北师大版九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》教案

第三章 概率的进一步认识

1 用树状图或表格求概率

第1课时 用树状图或表格求概率（1）

1.能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.

2.经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.

3.通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性.

【教学重点】

运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.

【教学难点】

运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率.

一、情境导入,初步认识

问题1：求概率的基本步骤是什么？

问题2：列举一次试验的所有可能结果时，学过哪些方法？

【教学说明】对以前所学方法的步骤进行归纳，温故以利知新．

二、思考探究，获取新知

自主学习：阅读课本P148，这个游戏为什么对三人不公平？请相互交流.

【教学说明】通过自主学习、相互交流可提高学生自学的能力.

探究  甲乙两地之间有A和B两条道路，小亮从甲地到乙地，大刚从乙地到甲地，二人同时出发.如果每人从A和B两条道路中都任选一条，那么他们途中相遇的概率是多少？思考以下问题：

小亮从甲地到乙地，有几条路可走，大刚从乙地到甲地，有几条路可走？

如果小亮选了A道路，那么这时大刚选的有可能是哪条路？同样，如果小亮选的是B呢？

什么情况下，他们才能相遇？

小亮走的道路可能是A或B，当小亮选A时，大刚可能是A或B；当小亮选B时，大刚也可能是A或B，画图如下：

【归纳结论】上图像一棵横倒的树，我们叫它树状图.由上图可知，所有等可能性的结果共有4种：AA,AB,BA,BB.其中两人相遇的情况有2种，即AA,BB.由已学过的的概率计算方法，可得P（相遇）=2/4=1/2 .所以，他们途中相遇的概率是1/2 .

上表中的第一行表示小亮走道路A或B的两种可能，第一列则表示大刚走道路A或B的两种可能，从而在表中列出了本题所有等可能的4种结果，其中二人相遇的结果有两种，即：可得P（相遇）=2/4=1/2.

【教学说明】设计探究学习活动,有利于向学生展示解决问题的不同策略,真正体会解决问题的过程，培养学生的创新精神和克服困难的勇气．

三、运用新知，深化理解

1.在A、B两个盒子里都装入写有数字0、1的两张卡片，分别从每个盒子里任取1张卡片，两张卡片上的数字之积为0的概率是多少？

解法1：画树状图

从A盒或B盒中任取一张卡片，上面有数字0或1的可能性相等，由树状图可以看出，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，其中两数之积为0的结果有3种，于是P(积为0)= 3/4.

解法2：完成下表：

由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，积为0的结果有3种.所以P(积为0）=3/4.

2.把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3．将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率（要求用树状图或列表法求解）.

解：画树状图：

由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．

∴P（和为偶数）=5/9.

列表如下：

由上表可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．

∴P（和为偶数）=5/9.

3.袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同．任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色．为了研究两次摸球出现某种情况的概率，画出如下树状图．

（1）请把树状图填写完整．

（2）根据树状图可知摸到一红一白两球的概率是______．

解答：（1）红   白    白      （2）4/9

【教学说明】巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习你有什么收获？还有哪些疑惑？请与同伴交流.

1.布置作业:教材“习题3.1”中第1、2题.

2.完成练习册中相应练习.

在教学时要反复强调：在借助于树状图或表格求事件发生的概率时,应注意到各种情况出现的等可能性，以免学生忽略这个条件错误使用树状图或表格求事件发生的概率.

第2课时 用树状图或表格求概率（2）

1.会运用树状图和列表法计算事件发生的概率.

2.经历试验、探讨过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.

3.通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性．

【教学重点】

运用树状图和列表法计算事件发生的概率．

【教学难点】

树状图和表格法的运用方法．

一、情境导入，初步认识

（1）从黑桃1和2中摸一张牌，摸到几的可能性大？概率是多少？

（2）加上红桃1和2，如果摸得黑桃为1，那么摸到红桃数字为几的可能性大？如果摸得黑桃的数字为2呢？

【教学说明】学生交流讨论，利用上节课所学知识解答.

二、思考探究，获取新知

探究1 若同时从两组牌中各摸一张出来，共有几种可能性？每种可能性是否相同？概率分别是多少？

可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）.

从上面的树状图可以看出，一次试验可能出现的结果共有4种：（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4.

探究2  小颖设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（指针指在分界线上则重转）

用树状图来说明：

用表格来说明：

 所以，配成紫色的概率P（配成紫色）=3/6=1/2， 所以游戏者获胜的概率为1/2.

 【教学说明】思考讨论，由两位学生板书展示他们的思维过程.通过学生互学感受思维的条理性和实施的有序性，为后续的教学做好准备．

三、运用新知，深化理解

1.将分别标有数字1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.

(1)任意抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；

(2)任意抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，请你列表或画树状图分析并求出组成的两位数恰好是13的概率.

解：（1）P（抽到奇数）＝3/4；

（2）解法一：列表

所以组成的两位数恰好是13的概率P=2/12=1/6．

解法二：树状图

所以组成的两位数恰好是13的概率P=2/12=1/6.

2.有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．

（1）请你通过列表（或画树状图）的方法计算甲获胜的概率．

（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？

解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：

由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率P（甲获胜）=5/16．

（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P（甲获胜）=5/16，乙获胜的概率P（乙获胜）=11/16，5/16≠11/16，所以，游戏对双方是不公平的．

3.如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小灯泡发光．

（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_______；

（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．

解：（1）1/4

（2）正确画出树状图（或列表），图略（表略）.任意闭合其中两个开关的情况共有1/2种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，所以小灯泡发光的概率是1/2．

【教学说明】巩固画树状图求概率的知识，感受概率与生活的密切联系．

四、师生互动，课堂小结

1.本节课你有哪些收获？有何感想？

2.用树状图或表格求概率时应注意什么情况？

1.布置作业:教材“习题3.2”中第1 、3题.

2.完成练习册中相应练习.

以现实生活为背景提出问题，激发学生的学习兴趣和主动参与意识．面对这些问题时，鼓励学生主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，使学生感受数学和生活的密切联系，在解决问题的过程中培养学习兴趣和解题能力.

2 用频率估计概率

1.能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性.知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.

2.结合生活实例，能进一步明确频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.

3.培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神．

【教学重点】

了解用频率估计概率的必要性和合理性.

【教学难点】

大量重复试验得到频率稳定值的分析，对频率与概率之间关系的理解.

一、情境导入,初步认识

问题1：投掷一枚质地均匀的硬币时，结果正面向上的概率是多少？

 答：0.5

问题2：周末，县体育馆有一场精彩的篮球比赛，小亮手中有一张球票，小强和小明都是班上的篮球迷，两人都想去，小亮很为难，不知给谁，请大家帮小亮想个办法解决这个问题.

方案：投掷硬币，若正面朝上，小强获得球票；若反面朝上，小明获得球票.

问题3：为什么要用投掷硬币的方法呢？

理由：这样做公平.能保证小强和小明得到球票的可能性一样大，即得票概率相同.

问题4：如果掷硬币机会均等，

若投掷10次硬币，是否一定是5次正面向上？投掷50次，100次……？

【教学说明】在此基础上，导出课题试验.

二、思考探究，获取新知

1.自主学习课本157~159页内容，初步了解如何用频率估计概率.

2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：

（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.

（2）小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？

分析：概率是描述随机现象的数学模型，它不能等同于频率.只有在一定的条件下，大量重复试验时，随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，才可估计此事件的概率.

解：（1）“3点朝上”的频率是6/60=1/10；“5点朝上”的频率是20/60=1/3.

（2）小颖的说法是错误的.因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.小红的说法也是错误的.因为事件的发生具有随机性，所以“6点朝上”的次数不一定是100次.

3.六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的不透明的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动的人数为40000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个.

（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；

（2）请你估计袋中白球接近多少个？

分析:（1）由40000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10000个，结合频率的意义可直接求得.（2）由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解.

解:（1）因为1000/040000=1/4,所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为1/4.

（2）因为试验次数很大时，频率接近于理论概率.

所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是1/4.

设袋中白球有x个，则根据题意，得6/(x+6)=1/4,解得x＝18.经检验x＝18是方程的解.所以估计袋中白球接近18个.

【教学说明】利用频率估计概率，并以此引进未知数构造方程是求解此类问题的常用方法，同学们在学习时应注意体会和运用.

【归纳结论】1.概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率，但两者不能简单地等同.

2.用频率估计概率的方法，主要适合试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等的随机事件.

三、运用新知，深化理解

1.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（C）

A.1/16

B.1/4

C.π/16

D.π/4

2.如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是1/2.

3.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有6个.

4.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?

解：根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125；

该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻.

【教学说明】让学生进一步感受用频率估计概率方法的适用范围，并用概率值来解释生活经验．

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些疑惑？请与同伴交流.

【教学说明】学生根据本节课所学，总结本节课的内容，教师补充强调.

1.布置作业:教材“习题3.4”中第1题.

2.完成练习册中相应练习.

通过本节课的学习，使学生明白通过大量的重复试验，可以把稳定在某个常数附近的频率作为事件发生的概率．教师需要引导学生体会统计概率的本质是估计，用频率估计概率的目的是为了解释现象、解释生活，而不是为了得到一个准确的数值．

本章复习

1.回顾本章内容，用所学的概率知识去解决某些现实问题，再归纳和总结试验频率与理论概率的关系.

2.学会与人合作，进一步发展学生合作交流的意识和能力.

3.形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神.

【教学重点】

用所学的概率知识去解决某些现实问题.

【教学难点】

用所学的概率知识去解决某些现实问题.

一、知识结构

【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系.

二、释疑解惑，加深理解

1.用树状图或表格求概率.

回顾：用树状图或表格求概率时应注意什么情况？

2.用频率估计概率.

如何用频率估计概率？

【教学说明】让学生通过知识性内容的小结，了解本章所学内容，如何用所学知识解决实际问题.

三、典例精析，复习新知

1.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（   ）

A.1/3        B.5/12         C.1/12          D.1/2

解析：让黄灯亮的时间处于总时间即为抬头看信号灯时，是黄灯的概率.每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒共60秒，所以是黄灯的概率是5/60=1/12.故选C.

解答：C

2.以下说法合理的是（   ）

 A.小明在10次抛图钉的试验中发现有3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%

 B.抛掷一枚普通的正方体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6

 C.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定有2张中奖

 D.在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51

解析：概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生.A选项，10次抛图钉的试验太少，错误；B选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；C选项，概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；D选项，根据概率的统计定义，可知正确.

解答：D

3.如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（   ）

A.2/5         B.3/10         C.3/20        D.1/5

解析：列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可.列表得：

所以两个转盘的组合有20种结果，其中有6种指针都落在奇数，所以指针都落在奇数上的概率是6/20=3/10，故选B.

解答：B

4.小明每天骑自行车上学都要经过三个安装有红绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，那么，小明从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？

分析：用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可.

解：A表示红灯，B表示绿灯，根据题意画出树状图，如图所示：

他至少遇到一次红灯的概率是7/8；不遇红灯的概率是1/8.

【教学说明】通过例题的分析和讲解，突出本章内容的重点、难点和解题的方法.在整节课中起到画龙点睛的作用.

四、复习训练，巩固提高

1.某学校的初二（1）班，有男生20人，女生24人，其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则抽到一名走读女生的概率是_______.

解析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.共44名学生，其中女生24人，有20人住宿，即4人走读．故抽到一名走读女生的概率是4/44=1/11.

解答：1/11

2.小明与小亮在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布”的方式确定，请问在一个回合中两个人都出“布”的概率是______.

解析：小明与小亮在用“锤子、剪刀、布”的方式确定时共9种结果，故在一个回合中两个人都出“布”的概率是1/9.

解答：1/9

3.中央电视台《幸运52》栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是________.

解析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.∵某观众前两次翻牌均获得若干奖金，即现在还有18个商标牌，其中有奖的有3个，∴他第三次翻牌获奖的概率是3/18=1/6.

解答：1/6

4.口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，任意摸出一个球是绿色的概率是1/3.

求：（1）口袋里黄球的个数；

（2）任意摸出一个球是红色的概率.

分析：（1）设口袋中有黄球m个，根据概率的求法求任意摸出一个球是绿色的概率，将1/3代入即可求出m的值；（2）口袋里有红球4个，共有15个球任意摸出一个球是红色的概率为4/15.

解：（1）设口袋中有黄球m个，任意摸出一个球是绿色的概率是5/(4+5+m)=1/3，解可得m=6，即有6个黄球；

（2）口袋里有红球4个，共有4+5+6=15个球，故任意摸出一个球是红色的概率为4/15.

5.将分别标有数字1、2、3的三张硬纸片，反面一样，现把三张硬纸片搅均反面朝上．

（1）随机抽取一张，恰好是奇数的概率是多少？

（2）先抽取一张作为十位数（不放回），再抽取一张作为个位数，能组成哪些两位数，将它们全部列出来，并求所组成的两位数中大于20的概率.

分析：根据概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率.

解：（1）根据题意分析可得：有分别标有数字1、2、3的三张硬纸片，其中奇数有2个，故随机抽取一张，恰好是奇数的概率为2/3；

（2）共有12、13、21、23、31、32六种情况，大于20的有4个，故其概率为2/3.

6.某校九年级1，2班联合举行毕业晚会，组织者为了使晚会气氛热烈、有趣，策划时计划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．1班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘（如图）设计了一个游戏方案，两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时，1班代表胜，否则2班代表胜，你认为该方案对双方是否公平？为什么？

分析：本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可：

解：该方案对双方是公平的．理由如下：

列表如下：

由上表可知，该游戏所有可能的结果共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，和为奇数的也有6种.

所以1班代表获胜的概率为P1=6/12，2班代表获胜的概率为P2=6/12，即P1=P2，所以该游戏方案对双方是公平的.

【教学说明】通过练习，巩固概率的基础知识，加深对概率知识、方法及应用的认识.通过老师的辅导，帮助学生对本节内容进行查漏补缺.

五、师生互动，课堂小结

你有什么收获？请同学们自己谈谈.

【教学说明】师生共同小结.在小结时教师根据学生完成以上练习的情况穿插点评.

布置作业:教材“复习题”中第2、4、5题.

本节课复习课，力求串起全章主要知识点，达到复习目的.使学生具备随机观念，从而能明智地应付变化和不确定性，是概率教学的主要目标.随机观念的培养需要一个长期的过程，教学中以学生自主活动和合作交流为主，使学生在活动中加深对知识的理解，并能进一步应用.