（2023•长宁区二模）已知，那么 ．
【答案】．
【分析】将的值代入解析式求值．
【解答】解：由题意得，．
故答案为：．
【变式练5】（2023•徐汇区二模）已知，那么 ．
【答案】．
【分析】根据，可以求得的值，本题得以解决．
【解答】解：，
，
故答案为：．
考点6 函数的图象
【例6】（2023•邵阳县二模）早上李奶奶从家出发去超市买菜，付完钱后发现提不动，于是叫了滴滴打车回家．若设李奶奶离开家的距离为（米，离家时间为（分钟），则反映该情景的大致图象为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分三段分析，去超市买菜、付完钱后发现提不动、叫了滴滴打车回家，分析函数图象的性质，进行判断即可．
【解答】解：由题意得，最初与家的距离随时间的增大而增大，付完钱后发现提不动，时间增大而不变，叫了滴滴打车回家时，与家的距离随时间的增大而减小，
故选：．
【变式练1】（2023•博山区二模）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是
A．B．
C．D．
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【解答】解：
公共汽车经历：加速匀速减速到站加速匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0．
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有选项符合．
故选：．
【变式练2】（2023•临川区校级一模）在七年级的学习中，我们知道了．小明同学突发奇想，画出了函数的图象，你认为正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据绝对值的非负，结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：中非负，
符合函数图象的选项为．
故选：．
【变式练3】（2023•亭湖区校级三模）下列四个函数图象中，的大致图象
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据的取值范围可以判断的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：，
当时，；
当时，，
故选：．
【变式练4】（2023•武昌区模拟）如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而
A．增大B．减小
C．不变D．有时增大有时减小
【答案】
【分析】根据函数增减性定义，从左往右看，函数图象是下降的，即可确定随的增大而减小．
【解答】解：如图所示，从左往右看，函数图象是下降的，
随的增大而减小，
故选：．
【变式练5】（2023•鄱阳县二模）如图，这是某区域海水盐度随着纬度的变化情况，下列说法中不正确的是
A．北纬的海水盐度为
B．从北纬到北纬，海水盐度不断升高
C．北纬的海水盐度最高
D．此区域海水最高盐度与最低盐度之差为
【答案】
【分析】根据自变量的值与函数值的对应关系，可得相应的函数值；再结合函数图象的增减性解答即可．
【解答】解：由函数图象，得：
北纬的海水盐度为，故选项说法正确，不符合题意；
从北纬到北纬，海水盐度不断下降，从北纬到北纬，海水盐度不断升高，故选项说法错误，符合题意；
北纬的海水盐度最高，故选项说法正确，不符合题意；
此区域海水最高盐度与最低盐度之差为：，故选项说法正确，不符合题意；
故选：．
考点7 动点问题的函数图象
【例7】（2023•淮阳区三模）如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线 向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为
A．4B．C．8D．
【答案】
【分析】点运动到点处时，为4，即为4，当点运动到点处时，路程为8，即为8，证明，求出、，在中利用勾股定理求出即可．
【解答】解：由图2得，当点运动到点处时，为4，即为4，
如图，当点运动到点处时，路程为8，即为8，
，
，
，即，，
，
在中，，
．
故选：．
【变式练1】（2023•金水区校级三模）如图，，是半径为1的上两点，且，点从点出发，在上以每秒一个单位长度的速度按逆时针方向匀速运动，回到点运动结束，设运动时间为（单位：，弦的长为，那么下列图象中可能表示与函数关系的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】由图得，当点在弧上时，随的增大而减小；当点在弧上时，随的增大而增大；当点在弧上时，随的增大而减小；即可判断答案．
【解答】解：如图，设过的直径为，
由图得，当点在弧上时，随的增大而减小；
当点在弧上时，随的增大而增大；
当点在弧上时，随的增大而减小；
的变化是先减小后增大再减小，
故选：．
【变式练2】（2023•焦作二模）如图，在中，，，，点为边上一动点，过点作直线，交折线于点．设，，则关于的函数图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分两种情况：当点在时，当点在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【解答】解：，，，
，
当点在时，
直线，
，
，
，
，
即，
解得：；
当点在时，如图，
直线，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，关于的函数图象大致是：
故选：．
【变式练3】（2023•夹江县模拟）如图，在中，已知，，．点是边上的一个动点（不与端点和重合），过作交于点，点在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】作于，在中表示出，证明，表示出，再利用三角形面积表示出函数即可．
【解答】解：如图，作于，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
其中．
故选：．
【变式练4】（2023•兴隆台区二模）如图，在菱形中，已知，．动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为秒，的面积为．则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】由菱形的性质可证和都是等边三角形，可得，，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求与之间函数关系，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：当时，如图1，过点作于，
由题意可得，
在菱形中，，，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
的面积；
当时，如图2，过点作于，
由题意可得，
，
，
的面积，
该图象开口向上，对称轴为直线，
在时，随的增大而增大，
当时，有最大值为，
故选：．
【变式练5】（2023•延津县三模）如图（1），在矩形中，点是边的中点，动点从点出发，沿着折线运动到点停止．设动点运动的路程为，的面积为（当点与点，重合时，令，与的函数关系的图象如图（2）所示，则的面积为
A．4.8B．12C．8D．6
【答案】
【分析】根据题干条件结合图（1）、图（2），列出相关的等式，最后利用相关联的条件解出值，问题即可迎刃而解．
【解答】解：结合图1、图2可知，当点从点运动到点时，对应横坐标为，
．
由点是的中点及矩形对边相等知，
，
，
即①，
结合图1、图2可知，当点从点运动到点时，对应横坐标为5，对应的的面积，
，．
由勾股定理得，，
②，
，且，
③，
，
解关于的二次方程，得或（不合题意，舍去）．
的面积为：，
结合③式可得：．
故选：．
考点8 函数的表示方法
【例8】（2023•金湖县三模）在某次试验中，测得两个变量和之间的4组对应数据如下表：
则和之间的关系最接近于下列各关系式中的
A．B．C．D．
【答案】
【分析】对函数值取近似整数值，然后根据函数值是自变量的平方减1进行解答．
【解答】解：观察发现，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
．
故选：．
【变式练1】（2022•淮北模拟）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，则放水后，水池中还有水
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案．
【解答】解：由表格中“放水时间”与“水池中水量”对应值的变化规律可知，
放水时间每增加，水池中水量就减少，
所以当放水时间为时，水池中水量为，
故选：．
【变式练2】（2022•章丘区模拟）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度与摄氏温度之间的关系满足如表：
若火星上的平均温度大约为，则此温度换算成华氏温度约为 ．
【答案】．
【分析】根据表格中“摄氏（单位”与“华氏（单位”之间的变化关系得出函数关系式，再将代入计算即可．
【解答】解：由表格中两个变量的变化关系可得，
，
当时，，
故答案为：．
【变式练3】（2022•济阳区一模）甲、乙两施工队分别从两端修一段长度为315米的公路．在施工过程中，甲队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与乙队共同按期完成任务．下表根据每天工程进度制作而成的．
甲队技术改进后比技术改进前每天多修路 15 米．
【答案】15．
【分析】先根据第4、5两天的施工量求出乙每天修路15米，再根据第2、3两天的施工量求出甲技术改进前每天修路10米，再根据第5、6两天的施工量求出甲队技术改进后每天修路25米，最后求出甲队技术改进后比技术改进前每天多修路的米数即可．
【解答】解：有题意可知，乙队每天修路：（米，
甲队技术改进前甲乙两人每天共修路：（米，
甲队技术改进前每天修路：（米，
根据表格可知，甲队技术改进后每天修路：（米，
甲队技术改进后比技术改进前每天多修路：（米，
故答案为：15．
【变式练4】（2021•广东模拟）已知是的函数，用列表法给出部分与的值，表中“▲”处的数是 12 ．
【答案】12．
【分析】用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将表中代入，即可求出“▲”处的数．
【解答】解：设解析式为，
将代入解析式得，
这个函数关系式为：，
把代入得，
表中“▲”处的数为12，
故答案为：12．
【变式练5】（2019•平谷区二模）下表是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母的值是
A．45B．50C．53D．68
【答案】
【分析】由题意可知：摄氏温度每增加，华氏温度增加，据此可得的值．
【解答】解：由题可得，每增加，华氏温度增加，
，
故选：．
考点9 分段函数
【例9】（2022•兴山县一模）在国内投寄到外地质量为以内的普通信函应付邮资如下表：
某同学想寄一封质量为的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是
A．4.80B．3.60C．2.40D．1.20
【分析】当时，邮资元，据此可得结论．
【解答】解：由题可得，当时，邮资元，
同学想寄一封质量为的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，
故选：．
【变式练1】（2021•锡山区校级模拟）某市地铁票价计费标准如表所示：乘车距离，单位：公里．
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第22次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是 4 元．
【答案】4．
【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．
【解答】解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第22次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费（元，
故答案为：4．
【变式练2】（2020•海淀区校级一模）北京地铁票价计费标准如表所示：
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折．
小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是
A．2.5元B．3元C．4元D．5元
【答案】
【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．
【解答】解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费元，
故选：．
【变式练3】（2016•苏州模拟）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 838或910 元．
【分析】根据题意知付款480元时，其实际标价为为480或600元，付款520元，实际标价为650元，求出一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可．
【解答】解：由题意知付款480元，实际标价为480或元，
付款520元，实际标价为元，
如果一次购买标价元的商品应付款
元．
如果一次购买标价元的商品应付款
元．
故答案为：838或910．
【变式练4】（2015•诸城市二模）为鼓励居民节约用电，某市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．该市一位同学家2015年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．如果该同学家4月份用电410千瓦时，那么电费为 269 元．
【分析】根据基本价格加提高价格等于电费，可得方程组，根据解方程组，可得基本单价，提高单价，根据用电量，可得答案．
【解答】解：设基本单价为元，提高单价为元，由题意，得
，
解得．
元，
故答案为：269．
【变式练5】（2012•西安模拟）诸暨“天天速递”快递公司规定：重量在2000克以内的包裹快递邮资标准如下表：
如果某人从该公司快递900克的包裹到距诸暨的某地，他应付的邮资是
A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元
【分析】根据表格，写出邮资与运送距离的函数关系式，判断出，得到邮资的值．
【解答】解：邮资与运送距离的函数关系式为
，
，
，
故选：．
所给代数式的形式
自变量的取值范围
整式
全体实数
分式
使分母不为0的一切实数．
【提醒】不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．
二次根式
被开方式为非负数
复合形式
列不等式组，兼顾所有式子同时有意义．
方
法
技
巧
点
拨
1．一个函数问题，只与自变量、函数之间的对应关系有关，而与自变量、函数采用什么字母无关．
2．求函数的值，实质上就是求自变量取某一个值时，代数式的值．
3．不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义．
近视眼镜的度数（度
200
250
400
500
1000
镜片焦距（米
0.5
0.4
0.25
0.2
0.1
行驶路程（千米）
100
200
300
400
油箱内剩油量（升
50
38
26
14
1
2
3
4
0.01
2.88
8.03
15.01
放水时间
1
2
3
4
水池中水量
48
46
44
42
摄氏（单位
0
10
20
30
华氏（单位
14
32
50
68
86
施工时间天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
累计完成施工量米
25
50
75
100
115
155
195
235
275
315
1
2
3
4
6
▲
6
4
3
2
华氏
23
32
41
59
摄氏
0
5
10
15
信件质量
邮资元
1.20
2.40
3.60
4.80
乘车距离
票价（元
3
4
5
6
每增加1元可乘20公里
乘车距离（公里）
票价（元
3
4
5
6
每增加1元可乘坐20公里
运送距离
邮资（元
5.00
6.00
7.00
8.00
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