数学八年级上册2 线段垂直平分线课文内容课件ppt
展开我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.我们也可以用逻辑推理的方法证明这一结论.
(一)线段垂直平分线的性质定理
如图,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上的任意一点,连结PA、PB.求证:PA=PB.
证明:在△APC 和△BPC 中,∵PC=PC,∠PCB=∠PCA,AC=BC,∴△APC≌△BPC().∴PA=PB.
已知:MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证:PA=PB.
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
(二)线段垂直平分线的判定定理
上述命题的逆命题应当怎样表述?
逆命题:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如果有一点到一条线段的两个端点的距离相等,那么这一点在这条线段的垂直平分线上.
将其改写成“如果……,那么……”的形式.
命题:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
已知:如图,QA=QB.求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.
证明:设点C为线段AB的中点,连结QC,在△ACQ与△BCQ中,∵QA=QB,AC=BC,QC=QC,∴ △ACQ≌△BCQ,∴∠QCA=∠QCB.又∵∠QCA+∠QCB=180°,∴ ∠QCA=∠QCB=90°.∴QC垂直平分线段AB.∴点Q在线段AB垂直平分线上.
到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
上述两条定理互为逆定理,根据上述两条定理,我们很容易证明:三角形三边的垂直平分线交于一点.
(三)三角形三边的垂直平分线交于一点
已知:△ABC中,AB的垂直平分线l与AC的垂直平分线n相交于一点O.求证:点O在BC的垂直平分线上.
证明:连结OA、OB、OC.∵O是AB的垂直平分线l上的一点,∴OA=OB.∵O是AC的垂直平分线n上的一点,∴OA=OC.∴OB=OC.∴O在线段BC的垂直平分线上.
1.如图,已知点A、B和直线l,在直线l上求作一点P,使PA=PB.
2.如图,BD⊥AC,垂足为E,AE=CE.求证:AB+CD=AD+BC.
证明:∵BD⊥AC,AE=CE,∴BD是线段AC的垂直平分线.∵B、D在垂直平分线上,∴AD=DC,AB=CB,∴AB+CD=AD+BC.
3.如图,在△ABC中,点D在BC上,且BD+AD=BC.求证:点D在AC垂直平分线上.
证明:∵BD+AD=BC,BD+DC=BC,∴AD=DC,∴△ADC是等腰三角形,∴点D在AC的垂直平分线上.
会证明线段垂直平分线的性质定理与判断定理.
1.教材第99页习题13.5第2题.
(1)到△ABC三个顶点的距离相等的点的位置是在 ( )
A.三角形的内部 B.三角形的外部C.三角形的边上 D.以上三种都有可能
(2)如图,线段MN与线段AB交于点O,给出下列条件:①MN=MB,OA=OB; ②MA=MB,NA=NB; ③∠AMO=∠BMO,∠MAO=∠MBO;④∠AMO=∠BMO,∠ANO=∠BNO.其中能说明MN是AB垂直平分线的是 ( )
A. ①③ B. ②③④ C. ①② D. ①②③④
(3)在等腰直角△ABC中,AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O,则点O到三角形三个顶点的距离是 .
(4)如图,已知AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,则图中全等的三角形共有 对.
(5)如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AD是BC边上的高,E是AD上一点,ED=CD,连结EC,EA=EC.求证:BA=BC.
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