初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆学案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆学案，共11页。学案主要包含了重要考点目录，重要考点讲解，知识精讲，典例精讲等内容，欢迎下载使用。

模块1：圆中垂直弦相关结论
模块2：内切圆
模块3：圆的综合
【重要考点讲解】
模块1：圆中垂直弦相关结论
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．如图，已知圆内接四边形中，对角线于点，过点的直线分别交一组对边于点，，若，已知圆的半径为．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）请直接写出用表示的值 ．
例题2．如图，是中两条互相垂直的弦，，，则的半径为
A．B．C．D．
例题3．如图，、是的两条弦，，，垂足为点，点为的中点，延长交于点，若，的面积为15，，则为
A．B．C．10D．9
例题4．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦．
（1）如图②，是的弦，作、，分别交于点、，连接，求证：、是的等垂弦；
（2）在图①中，的半径为5，为等垂弦、的分割点，，求的长度．
模块2：内切圆
【知识精讲】
【典例精讲】
例题5．（2022•潍坊）（多选）如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是
A．射线一定过点
B．点是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则
D．点不是三条边的垂直平分线的交点
例题6．（2023•广州）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为
A．，B．0，C．，D．0，
例题7．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步（注：“步”为长度单位）．
例题8．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 ．
例题9．（2021•乐山）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为
A．4B．C．D．5
模块3：圆的综合
【典例精讲】
例题10．（2023•武汉）如图，，，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
例题11．如图1，在中，、是直径，弦，垂足为．
（1）求证：；
（2）如图2，点在上，且．
①求证：；
②若，，求的长．
例题12．（2022•德阳）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，
①求的长；
②求的面积．
第4讲：圆的综合课后巩固
1．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为
A．B．C．D．
2．如图，在半径为10的中，，是互相垂直的两条弦，垂足为点，且，则的长为
A．11B．12C．13D．14
3．（2023•温州）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为
A．，1B．，C．，1D．，
4．（2023•南充）如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是 ．
5．（2023•内蒙古）如图，是锐角三角形的外接圆，，，．垂足分别为，，，连接，，．若，的周长为21，则的长为
A．8B．4C．3.5D．3
6．（2021•泸州）如图，的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，则的长是
A．B．C．D．
7．（2015•荆州）如图，在轴上，在轴上，，，点在边上，，的圆心在线段上，且与边，都相切．若反比例函数的图象经过圆心，则 ．
8．（2023•十堰）如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为
A．B．7C．8D．
9．（2023•大连）如图1，点，，在上，是的直径，平分，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作的切线，与的延长线相交于点，过点作，与相交于点．若，，求的长．
10．已知四边形是的内接四边形，是的直径，，垂足为．
（1）延长交于点，延长，交于点，如图．求证：是等腰三角形；
（2）过点作，垂足为，交于点，连接，且点和点都在的左侧，如图．若，，，
①求的半径；
②求的大小．
重要结论
示例剖析
结论1：圆中的婆罗摩笈多定理
若圆内接四边形的对角线相互垂直，
①过对角线交点且平分一边的直线必垂直于对边；
②过对角线交点且垂直于一边的直线必平分对边．
如图，若为中点，则；
如图，若，则为中点．
结论2：垂美四边形
若圆内接四边形的对角线相互垂直，则对边平方和相等．
如图，．
结论3：面积结论
若圆内接四边形的对角线相互垂直，相对顶点同圆心的连线段平分四边形的面积．
如图，．
结论4：弦心距与边的关系
若圆内接四边形的对角线相互垂直，一边的弦心距等于对边的一半．
如图，．
三角形内切圆相关性质和结论
基本概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，三角形内心是三角形三内角角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．
角的相关性质
．
切线长性质
；
；
．
其中，．
内切圆半径的算法
①，其中，，为三角形面积．
②，其中．
直角三角形的内切圆结论
如图：设为的内切圆，三边长分别为，则有：
①四边形是正方形；
②内切圆半径．
类比：四边形内切圆
四边形内切圆结论
如图：若四边形存在内切圆，且面积为，各边长分别为，则：
①；
②．