人教版七年级上册第四章 几何图形初步4.3 角4.3.1 角同步训练题

培优专题12 角中的动态问题

类型一：运动的三角尺问题

1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】

如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．

【解决问题】

（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？

（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．

（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．

①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？

②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．

2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）

(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点，与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA，OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止，是否存在一个时间t（秒）使∠BOC＝3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B＝∠AOB＝45°，∠A＝90°和∠D＝30°，∠COD＝60°，∠C＝90°）按如图所示摆放使得B、O、D三点共线．将三角尺ABO绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO与OD重合时停止运动，设三角尺ABO的运动时间为t秒．

(1)当t＝10时，∠AOD＝     °．

(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．

(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

4．（2021·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动.设三角尺的运动时间为（秒）

（1）当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为_            ;

（2）             秒时，边平分;

（3）若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，

①当为何值时，边平分;

②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得.若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由.

类型二：角的动线问题

5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线上依次有、、三点，若射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图②，设旋转时间为秒（）．

（1）__________度，__________度．（用含的代数式表示）

（2）在运动过程中，当等于时，求的值．

（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线平分或 (，均为小于的角)？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．

6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时间为t，

(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示∠BOC，则∠BOC=________

(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？

(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．

7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】

射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．

【知识运用】

（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝　   　°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是　   　．（用含α的代数式表示）

（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．

①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．

8．（2020·江苏徐州·七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，点C在AB的上方．MON为直角三角板，O为直角顶点，，ON在射线OC上．将三角板MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC绕点O以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA重合时，所有运动都停止．设运动的时间为t秒，

（1）旋转开始前，∠MOC＝                °，∠BOM＝                °；

（2）运动t秒时，OM转动了                °，t为                秒时，OC与OM重合；

（3）t为何值时，∠MOC=35°？请说明理由．