新教材2023_2024学年高中数学第3章指数运算与指数函数本章总结提升课件北师大版必修第一册

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第三章本章总结提升网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引 网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一　分数指数幂的运算分数指数幂运算基本步骤(1)有括号先算括号里面的,无括号先进行指数运算(即先乘方、开方),再乘除,最后加减.(2)注意:①负指数幂化为正指数幂的倒数;②底数是负数,先确定符号;③底数是小数,要先化为分数;④底数是带分数的,要先化为假分数;⑤若是根式,则应先化为分数指数幂,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质.【例1】 计算: 变式训练1计算: 专题二　与指数函数有关的图象问题1.平移变换(1)把函数y=f(x)的图象向右平移m个单位长度得函数y=f(x-m)的图象(m>0,若m<0,就是向左平移|m|个单位长度);(2)把函数y=f(x)的图象向上平移n个单位长度得到函数y=f(x)+n的图象(n>0,若n<0,就是向下平移|n|个单位长度).2.对称变换(1)函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称;(3)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.【例2】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y=3x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=3x-1;(2)y=3x+1;(3)y=-3x.解 如图. (1)y=3x-1的图象是由y=3x的图象向右平移1个单位长度得到的;(2)y=3x+1的图象是由y=3x的图象向上平移1个单位长度得到的;(3)y=-3x的图象是由y=3x的图象关于x轴对称得到的.变式训练2(1)函数 的图象大致为(　　) B(2)画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出这个函数的对称性、单调性、值域.其图象是由两部分组成的:一部分是把y=2x的图象向右平移1个单位长度,取x≥1的部分;另一部分是把 的图象向右平移1个单位长度,取x<1的部分.y=2|x-1|的图象如图中实线部分所示.由图象可知,①对称性:图象的对称轴为直线x=1.②单调性:在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.③函数的值域:[1,+∞).专题三　与指数函数有关的定义域、值域问题解与指数函数有关的定义域、值域问题需注意:(1)充分考虑指数函数本身的要求,同时考虑指数函数的单调性,特别注意ax>0.(2)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.(3)形如y=af(x)的函数的值域,先求出f(x)的值域,再结合y=au(u=f(x))的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.(4)形如y=f(ax)的函数的值域,先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.【例3】 求出下列函数的定义域与值域: 解 (1)函数的定义域为R.令-x2+2x=t,t=-(x-1)2+1≤1,(2)∵4-2x≥0,∴x≤2,∴函数定义域为{x|x≤2}.∵2x>0,∴4-2x<4,又4-2x≥0,∴0≤4-2x<4,∴y∈[-1,1),即函数值域是[-1,1).专题四　指数函数单调性的应用1.比较幂的大小的常用方法(1)作差(商)法.(2)函数单调性法.(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C,B与C的大小即可.(4)图象法:在同一直角坐标系中,作出相应函数的图象,根据条件观察图象变化规律,再作出分析判断.2.解指数型不等式时,首先应化成同底的指数型函数,然后利用指数函数的单调性解决.【例4】 (1)已知关于x的不等式 >3-2x,则该不等式的解集为(　　)A.{x|x≥4} B.{x|x>-4}C.{x|x<-4} D.{x|-4an(a>0,且a≠1),比较m,n的大小.解 ①∵底数1.7>1,∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.②由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1.0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.③当a>1时,m>n;当0f(-2),则实数a的取值范围是　　　　　. 解析 ∵指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),∴函数f(x)在定义域内单调递减,∴0<2a-1<1,解得 -0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,即0.8-0.1<1.250.2.专题五　指数函数性质的综合应用在性质的综合应用中,主要出现以指数函数为载体的复合函数,然后利用定义判断复合函数的奇偶性、单调性,从而解决问题.【例5】 已知定义在R上的函数(1)若f(x)= ,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)恒成立即可.∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],∴要使m≥-(22t+1)恒成立,只需m≥-5,故实数m的取值范围是[-5,+∞).变式训练5已知函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1).(1)若函数f(x)的图象过点(3,4),求实数a的值;(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集.解 (1)函数f(x)的图象过点(3,4),则a2=4,∵a>0,且a≠1,则a=2.(2)由f(x)>a3可得ax-1>a3,当01时,x-1>3,解得x>4,即不等式的解集为(4,+∞).