人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和第2课时导学案
展开第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
学习目标:1.探索含30°角的直角三角形的性质.
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
重点:含30°角的直角三角形的性质.
难点:运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
自主学习
教学备注:学生在课前完成自主学习部分
知识链接
1.等边三角形的性质有哪些?
2.如何判定一个三角形是等边三角形?
课堂探究
一、要点探究
探究点:含30°角的直角三角形的性质
如图,△ADC是△ABC的轴对称图形,因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°,从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.
要点归纳:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .
想一想:你还能用其他方法证明吗?
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°.
求证:BC =AB.
要点归纳:
含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式:∵在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,
∴BC =AB.
判断下列说法是否正确:
(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.
(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.
(3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半.
(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.
典例精析
例1:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是( )
A.3 cm B.6 cm
C.9 cm D.12 cm
注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
例2:如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于( )
A.3 B.2
C.1.5 D.1
方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
例3:如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.
方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
例4:如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm,∠A =30°,立柱BC、DE 要多长?
例5:已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.
方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°角,利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
二、课堂小结
含30°角的直角三角形的性质:应用的前提在 三角形中,结论是30°角所对的直角边是 的一半,而不是任一直角边是斜边的一半.
当堂检测
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
第1题图 第2题图
2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,∠A =30°,AB =4.则BD = .
第3题图 第5题图
4.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,若AB=10,则BC = .
5.如图,Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,AB+BC=12 cm,则AB=______.
6.在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA.
拓展提升:
8.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.等边三角形的三条边相等,三个角相等,且都是60°.
2.三条边相等的三角形是等边三角形;三个角相等的三角形是等边三角形.
课堂探究
二、要点探究
探究点:含30°角的直角三角形的性质
要点归纳 一半
想一想:证法1:证明:在△ABC中,∵∠ACB =90°,∠BAC =30°,∴∠B =60°.
延长BC 到D,使BD =AB,连接AD,则△ABD 是等边三角形.
又∵AC⊥BD,∴BC =BD.∴BC =AB.
证法2:证明:在BA上截取BE=BC,连接EC.
∵∠B=90°-∠A= 60°,BE=BC,∴△BCE是等边三角形,
∴∠BEC= 60°,BE=EC=BC.
∵∠A= 30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.
∴AE=EC=BE=BC,∴AB=AE+BE=2BC.
判断下列说法是否正确 (1)× (2)× (3)× (4)√
典例精析
例1 D 解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=90°-∠A=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6 cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12 cm.故选D.
例2 C 解析:过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA,∴∠PCE=∠AOB=∠BOP+∠AOP=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.
例3 解:CD =DB.理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.
∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.
又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),∴AD=BD,∠DAE=∠B.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴CD=AD=BD,即CD=DB.
例4 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,
∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).
又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).
答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m.
例5 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°,
∴CD=AC=×20=10.
当堂检测
1.B 2.B 3.1 4.5 5.8 cm
6.解:连接AE,∵DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE,
∴∠EAB=∠B=15°,∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°.
∵∠C=90°,∴AC=AE=BE=2.5.
7.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°,∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE.∴AB=4AE,∴BE=3AE.
拓展提升:
8.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°.
∵CD=AE,∴△ADC≌△BEA.∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°,∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.
又∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°,∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ.
沪教版 (五四制)八年级上册19.8 直角三角形的性质导学案及答案: 这是一份沪教版 (五四制)八年级上册19.8 直角三角形的性质导学案及答案,共3页。
初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形第4课时学案: 这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形第4课时学案,共3页。学案主要包含了前置准备,自主学习,合作交流;,归纳总结,例题解析,当堂训练等内容,欢迎下载使用。
沪教版 (五四制)八年级上册19.8 直角三角形的性质学案: 这是一份沪教版 (五四制)八年级上册19.8 直角三角形的性质学案,共4页。学案主要包含了知识链接,自主学习,学习小结,达标检测等内容,欢迎下载使用。