【培优分级练】北师大版数学九年级上册 第19课《概率的进一步认识单元综合检测》培优三阶练（含解析）

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第19课 概率的进一步认识 单元综合检测
一、单选题
1．掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．
2．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（       ）.
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解析】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；
B、正确；
C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
3．从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为，则该班女生与男生的人数比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设出总人数，利用概率求出女生人数，利用总数-女生人数求出男生人数即可，
【解析】解：设总人数有5x人，
∵随机选取一名学生是女生的概率为，
∴女生人数为人，
∴男生人数为：人，
∴女生与男生的人数比是．
故选A．
【点睛】本题考查频数总数与频率的关系，掌握利用概率估计女生的方法，会求单项式除以单项式求比值是解题关键．
4．一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【解析】根据题意可得：箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，共9个球，
从箱子中随机摸出一个球，它是红色球的概率是；
故选：C．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
5．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】列表如下：

∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
6．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.问第2局的输者是（     ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙．
解：由题意，知：三场比赛的对阵情况为：
第一场：甲VS乙，丙当裁判；
第二场：乙VS丙，甲当裁判；
第三场：甲VS乙，丙当裁判；
第四场：甲VS丙，乙当裁判；
第五场：乙VS甲，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故选C．
点评：解决本题的关键是推断出每场比赛的双方．
7．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球200次,其中16次摸到黑球,估计盒中大约有白球的个数为(　　)
A．30个 B．92个 C．84个 D．76个
【答案】B
【分析】可根据“黑球数量黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式可求出白球的个数,其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”,“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”.
【解析】解:设盒子里有白球x个,
根据得:

解得:x=92.
经检验得x=92是方程的解.
故选B.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识,利用频率估计概率有以下条件及方法:
(1)当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时,要用频率来估计概率;
(2)当试验次数足够大时,试验频率稳定于理论概率.
8．如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择7月1日至8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是(   )

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折线统计图可得连续3天中空气质量指数的所有情况，继而利用概率公式求得答案．
【解析】解：∵7月1日至7月3日3天优良；7月2日至7月4日2天优良；7月3日至7月5日1天优良；7月4日至7月6日0天优良；7月5日至7月7日1天优良；7月6日至7月8日1天优良；7月7日至7月9日1天优良；7月8日至7月10日0天优良；
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次数n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的频率
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
0.520

下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（     ）A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据概率公式和图表给出的数据对各项进行判断，即可得出答案．
【解析】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；正确；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
10．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是(     )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】Ｐ(科普读物)==.
故选B.

二、填空题
11．箱子里有4个红球和个白球，这些球除颜色外均差别，小李从中摸到一个白球的概率是，则__________．
【答案】6
【分析】根据白球的概率结合概率公式列出关于的方程，求出的值即可．
【解析】解：摸到一个白球的概率是，
，
解得．
经检验，是原方程的根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．
12．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是___．
【答案】
【分析】列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占总情况的多少即可．
【解析】解:设3个茶杯分别为A、B、C，A的杯盖是a，B的杯盖是b，
所有情况如下树状图：

共有6种等可能的结果，其中花色完全搭配正确的有2种，
所以花色完全搭配正确的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．在围棋盒中有4颗黑色棋子和n颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是白色棋子的概率是，则n的值________．
【答案】6
【分析】由题意根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可列方程求解.
【解析】解：∵围棋盒中有4颗黑色棋子和n颗白色棋子，
∴棋子的总个数为4+n，
∵从中随机摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率为，
∴
解得，n＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数的比值是解题的关键.
14．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为____________
【答案】
【分析】根据题意画出树状图求解即可；
【解析】由题可得：

共有9种情况，两次摸到红球的情况有4种，
∴两次都摸到红球的概率为；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，准确计算是解题的关键．
15．有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是___．
【答案】
【解析】∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2、3、4；3、4、7；2、4、7；3、4、7四种情况，而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，
∴能组成三角形的概率是
16．计算机的“扫雷”游戏是在个小方格的雷区中，随机埋藏着地雷，且每个小方格最多能埋藏1颗地雷．如图，小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字是“2”，它表示与这个方格相邻的8个小方格中共埋藏着2颗地雷，则小明接下来在数字2的周围随机点开一个方块，踩中地雷的概率为________．

【答案】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解析】解：∵8个位置有2颗地雷，
∴踩中地雷的概率=；
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n
10
100
200
500
1000
击中靶心次数m
9
86
168
426
849
击中靶心频率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849

则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是__________（精确到0.01）．
【答案】0.85
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【解析】解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知随着射击次数的增多,频率都在0.85上下波动，
所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，
故答案为：0.85．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
18．若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，任意抽取一个数，抽到偶数的概率为____________ ．
【答案】
【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵所有大于0且小于100的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，共有11个，7个偶数，4个奇数，
∴P（抽到偶数）．


三、解答题
19．一个不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．
（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果；       
（2）求2个球颜色相同的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用树状图把所有可能情况罗列出来即可．
（2）找出两个颜色相同的事件的个数，再用这个个数除以总共事件的个数．
【解析】（1）如图所示

（2）：一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为： = ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，概率的计算，掌握这些是本题关键．
20．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．


(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）=；（2）选择转转盘对顾客更合算．
【解析】解：（1）∵转盘被均匀分为份，转动一次转盘获得购物券的有种情况，
∴转动一次转盘获得购物券概率=．
（2）因为红色概率=，黄色概率=，绿色概率=，元，

∴选择转转盘对顾客更合算．

21．某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3）
【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可；
（2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可；
（3）画出表格或树状图，然后计算概率即可
【解析】解：（1）（件）
（2）12-2-5-2=3，补充作图如下：

（3）列表如下：

由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为
【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键，
22．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出1个小球．
（本题中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母．）
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
【答案】（1）P（1个元音）；P（2个元音）；P（3个元音）；（2）P（3个辅音）．
【分析】（1）用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可；
（2）用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可．
【解析】根据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图（如图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即
A   A   A   A   A   A   B   B   B   B   B   B
C   C   D   D   E   E   C   C   D   D   E   E
H   I     H   I   H   I     H   I   H     I   H     I
这些结果出现的可能性相等．
（1）只有1个元音字母的结果（红色）有5种，即，，，，，所以
P（1个元音）．
有2个元音字母的结果（绿色）有4种，即，，，，所以
P（2个元音）．
全部为元音字母的结果（蓝色）只有1种，即，所以
P（3个元音）．
（2）全是辅音字母的结果共有2种，即，，所以
P（3个辅音）．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．
23．一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫．每包中混入的M号衬衫数见下页表：
M号衬衫数
0
1
4
5
7
9
10
11
包数
7
3
10
15
5
4
3
3

一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率：
（1）包中没有混入M号衬衫；
（2）包中混入M号衬衫数不超过7；
（3）包中混入M号衬衫数超过10．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解析】解：（1）P(没混入M号衬衫)＝．
（2）P(混入的M号衬衫数不超过7)＝＝．
（3）P(混入的M号衬衫数超过10)＝．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．根据概率公式分别计算即可．
24．衢州城市形象宣传片《南孔圣地 衢州有礼》已正式发布，此篇历时多个月拍摄，从不同角度向世界介绍了衢州，现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“衢”、“州”、“有”、“礼”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字是“礼”的概率是多少．
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的概率P．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解析】（1）∵分别标有汉字“衢”、“州”、“有”、“礼”的四个小球，
∴从中任取一个球，球上的汉字“礼”的概率是；
（2）画树状图如下：

∵共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的有2种结果，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的概率P＝＝．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
25．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和1个黄色的球（每个球除颜色外其余都相同）．
（1）如果从上述口袋中，同时随机摸出2个球，请用列表或画树状图的方法求摸到两球恰好是一白一黄的概率．
（2）小明往口袋中再放入若干个黄色的球（每个球除颜色外其余都相同），为了弄清黄球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），如表是实验的部分数据：请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是　 　（精确到0.01），此时口袋中共有黄球约　 　个．
摸球次数
80
180
600
1000
1500
摸到白球次数
21
46
149
251
371
摸到白球的概率
0.2625
0.256
0.2483
0.251
0.247


【答案】（1）见解析，；（2）0.25，2
【分析】（1）根据画树状图法即可得到结论；
（2）从表中可估计摸到白球的概率为0.25，然后求出球的总数，可得结果．
【解析】解：（1）同时随机摸出2个球，画树状图如下，

由树状图可以看出所有可能出现的结果共有3种，
结果摸到两球恰好是一白一黄的有1种，
P（一白一黄）=；
（2）从表中可估计摸到白球的概率为0.25，
球的总数为1÷ 0.25= 4个，
可得黄球的个数为4- 1 - 1 = 2个，
估计有2个黄色的球，
故答案为：0.25，2．
【点睛】本题考查了模拟实验，频数分布表，列表法和树状图，正确的理解题意是解题的关键．
26．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【解析】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
，，
，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
，，共两种，
故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．