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初中数学人教版九年级上册第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率课后测评
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率课后测评，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
2．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
下面有三个推断：
①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．
②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．
③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．
其中合理的是（ ）
A．①B．②C．①③D．②③
3．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在20%，那么估计盒子中小球的个数为（ ）
A．15B．20C．25D．30
4．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．“圆内接四边形对角相等”是随机事件
B．“三角形的内心到三角形三边的距离相等”是必然事件
C．某种彩票中奖的概崒是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
D．通过大量重复试验，一般地可以用频率估计概率
5．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有 3 个推断：
①当抛掷次数是 1000 时， “正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动， 显示出一定的稳定性， 可以估计“正面 向上”的概率是 0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558 次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A．②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中装有个白球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则的值大约为( )
A．15B．20C．25D．30
7．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）在一个不透明的袋中装有20个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明和小亮通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋中红球大约有（ ）
A．12个B．10个C．8个D．6个
8．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
A．牌面数字是2的倍数B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数D．牌面数字是5的倍数
9．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
10．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是( )
A．概率等于频率B．频率等于
C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动
11．（2022秋·河北保定·九年级期末）养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（ ）
A．有道理，池中大概有1200尾鱼B．无道理
C．有道理，池中大概有7200尾鱼D．有道理，池中大概有1280尾鱼
二、填空题
12．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球可能是 个．
13．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）在一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，-2，3，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，记录球面上数字，做为点A的横坐标；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，记录球面上数字，做为点A的纵坐标
（1）P（点A在第一象限）＝ ．
（2）P（点A在直线y＝x上）＝ ．
三、解答题
14．（2022秋·河北保定·九年级期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
15．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____；(精确到0.01)
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
16．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．
(1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近___________（精确到0.01），该袋子中的黑球有__________个；
(2)该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率．
17．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满100元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
根据以上信息，解析下列问题：
(1)请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是＿＿＿＿；（精确到0.1）
(2)现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据（1）的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；
(3)小明和小亮都购买了超过100元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据（2）中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．
18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
19．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
0.700
0.750
0.767
0.750
0.760
0.750
0.757
0.750
0.756
0.750
B
投中次数
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
0.800
0.700
0.767
0.800
0.700
0.717
0.743
0.763
0.778
0.800
摸球的个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
298
590
968
1202
摸到白球的频率
0.58
0.640
0.580
0.596
0.590
0.605
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
摸球的次数n
10
100
200
500
1000
摸到黑球的次数m
3
26
51
126
251
摸到黑球的频率n
0.3
0.26
0.255
0.252
0.251
转动转盘的次数
50
100
200
500
800
1000
2000
5000
落在“纸巾”区的次数
22
71
109
312
473
612
1193
3004
参考答案：
1．B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．
2．B
【分析】根据随机事件与必然事件对①进行判断；根据大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率对②进行判断；根据随机事件与必然事件对③进行判断即可.
【详解】投篮30次时，两位运动员都投中23次是偶然事件，只是巧合碰上，概率要大量重复实验的稳定频率才能得出，故①不合理，
随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．根据表中信息可知②合理，
投篮达到200次时， B运动员投中次数不能保证一定为160次，不是必然事件，可能多，也可能少，故③不合理，
故选B
【点睛】本题考查了利用概率估计频率及随机事件与必然事件，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率是解题关键．
3．C
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值．
【详解】解：根据题意得：
，
解得，
经检验是原方程的解，
所以盒子中小球的个数为25个．
故选：C
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
4．C
【分析】根据事件的分类即可判断A、B；根据概率的意义即可判断C；根据频率可以估计概率即可判断D．
【详解】解：A、只有当圆内接四边形是正方形或者长方形时，“圆内接四边形对角相等”，是随机事件，说法正确，不符合题意；
B、三角形的内心是三条角平分线的交点，则“三角形的内心到三角形三边的距离相等”是必然事件，说法正确，不符合题意；
C、某种彩票中奖的概崒是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，说法错误，符合题意；
D、通过大量重复试验，一般地可以用频率估计概率，说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了事件的分类，概率的应用，用频率估计概率，熟知相关知识是解题的关键．
5．C
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理；
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．A
【分析】先利用频率估计概率可得任意摸出1个球是红球的概率为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：任意摸出1个球是红球的概率为，
则，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．
7．C
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．B
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动,即其概率P≈，计算四个选项的概率约为者即为正确答案．
【详解】解：A、牌面数字是2的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
B、牌面数字是3的倍数的概率是，故本选项符合题意；
C、牌面数字是4的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
D、牌面数字是5的倍数的概率为0，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟记频率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
9．B
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
10．D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此一一判断选择即可.
【详解】A.频率只能估计概率，故此选项错误；
B.概率等于，故此选项错误；
C.频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值，故此选项错误；
D.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确.
综上，答案选D.
【点睛】本题考查的是频率与概率的关系，能够准确掌握二者的关系是解题的关键.
11．A
【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解．
【详解】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．
12．12
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，
∴摸到白球的频率为1-15%-55%=30%，
故口袋中白色球的个数可能是40×30%=12个．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
13．
【分析】先根据题意应用列表法列出所有可能的情况，再根据一次函数图像上点的坐标特征进行求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意两次摸出乒乓球，可用下表列举出所有可能的情况，
由表可看出所有的结果有9种，这些结果出现的可能性相等，
（1）点A在第一象限共有4种，即（1，1），（3，1）（1，3），（3，3），
所以P（点A在第一象限）=．
故答案为：；
（2）点A在直线y=x上有3种，即（1，1），（-2，-2），（3，3），
所有P（点A在直线y=x上）=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
14．(1)0.601
(2)0.6
(3)3
【分析】（1）利用摸到白球的个数除以摸球的个数即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：1202÷2000=0.601；
故答案为：0.601．
（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.600；
故答案为：0.600．
（3）∵摸到白球的概率的估计值是0.600，
∴摸到红球的概率的估计值是0.400，
∵袋中有红球2个，
∴球的个数共有：2÷0.400=5（个），
∴袋中白球的个数为5-2=3．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．(1)0.60
(2)0.6，0.4
(3)白球12只，黑球8只
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率，即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有：
白球是只，
黑球是只．
答：估计口袋中白色的球有12只，黑色的球有8只．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
16．(1)0.25；1
(2)
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，再利用频率求数量；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
该袋子中的黑球有，
故答案为：0.25，1；
（2）解：树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．(1)0.6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率进行求解即可；
（2）根据（1）所求可知摸到纸巾和摸到洗手液的概率，设计一个摸球规则使得摸到白球的概率为0.6（摸到白球送纸巾），黑球的概率为0.4（摸到黑球送洗手液）即可；
（3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到恰好都获得纸巾的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是，
故答案为：0.6；
（2）解：由（1）获得纸巾的概率为0.6，则获得洗手液的概率为0.4，
∴可设置如下摸球规则：把2个黑球和3个白球放入一个不透明的箱子中（5个球除了颜色不同外其他都相同），顾客购物满100元即可获得一次抽奖机会，抽到白球时，奖品为纸巾，抽到黑球时奖品为洗手液；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有25种等可能性的结果数，其中两人都获得纸巾的结果数有9种，
∴两人都获得纸巾的概率为；
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，树状图或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
18．（1）；（2）；（3）x=16．
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.
【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）画树状图如下：
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P（抽到的都是合格品）==；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴ =0.95，
解得：x=16．
【点睛】本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
19．(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
一、单选题
1．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
2．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
下面有三个推断：
①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．
②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．
③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．
其中合理的是（ ）
A．①B．②C．①③D．②③
3．（2022秋·河北张家口·九年级统考期末）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在20%，那么估计盒子中小球的个数为（ ）
A．15B．20C．25D．30
4．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．“圆内接四边形对角相等”是随机事件
B．“三角形的内心到三角形三边的距离相等”是必然事件
C．某种彩票中奖的概崒是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
D．通过大量重复试验，一般地可以用频率估计概率
5．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有 3 个推断：
①当抛掷次数是 1000 时， “正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动， 显示出一定的稳定性， 可以估计“正面 向上”的概率是 0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558 次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A．②B．①③C．②③D．①②③
6．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中装有个白球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则的值大约为( )
A．15B．20C．25D．30
7．（2022秋·河北承德·九年级统考期末）在一个不透明的袋中装有20个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明和小亮通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋中红球大约有（ ）
A．12个B．10个C．8个D．6个
8．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
A．牌面数字是2的倍数B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数D．牌面数字是5的倍数
9．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
10．（2022秋·河北石家庄·九年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是( )
A．概率等于频率B．频率等于
C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动
11．（2022秋·河北保定·九年级期末）养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（ ）
A．有道理，池中大概有1200尾鱼B．无道理
C．有道理，池中大概有7200尾鱼D．有道理，池中大概有1280尾鱼
二、填空题
12．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，则口袋中白色球可能是 个．
13．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）在一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，-2，3，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，记录球面上数字，做为点A的横坐标；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，记录球面上数字，做为点A的纵坐标
（1）P（点A在第一象限）＝ ．
（2）P（点A在直线y＝x上）＝ ．
三、解答题
14．（2022秋·河北保定·九年级期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
(1)填写表中的空格；
(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ；
(3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．
15．（2022秋·河北邯郸·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____；(精确到0.01)
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
16．（2022秋·河北廊坊·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．
(1)当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近___________（精确到0.01），该袋子中的黑球有__________个；
(2)该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率．
17．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满100元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
根据以上信息，解析下列问题：
(1)请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是＿＿＿＿；（精确到0.1）
(2)现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据（1）的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；
(3)小明和小亮都购买了超过100元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据（2）中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．
18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
19．（2022秋·河北廊坊·九年级统考期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
0.700
0.750
0.767
0.750
0.760
0.750
0.757
0.750
0.756
0.750
B
投中次数
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
0.800
0.700
0.767
0.800
0.700
0.717
0.743
0.763
0.778
0.800
摸球的个数
200
300
400
500
1000
1600
2000
摸到白球的个数
116
192
232
298
590
968
1202
摸到白球的频率
0.58
0.640
0.580
0.596
0.590
0.605
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
摸球的次数n
10
100
200
500
1000
摸到黑球的次数m
3
26
51
126
251
摸到黑球的频率n
0.3
0.26
0.255
0.252
0.251
转动转盘的次数
50
100
200
500
800
1000
2000
5000
落在“纸巾”区的次数
22
71
109
312
473
612
1193
3004
参考答案：
1．B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．
2．B
【分析】根据随机事件与必然事件对①进行判断；根据大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率对②进行判断；根据随机事件与必然事件对③进行判断即可.
【详解】投篮30次时，两位运动员都投中23次是偶然事件，只是巧合碰上，概率要大量重复实验的稳定频率才能得出，故①不合理，
随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．根据表中信息可知②合理，
投篮达到200次时， B运动员投中次数不能保证一定为160次，不是必然事件，可能多，也可能少，故③不合理，
故选B
【点睛】本题考查了利用概率估计频率及随机事件与必然事件，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率是解题关键．
3．C
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值．
【详解】解：根据题意得：
，
解得，
经检验是原方程的解，
所以盒子中小球的个数为25个．
故选：C
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
4．C
【分析】根据事件的分类即可判断A、B；根据概率的意义即可判断C；根据频率可以估计概率即可判断D．
【详解】解：A、只有当圆内接四边形是正方形或者长方形时，“圆内接四边形对角相等”，是随机事件，说法正确，不符合题意；
B、三角形的内心是三条角平分线的交点，则“三角形的内心到三角形三边的距离相等”是必然事件，说法正确，不符合题意；
C、某种彩票中奖的概崒是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，说法错误，符合题意；
D、通过大量重复试验，一般地可以用频率估计概率，说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了事件的分类，概率的应用，用频率估计概率，熟知相关知识是解题的关键．
5．C
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理；
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．A
【分析】先利用频率估计概率可得任意摸出1个球是红球的概率为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：任意摸出1个球是红球的概率为，
则，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．
7．C
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8．B
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动,即其概率P≈，计算四个选项的概率约为者即为正确答案．
【详解】解：A、牌面数字是2的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
B、牌面数字是3的倍数的概率是，故本选项符合题意；
C、牌面数字是4的倍数的概率为，故本选项不符合题意；
D、牌面数字是5的倍数的概率为0，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟记频率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
9．B
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
10．D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此一一判断选择即可.
【详解】A.频率只能估计概率，故此选项错误；
B.概率等于，故此选项错误；
C.频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值，故此选项错误；
D.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确.
综上，答案选D.
【点睛】本题考查的是频率与概率的关系，能够准确掌握二者的关系是解题的关键.
11．A
【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程，进而问题可求解．
【详解】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．
12．12
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和55%，
∴摸到白球的频率为1-15%-55%=30%，
故口袋中白色球的个数可能是40×30%=12个．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
13．
【分析】先根据题意应用列表法列出所有可能的情况，再根据一次函数图像上点的坐标特征进行求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意两次摸出乒乓球，可用下表列举出所有可能的情况，
由表可看出所有的结果有9种，这些结果出现的可能性相等，
（1）点A在第一象限共有4种，即（1，1），（3，1）（1，3），（3，3），
所以P（点A在第一象限）=．
故答案为：；
（2）点A在直线y=x上有3种，即（1，1），（-2，-2），（3，3），
所有P（点A在直线y=x上）=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
14．(1)0.601
(2)0.6
(3)3
【分析】（1）利用摸到白球的个数除以摸球的个数即可；
（2）根据频率估计概率计算；
（3）由概率的估计值可计算白球的个数．
【详解】（1）解：1202÷2000=0.601；
故答案为：0.601．
（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.600；
故答案为：0.600．
（3）∵摸到白球的概率的估计值是0.600，
∴摸到红球的概率的估计值是0.400，
∵袋中有红球2个，
∴球的个数共有：2÷0.400=5（个），
∴袋中白球的个数为5-2=3．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．(1)0.60
(2)0.6，0.4
(3)白球12只，黑球8只
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率，即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有：
白球是只，
黑球是只．
答：估计口袋中白色的球有12只，黑色的球有8只．
【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
16．(1)0.25；1
(2)
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，再利用频率求数量；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
该袋子中的黑球有，
故答案为：0.25，1；
（2）解：树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．(1)0.6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率进行求解即可；
（2）根据（1）所求可知摸到纸巾和摸到洗手液的概率，设计一个摸球规则使得摸到白球的概率为0.6（摸到白球送纸巾），黑球的概率为0.4（摸到黑球送洗手液）即可；
（3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到恰好都获得纸巾的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是，
故答案为：0.6；
（2）解：由（1）获得纸巾的概率为0.6，则获得洗手液的概率为0.4，
∴可设置如下摸球规则：把2个黑球和3个白球放入一个不透明的箱子中（5个球除了颜色不同外其他都相同），顾客购物满100元即可获得一次抽奖机会，抽到白球时，奖品为纸巾，抽到黑球时奖品为洗手液；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有25种等可能性的结果数，其中两人都获得纸巾的结果数有9种，
∴两人都获得纸巾的概率为；
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，树状图或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
18．（1）；（2）；（3）x=16．
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.
【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）画树状图如下：
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P（抽到的都是合格品）==；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴ =0.95，
解得：x=16．
【点睛】本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
19．(1)
(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；
（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
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