高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语 B卷 能力提升

第一章   集合与常用逻辑用语 B卷

能力提升

【满分：120分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“，”的否定是(   )

A.， B.，

C.， D.，

2.设A，B是非空集合，定义且.已知，，则(   )

A.  B.

C.或 D.或

3.已知集合，，则集合B中的元素个数为(   )

A.5 B.6 C.8 D.9

4.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是(   )

A. B. C. D.

5.集合或，，若，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6.设U为全集，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

7.若全集，集合，，则(   )

A. B. C. D.

8.设有下面四个命题：，；，；，；，.其中真命题为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.设集合，，若，则实数a的值可以为(   )

A. B.0 C.3 D.

10.设A为非空实数集，若对任意，都有，，且，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的有(   )

A.集合为封闭集

B.集合为封闭集

C.封闭集一定是无限集

D.若A为封闭集，则一定有

11.下列命题是假命题的有(   )

A.，

B.，

C.，

D.，方程恰有一解

12.下列说法正确的有(   )

A.“”是“”的充分不必要条件

B.命题“，”的否定是“，”

C.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是

D.设，则“”的充要条件是“a，b都不为1”

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.“”是“”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).

14.已知集合，.若，则实数m的取值范围是__________.

15.命题p：“，”为假命题，则a的取值范围为__________.

16.设集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为_________.

四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设集合，，.

（1）求实数a，b的值；

（2）求集合A，B.

18.求“关于x的方程至少有一个负实数根”的充要条件.

19.已知命题，，命题q：，.

（1）若命题为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围.

20.若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”.

（1）分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由.

（2）设集合A是“好集”，求证：若，则.

（3）对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为命题“，”为存在量词命题，所以其否定为“，”.故选B.

2.答案：C

解析：由题意，知，，所以或.

3.答案：A

解析：集合，，则当时，；当时，或；当时，或.所以，所以集合B中有5个元素.故选A.

4.答案：A

解析：由“，”为真命题，得对于恒成立，所以只需，故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，故选A.

5.答案：A

解析：①当，即时，满足题意.②当时，若，则，要使，则需，得；若，则，要使，则需，解得.综上，实数a的取值范围是.

6.答案：C

解析：充分性：若，则有成立.必要性：若，则.故选C.

7.答案：C

解析：方法一：由题意，知集合，，所以，，所以.

方法二：由题意，知集合，，所以，所以.

8.答案：C

解析：，，所以命题为假命题；当时，，所以命题为假命题；当时，均为非负整数，所以命题为真命题；因为，所以命题为假命题.故选C.

9.答案：ABD

解析：由，得.又，所以当时，，符合题意；当时，或，则或.故选ABD.

10.答案：BD

解析：对于A，在集合中，，所以集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合，设，则，，，所以，，，所以集合为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取，得，故D正确.

11.答案：AD

解析：对于选项A，当时，，所以，为假命题.

对于选项B，若，则，所以，为真命题.

对于选项C，当时，，所以，为真命题.

对于选项D，当，时，方程有无数个解，所以，方程恰有一解为假命题.故选AD.

12.答案：BCD

解析：由，可取，，此时，所以由“”不能推出“”，所以“”不是“”的充分条件，故A错误.命题“，”的否定是“，”，故B正确.若命题“，”是真命题，则，故C正确.若，即，即，由此推出，且.若，且，则，由此推出.所以“”是“a，b都不为1”的充要条件，故D正确.选BCD.

13.答案：充分不必要

解析：解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.

14.答案：或

解析：由题意知.当时，有或，解得或，所以实数m的取值范围是或.

15.答案：或

解析：p为假命题，命题p的否定：，为真命题，，解得或，即a的取值范围为或.

16.答案：

解析：.由“”是“”的充分不必要条件，得.

当时，；当时，若，则；若，则.

综上，实数a的取值集合是.

17.答案：（1），

（2），

解析：（1）因为，所以

解得，经检验符合题意，

所以，.

（2）由（1）得集合，

由，解得或，

所以.

由（1）得集合，

由，解得或，

所以.

18.答案：“且”

解析：必要性：

设，为关于x的方程的两实数根.

因为，所以.

当方程有且仅有一个负实数根时，解得

当方程有两个负实数根时，解得.

所以关于x的方程至少有一个负实数根时，且.

充分性：

若且，则当时，此时方程有两个负实数根；

当时，此时方程有.且仅有一个负实数根.

所以且时，关于x的方程至少有一个负实数根.

综上，“关于x的方程至少有一个负实数根”的充要条件是“且”.

19.答案：（1）实数a的取值范围是

（2）实数a的取值范围为

解析：（1）根据题意，知，，为真命题，

因为当时，，所以，

所以实数a的取值范围是.

（2）由（1）知命题p为真命题时，.

命题q为真命题时，，解得，

所以为真命题时，，

所以当命题p和均为真命题时，，

即实数a的取值范围为.

20.答案：（1）集合B不是“好集”

（2）证明见解析

（3）命题“若，则”为真命题

解析：（1）集合B不是“好集”，理由如下：

因为，，，

所以集合B不是“好集”.

有理数集Q是“好集”，理由如下：

因为，，对任意，，都有，且时，，

所以有理数集Q是“好集”.

（2）因为集合A是“好集”，所以.

若，则，即，

所以，即，命题得证.

（3）命题“若，则”为真命题，理由如下：

当x，y中有0或1时，显然有.

当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，，

所以，所以.

由（2）得，同理得.

当或时，显然有.

当或时，显然有，

所以，所以，

由（2）得，所以.

综上，得时，.