山东省滨州市阳信县2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

这是一份山东省滨州市阳信县2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年下学期高二期中学情检测
数学试题（B）
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根据并集运算的定义求解即可．
【详解】解：∵，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．
2. 已知，，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
说明由可得得到，通过特例说明无法从得到，从而得到是的充分不必要条件.
【详解】由，可得，
由，即，，
解得或.
于是，由能推出，反之不成立.
所以是充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
3. 已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（ ）
A. 若a>b，c>d，则a＋b>c＋d
B. 若a>－b，则c－a C. 若a>b，c D. 若a2>b2，则－a<－b
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项.
【详解】对于A选项，如，则，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，所以，故B选项正确.
对于C选项，如，则，所以C选项错误.
对于D选项，如，则，所以D选项错误.
综上所述，正确的命题为B.
故选：B
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
4. 由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（ ）个.
A. 20 B. 32 C. 40 D. 52
【答案】D
【解析】
【分析】按偶数字在个位分类：一类不是0，另一类是0计算，最后求和即可.
【详解】按偶数字在个位分类：
个位是2或者4时，0不能在百位，十位在余下4个数字中选择，所以有2×4×4=32，
个位是0时，百位、十位没有限制在余下5个数字中选择2个，所以有5×4=20，
共有32+20=52．
故选：D．
5. 已知，取值如下表：

0
1
4
5
6

1.3
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则m的值(精确到0.1)为
A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，即可求解.
【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，
，即样本中心为，
代入回归直线方程，即，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则最小值为
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值.
【详解】离散型随机变量X服从二项分布，
所以有，
，
所以，即，（，）
所以 ，
当且仅当时取得等号．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
7. 某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（ ）
，则：
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布的性质求出的概率，再利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】因为单只海鲜产品质量，所以，，则，
所以
，
现随机购买只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于克该海产品的概率.
故选：B
8. 已知在二项式展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式系数最大项确定，然后利用二项式展开式的通项公式即可求得有理项.
【详解】二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，

则，
当时，为有理项，
且，
符合要求，
所以有理项有3项，分别为5，11，17项.
故选：C
【点睛】本题考查了二项式系数和二项式展开式，属于中档题.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列结论正确的是（ ）．
A. 若，则的最大值为
B. 若，，则
C. 若，，且，则最大值为9
D. 若，则的最大值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即的最大值为；A正确；
B选项，由，，可得，即，故B正确；
C选项，若，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错；
D选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10. 关于的展开式的说法，正确的有（ ）
A. 常数项为 B. 所有项的系数和为
C. 展开式中含有项 D. 展开式中含有项
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意，写出展开式的通项，再一一验证即可.
【详解】，
其中展开式的通项为，
所以展开式的常数项为，故A正确；
令可得所有项的系数和为，故B正确；
令，解得，又，不合题意，
令，解得，又，不合题意，故展开式中不含有项，故C错误；
令，解得， 令，解得，
所以展开式中含有项为，
故展开式中含有项，故D正确；
故选：ABD
11. 已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开，且在每一局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”．记“甲获得冠军”为事件A，“乙获得冠军”为事件B，随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数，则下列结论正确的为（ ）
A.
B. 若采用“五局三胜制”，则
C. 采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利
D. 若采用“五局三胜制”，则
【答案】AD
【解析】
【分析】分析可得表示决出冠军需进行2局比赛，计算即可判断A的正误；分析、、的意义，即可判断B的正误；分别计算采用“五局三胜制”和采用“三局两胜制”时的，即可判断C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：表示决出冠军需进行2局比赛，即甲连赢2局或乙连赢2局，
则，故A正确；
对于B：若采用“五局三胜制”，则表示甲赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛，
表示乙赢得冠军，此时可进行3或4或5场比赛，
表示比赛3局决出冠军，表示比赛4局决出冠军，表示比赛5局决出冠军，
所以，故B错误；
对于C：采用“五局三胜制”则，
若采用“三局两胜制”则，
所以采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利，故C错误；
对于D：若采用“五局三胜制” 则，

所以，故D正确.
故选：AD
12. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54
B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44
C. 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D. 第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据可知，或方程只有非正根，由此可解得的范围.
【详解】分和两种情况讨论．
①当时，A中的元素为非正数，，即方程只有非正数解，
所以解得；
②当时，，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
故答案为：
【点睛】当时，包含和两种情况，容易被忽略.
14. 若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【详解】因为且，所以，
当且仅当即时取．
即恒成立．要使2x＋y＞m恒成立，
则．
15. 某地区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等8名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天.现要求甲、乙、丙至少选两人参加.考虑到实际情况.当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为________.（请算出具体数值）
【答案】
【解析】
【分析】由排列组合中的分类计数原理，分类讨论当甲、乙、丙只有两人参加时和当甲、乙、丙三人都参加时不同的安排数，再求解即可．
【详解】解：①甲、乙、丙中只选两人，有种选法，再从余下5人中任选4人有选法，
将选取的6人安排到周一到周六有种，因此，共有不同安排种数为，
②当甲、乙、丙三人都参加时，因为丙一定得排在甲乙之间，
从余下5人中任选3人有选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有种，另3天安排所选3人有种，那么不同的安排数为种，
故不同的安排数为，
故答案为：．
16. 设随机变量X的分布列为，若，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出，即得解.
【详解】解：因为，
所以，，，．
又，
又，所以．
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知．
（1）求展开式中含的项的系数；
（2）设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出展开式的通项公式，令的指数为，可求出值，从而得解；
（2）求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数的和，然后建立方程即可求解.
【小问1详解】
的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）．
令，则，
∴展开式中含的项为，
∴展开式中含的项的系数为．
【小问2详解】
由题意可知，，
∵，
∴，解得或．
18. 西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行．开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不同的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格．假设该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格的概率分别为，指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
（1）求该新技术检测得8分的概率；
（2）记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件计算即可；
（2）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【小问1详解】
记“该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格”分别为事件A，B，C，
则
所以“该新技术检测得8分”可表示为，
故;
【小问2详解】
的所有可能取值为0，1，2，3.
由题意结合（1）可得：，
同理可得：，
,
所以的分布列如下：

0
1
2
3
P




故.
19. 5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信5G技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
收益（亿元）
45
56
64
68
72

（1）利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
（2）求关于的线性回归方程．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出相关系数，判断两个变量有很强的线性相关性；
（2）计算出，求出线性回归方程.
【小问1详解】
由表中数据可得，，
∴，又，，
∴．
∴与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．
【小问2详解】
由表中数据可得，
则，
∴，
故关于的线性回归方程为．
20. 一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个.若从中不放回地取球，每次取1个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为.
（1）求白球和黑球各有多少个；
（2）若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；
（3）若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望.
【答案】（1）白球有4个，黑球有6个
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）设袋中有黑球x个，则白球有10-x个，利用条件概率求解；
（2）由（1）得到摸出黑球的概率是，然后利用独立重复试验求解；
（3）的可能取值为0,1,2，求得其相应概率，列出分布列，再求期望.
【小问1详解】
解：设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，
设取出黑球为事件A，取出白球的事件为B，
则，
解得，
所以白球有4个，黑球有6个；
【小问2详解】
由（1）知摸出黑球的概率是，
则有放回地从袋中随机摸出3个球，
恰好摸到2个黑球的概率为；
【小问3详解】
的可能取值为0,1,2，
则，，
，
的分布列为：
X
0
1
2
P



.
21. 为迎接建党一百周年，在全县中小学校开展“恰是百年风华，爱我山河美景”竞赛考试活动，进一步激发学生的爱国热情.某中学于2021年3月份对全校学生进行了“建党一百周年”国防教育知识竞赛考试，并随机抽取了100名学生的成绩进行了统计，其中男女生各占一半，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分（满分100分）及以上者为成绩优秀，否则为成绩不优秀.

（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为“成绩优秀”与性别有关？

成绩优秀
成绩不优秀
合计
男
17


女


50
合计



（3）将频率视为概率，从本次考试的全县所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，记抽取的4人中成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
附：

…
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
…
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

【答案】（1）；（2）表格见解析，有；（3）分布列见解析，1人.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，得到方程，解得即可；
（2）根据频率分布直方图，完善列联表，求出，再与参考值比较，即可判断；
（3）由（2）知，成绩优秀的概率为，则，再根据二项分布概率公式求出概率，即可得到分布列，最后用二项分布的期望公式计算可得期望；.
【详解】解:（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，解得.
（2）由频率分布直方图知，优秀的频率为，所以成绩优秀的学生数为25人.所以可得列联表如下：

优秀
不优秀
合计
男
17
33
50
女
8
42
50
合计
25
75
100
.
所以有95%的把握认为“成绩优秀”与性别有关.
（3）由（2）知，成绩优秀的概率为，
从本次考试的全县所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，
则抽取的4人中成绩优秀的人数服从二项分布，
即.所以可能取值为0，1，2，3，4，且
；
；
；
；
.
即的分布列为

0
1
2
3
4






因为，所以（人）.
22. 2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：
蔬菜量X
[40，80）
[80，120）
[120，160）
[160，200）
天数
25
50
100
25
若将频率视为概率，试解答如下问题：
（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；
（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？
【答案】（1）；（2）3．
【解析】
【分析】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A），由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．
（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．
【详解】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，
则P（A），
∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：
p．
（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，
设物流公司每天的营业利润为Y，
若租赁1辆车，则Y的值为2000元，
若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，
P（Y＝4000），P（Y＝1600），
∴Y的分布列为：
Y
4000
1600
P



∴E（Y）＝40003700元．
若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，
P（Y＝6000），
P（Y＝3600），
P（Y＝1200），
∴Y的分布列为：
Y
6000
3600
1200
P




∴E（Y）4800元，
若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，
P（Y＝8000），
P（Y＝5600），
P（Y＝3200），
P（Y＝800），
∴Y的分布列为：
Y
8000
5600
3200
800
P





∴E（Y）4700，
∵4800＞4700＞3700＞2000，
∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．
【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．