培优专题07 直线与抛物线的交点问题-【核心考点突破】2022-2023学年九年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题07直线与抛物线的交点问题

已知二次函数

 （1）轴与二次函数得交点为(0, ).

 （2）与轴平行的直线与二次函数有且只有一个交点(,).

 （3）二次函数与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.

二次函数与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点二次函数与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）二次函数与轴相切   此时二次函数为；

总结完全平方形式的二次函数与x轴只有一个交点

      ③没有交点二次函数与轴相离.注意这种情况 当a＞0,y值恒＞0，当a＜0,y值恒＜0，

  （4）平行于轴的直线与二次函数的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

【方法归纳】

(1)  求直线与抛物线的交点坐标,只需联立直线与抛物线的解析式,解关于x,y的方程组,即可求得交点坐标;(2)利用一次函数y=kx+t和二次函数y=ax2+bx+c的图象比较两函数值的大小及确定不等式kx+t>ax+bx+c或んx+t<ax+x+c的解集,需运用数形结合进行分析判断,其中函数值较大,表现在图象上即图象在上方;函数值较小,表现在图象上即图象在下方

◎类型一：与x轴交点问题

1．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ）

A．5 B． C．5或1 D．或

2．（2019·湖北荆门·中考真题）抛物线与坐标轴的交点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2012·湖南株洲·中考真题）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【   】

A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．x=﹣3 D．x=﹣2

◎类型二：与y轴交点问题

4．（2014·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）

A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）

5．（2007·浙江温州·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是（　　）

A．（4，0） B．（-4，0） C．（0，-4） D．（0，4）

6．（2012·山东滨州·中考真题）抛物线与坐标轴的交点个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

◎类型三：直线与抛物线的交点问题

7．（2021·福建·长汀县第四中学九年级阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求该图象的顶点坐标；

(3)观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．

8．（2021·浙江·奉化市锦屏中学三模）如图，直线与x轴交于点B．抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．

(1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．

(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围．

9．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题：

(1)完成表格；

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质．

(3)观察画出的图象，写出使的自变量x的值，写出使的自变量x的取值范围．

10．（2022·河南南阳·九年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象，再根据图象回答后面的问题．

（1）已知直线AB的解析式是，直接写出不等式的解集______________；

（2）已知点、在二次函数的图象上，且，则、的大小关系是_______．

（3）当时，的取值范围是_______________．

11．（2021·河南南阳·九年级期末）已知二次函数的解析式是．

(1)用配方法将化成的形式；

(2)在直角坐标系中，画出它的图象；

(3)当为何值时，函数值；

(4)当时，观察图象直接写出函数值的取值的范围．

12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．

(1)求m和n的值；

(2)求点B的坐标；

(3)结合图象请直接写出不等式的解集；

(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．