初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和本节综合课时训练

11.3 多边形及其内角和

11.3.3 多边形的外角和

【知识重点】

1.定理 多边形的外角和等于360° .

多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180° ＝360° .

特别解读

1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.

2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.

2.常见应用

(1)已知外角度数求正多边形的边数；

(2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为.

【经典例题】

【例1】根据下列条件解决问题：

(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；

(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.

解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.

【同步练习】

一、选择题

1．【2020·北京】正五边形的外角和为(　　)

A．180°   B．360°  C．540°   D．720°

2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是(　　)

A．3  B．6  C．9  D．12

3．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为(　　)

A．540°   B．720°  C．900°   D．1 080°

4．【2020·西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　　)

A．8   B．9  C．10   D．11

5．【2020·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为(　　)

A．80米 B．96米   C．64米    D．48米

第5题图　                        第8题图

6．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为(　　)

A．1∶3   B．1∶2  C．2∶1   D．3∶1

7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　　)

A．12  B．13   C．14  D．15

8．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(　　)

A.α－β＝0    B.α－β＜0    C.α－β＞0    D.无法比较α与β的大小

9．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是(　　)

二、填空题

10．多边形的外角和等于　   　.

11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝______.

12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.

13．一个六边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是　   　　   　　   　　   　.

三、解答题

14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍．求这个多边形的边数．

15．一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．

16．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9∶2，求这个多边形的边数．

17．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.

(1)求此多边形的边数；

(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？

18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等．求代数式h·(m－k)n的值．

19．【2021·交大附中期末】(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；

(2)请你用文字描述上述关系；

(3)用你发现的结论解决下面的问题：

如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．

参考答案

【经典例题】

【例1】根据下列条件解决问题：

(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；

(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.

解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.

(1)解：设该多边形的边数为n.

根据多边形的外角和为360°，得n×72°＝360°，

解得n＝5．

∴该多边形的边数为5.

(2)解：∵多边形的外角和为360°，

∴ 360°÷30°=12.

故这个正多边形的边数为12.

【同步练习】

一、选择题

1．【2020·北京】正五边形的外角和为(　B　)

A．180°   B．360°  C．540°   D．720°

2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是(　B　)

A．3  B．6  C．9  D．12

3．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为(　D　)

A．540°   B．720°  C．900°   D．1 080°

4．【2020·西藏】一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(　C　)

A．8   B．9  C．10   D．11

5．【2020·德州】如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时，共走路程为(　C　)

A．80米 B．96米   C．64米    D．48米

第5题图　                        第8题图

6．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为(　D　)

A．1∶3   B．1∶2  C．2∶1   D．3∶1

7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(　C　)

A．12  B．13   C．14  D．15

8．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是(　A　)

A.α－β＝0    B.α－β＜0    C.α－β＞0    D.无法比较α与β的大小

9．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是(　B　)

【解析】由新多边形的内角和是其外角和的2倍，可得新多边形内角和为360°×2＝720°，进而得到新多边形的边数为6.对照各选项进行判断即可.

二、填空题

10．多边形的外角和等于　   　.

【答案】360°

11．若正n边形的一个外角是36°，则n＝______.

【答案】10

12．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.

【答案】300°

13．一个六边形截去一个角后，所形成的多边形的内角和是　   　　   　　   　　   　.

【答案】540°或720°或900°　

三、解答题

14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍．求这个多边形的边数．

解：设多边形的边数为n，(n－2)·180°＝360°×2，∴n＝6.

15．一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．

解：设该正多边形的每个内角是 x°，相邻外角是 y°，

则得到一个方程组解得

而任何多边形的外角和是 360°，

则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.

故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是三条．

16．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9∶2，求这个多边形的边数．

解：设这个多边形一个内角的度数为9x，则一个外角的度数为2x，根据题意，得

9x＋2x＝180°，解得x＝.

360°÷＝11，

所以这个多边形的边数为11.

17．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.

(1)求此多边形的边数；

解：设此多边形的边数为n，这个外角为x度，

则0＜x＜180，

根据题意得(n－2)·180＋x＝1 350，∴n＝9＋.

∵n为正整数，且0＜x＜180，

∴90－x＝0，∴x＝90，则n＝9.即此多边形的边数为9.

(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？

解：由(1)知此多边形确定的内角的度数为180°－90°＝90°.

18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等．求代数式h·(m－k)n的值．

解：∵m边形从一个顶点出发的对角线有(m－3)条，∴m＝7＋3＝10.∵n边形没有对角线，∴n＝3.

∵k边形有k条对角线，∴(k－3)＝k，得k＝5.∵正h边形的内角和与外角和相等，∴h＝4.

∴h·(m－k)n＝4×(10－5)3＝500.　

19．【2021·交大附中期末】(1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；

解：设∠1的邻补角为∠5，∠2的邻补角为∠6.

∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，

∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.

∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．

∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，

∴∠1＋∠5＋∠2＋∠6＝360°，

∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.

(2)请你用文字描述上述关系；

解：在一个四边形中，两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．

(3)用你发现的结论解决下面的问题：

如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．

解：∵∠B＋∠C＝240°，

∴由(2)知∠MDA＋∠NAD＝240°.

∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，

∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.

∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°.

∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.