华师大版九年级上册2. 相似三角形的判定第2课时导学案

23.3 相似三角形

2  相似三角形的判定

第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似

学习目标：

1. 理解判定定理2,3的意义.（重点）
2. 会运用相似三角形的判定定理2，3解决问题.（难点）

                      自主学习

一、新知预习

1.如图1，画出△ABC和△A'B'C'，使∠A'=∠A,=2.

(1)比较∠C'、∠C（或∠B'、∠B）的大小；

答：______________________.

(2)由比较的结果，能判定△ABC和△A'B'C'相似吗？

答：________.

【猜想】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形_______.

                    图1                         图2

2.如图2，在半透明的纸上画一个△ABC，使AB=1.5cm，AC=2.5cm，BC=2cm，再画一个△A'B'C',使得A'B'=3cm，A'C'=5cm，B'C'=4cm.

比较△ABC和△A'B'C'各个角，它们对应相等吗？这两个三角形相似吗？

答：_________________________________.

我们可以初步确定猜想：三边对应成比例的两个三角形________.

合作探究

一、探究过程

探究点1：利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似

【典例精析】

例1如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.

【归纳总结】条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.

【针对训练】

1.如图，D,E分别在△ABC的边AC,AB上，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.

探究点2：利用三边的关系判定相似三角形

【典例精析】

例2已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.

【归纳总结】已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.

【针对训练】

2.如图，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.

3.如图，在△ABC和△ADE中，== ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.

二、课堂小结

当堂检测

1. 已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下面哪一组时，这两个三角形相似（    ）

  A.2 cm,3 cm    B.4 cm,5 cm   C.5 cm,6 cm   D.6 cm,7 cm

2.如图，线段AC和BD相交于点O，且OA=12，OC=54，OB=18，OD=36，则△ABO与△DCO_________相似（填“一定”或“不”）.

                  第2题图                             第3题图

3.如图，BD平分∠ABC,AB=4,BC=6,当BD=_______时，△ABD∽△DBC.

4.一个三角形三边长是3、5、7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边之和是_______.

5.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？

参考答案

自主学习

一、新知预习

1.（1）∠C'=∠C（或∠B'=∠B）    （2）能      【猜想】相似

2. △ABC和△A'B'C'的各个角对应相等.这两个三角形相似     相似

合作探究

一、探究过程

【典例精析】

例1 证明：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE.即∠DAE=∠BAC.∵AD=AE，AB=AC，∴，∴△ABC∽△ADE．

【针对训练】

    1.解：∵AE=1.5，AC=2，∴，且∠EAD=∠CAB.∴△AED∽△ACB，∴,即，解得DE=．

【典例精析】

例2  解：△ABC与△DEF相似.理由如下：∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，∴，，              .即三角形的三组对应边的比相等，∴这两个三角形相似．

【针对训练】

2. 解：相等，理由如下：∵AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15，
   ∴AC=AE+EC=9，AB=AD+BD=3+15=18.

∴,,,即.

∴△ADE∽△ACB.∴∠B=∠AED．

3. 解：∵在△ABC和△ADE中， =  =  ，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠CAE=∠BAD=20°．

二、课堂小结  

B´AC´    BAC         

当堂检测

1.C   2.一定    3.     4.24 

5.解：设经过t s时，△PBQ与△ABC相似.

（1）当＝时，△PBQ∽△ABC.此时＝，解得t＝4.

即经过4s后△PBQ与△ABC相似.

（2）当＝时，△PBQ∽△CBA.此时＝，解得t＝1.6.

即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似.

综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s时△PBQ与△ABC相似.