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初中数学人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角同步训练题
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这是一份初中数学人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角同步训练题，共43页。试卷主要包含了单选题，与平行线有关的内角和问题，三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用，直角三角形两锐角互余的应用等内容，欢迎下载使用。
专题11.9 三角形的内角（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的内角和及证明
1．定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
证法1
证法2
如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
如图2，过点作，∵，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（平角定义），
∴（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
2．在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：
如图，已知△ABC，对∠A+∠B+∠ACB＝180°的说理过程如下：
延长BC到点D，过点C作CE∥AB．
∵CE∥AB．
∴∠A＝①（两直线平行，内错角相等）．
∠B＝②（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB+③+④＝180°（平角定义）．
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
下列选项正确的是（ ）
A．①处填∠ECD B．②处填∠ECD C．③处填∠A D．④处填∠B
3．在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
类型二、与平行线有关的内角和问题
4．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
5．如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
7．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（ ）
A．2° B．4° C．8° D．16°
9．如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型四、三角形折叠中的角度问题
10．如图四边形ABCD中，，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若∠1=∠2=44°，则∠B为( )．
A．66° B．104° C．114° D．124°
11．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
类型五、三角形内角和定理的应用
13．将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
14．有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
16．如图，直线，在中，，AC⊥b，垂足为A，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．如图，已知AB//CD，DE⊥AC，垂足为E，∠D=20°，则∠A的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
18．如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（ ）
A．只有①③ B．只有②④
C．只有①③④ D．①②③④
二、填空题
类型一、三角形的内角和及其证明
19．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_____．
20．如图，已知交于点，且，则_____．
21．如图，和是分别沿着边AB、AC翻折180°形成的．DC的延长线交AE于点O，交BE的延长线于点F．若，，则的度数为_______.
类型二、与平行线有关的内角和问题
22．如图，三角形ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，E，H是AC上的点，EF的延长线交AB的延长线于点G，连接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，则∠ADE的度数为__．
23．如图，，，，为上一点，且，在直线上取一点，使，则的值为__________．
24．如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为______．
类型三、三角形内角的角平分线问题
25．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．
26．如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，连结AO并延长交BC于点D，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论：
①∠BOC+∠BMC＝180°；
②∠N＝∠DOH；
③∠BOD＝∠COH；
④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB；
其中正确的有 _____．（填序号）
27．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，则∠BD2C的度数是 _____．
类型四、折叠中三角形内角问题
28．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF，．设，，则α与β之间的数量关系是________．
29．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点，，则__________．
30．如图，将ABC沿着DE对折，点A落到处，若，则∠A＝______度．
类型五、直角三角形两锐角互余的应用
31．已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°．用尺规画出射线AP（痕迹如图），则∠APB的度数为_____．
32．如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一条直线上），若∠B＝46°，AC与DE相交于点G，∠AGD和∠DFB的平分线GP、FP相交于点P，则∠P=______°．
33．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝∠EFD＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的大小为___________度．
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
34．如图，是的高，是角平分线．若，，则______°．
35．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.若∠A＝52°，则∠1＋∠2＝__________；
36．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么的度数为______°．
三、解答题
37．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图，．求证：．
证明：延长，过点作．
∴______（两直线平行，内错角相等），
（_______________）．
∵（平角定义），
∴．
（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；
（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．
38．已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
39．（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．
（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．
40．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD A′的度数.
41．小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．
42．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
参考答案
1．D
【分析】
根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可．
解：三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键．
2．B
【分析】
延长BC到点D，过点C作CE∥AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到∠A+∠B+∠ACB＝180°．
解：延长BC到点D，过点C作CE∥AB．
∵CE∥AB．
∴∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）．
∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角定义）．
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
3．C
解：∵三角形的内角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故选C．
4．D
【分析】
根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，
∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
5．B
【分析】
首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．
解：∵ABCD，
∴∠B＝∠D＝45°．
∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．
6．C
【分析】
根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
解：由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
7．A
【分析】
设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
解：设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
8．A
【分析】
根据角平分线的定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到结论．
解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝∠ABC＋∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
9．C
【分析】
先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
解：标注角度如图所示：
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
10．C
【分析】
根据两直线平行，内错角相等可得，根据翻折变换的性质可得，然后求出∠BAC，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解：在ABCD中，，
∴，
∵ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，
∴，
∴，
在△ABC中，∠B=180°－∠BAC－∠2=180°－22°－44°=114°．
故选C．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握“翻折前后对应边相等，对应角相等”是解本题的关键．
11．B
【分析】
由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．
解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：
，
∴，
∵，
∴，
即．
故选B．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．
12．D
【分析】
根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数．
解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，
∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2=360°-180°=180°，
∵∠1=40°，
∴∠2=140°，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键．
13．D
【分析】
根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点拨】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
14．D
【分析】
根据直角三角形的判定，对各个条件进行分析，从而得到答案．
解：A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确．
故选：D ．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
15．D
【分析】
根据三角形的内角和是，即可求解．
解：，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
16．C
【分析】
首先在△ABC中由∠C=90°得∠1+∠B=90°，根据直线AC⊥b得∠1+∠2=90°，直线得∠2=∠∠3，∠2=∠4，等量代换∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，最后综合所得与∠1互余的角有4个分别为：∠2、∠3、∠4、∠B ．
解：如图所示，
∠C=90°，
∠1+∠B=90°，
∠1与∠B互余;
又a//b，
∠2=∠3，∠2=∠4， .
又AC⊥b，
∠1+∠2=90°，
∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，
综合所述与∠1互余的角有∠2、∠3、 ∠4、∠B，
故选：C．
【点拨】本题综合考查了平行线的性质、垂直的定义、对顶角的性质、余角与补角的定义等相关知识点，掌握平行线的性质解题的关键．
17．C
【分析】
根据直角三角形两个锐角互余，计算∠C=70°，利用两直线平行，同旁内角互补计算即可．
解：∵DE⊥AC，∠D=20°，
∴∠C=70°，
∵AB//CD，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=110°，
故选C．
【点拨】本题考查了直角三角形两个锐角互余，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
18．C
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
解：①∵EG//BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本选项正确．
故正确的是①③④
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
19．①③④
【分析】
利用高线和同角的余角相等，三角形内角和定理即可证明①，再利用等量代换即可得到③
④均是正确的，②缺少条件无法证明．
解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD，即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠CAB=90°，①正确，
∵AE平分∠CAD，EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF，∠C=∠FEB=∠BAD，②错误，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA，③正确，
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF，④正确，
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了三角形的综合性质，高线的性质，平行线的性质，综合性强，难度较大，利用角平分线和平行线的性质得到相等的角，再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键．
20．64°
【分析】
根据三角形内角和定理即可求出答案；
解：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB
∴∠A+∠D=∠C+∠B，
∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°；
故答案为：64°；
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
21．30°
【分析】
根据∠BCA:∠ABC:∠BAC=28: 5: 3,三角形的内角和定理分别求得∠BCA,∠ABC,
∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数.
解：∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x=180°，
解得：x=5°，
则∠BCA=140°，∠ABC=25°，∠BAC=15°，
由折叠的性质可得：∠D=25°，∠DAE=3∠BAC=45°，∠BEA=140°，
在△AOD中，∠AOD=180°-∠DAE-∠D=110°，
∴∠EOF=∠AOD=110°，
∴∠EFC=∠BEA-∠EOF=140°-110°=30°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理、外角和定理，熟练掌握三角形的定理是解题关键.
22．76°
【分析】
根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．
解：∵∠CEF＝∠CHD，
∴DH∥GE，
∴∠ADH＝∠G，
∵∠EFC＝∠ADH，
∵∠BFG＝∠EFC，
∴∠G＝∠BFG，
∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC，
∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，
∴∠EFC＝38°，
∴∠ABC＝76°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝76°，
故答案为：76°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
23．或
【分析】
分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
解：①如图，
当点在四边形内部时，
设，
则，
，
则，
∴.
∵，
∴，
，
即，
.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
②当点在四边形外部时，
由①可知，
，
∴，
∴．
故答案为：或．
．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
24．2或4
【分析】
分点P在线段AC上、在CA的延长线上两种情况，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
解：如图，①当时，即时，
，
，
，，，
，
，
，
：的值为2，
②当时，由①则有：的值为4，
故答案为：2或4．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
25．30°##30度
【分析】
由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质可求解．
解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
26．①③④
【分析】
由平分可知：①∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，即∠OBM＝90°，∠OCM＝90°，可知∠BOC+∠BMC＝180°；②利用外角定理，角平分线性质进行计算分析即可；③根据∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，可知∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则∠1＝∠2＝∠BAC，由于∠N＝∠BAC，可知∠1＝∠N，即MN∥AB．
解：如图所示，延长AC与E，
∵点O是△ABC的三条角平分线的交点，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，
∴∠2+∠3＝∠OBM＝90°，∠6+∠7＝∠OCM＝90°，
∵∠OBM+∠OCM+∠BOC+∠BMC＝360°，
∴∠BOC+∠BMC＝180°，
故①正确；
∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCE，∠N+∠2＝∠7，
∴∠N＝∠7﹣∠2＝∠BCE﹣∠ABC，
∵∠BCE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠N＝∠BAC，
∵∠ODH＝∠BAD+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，OH⊥BC，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAC﹣∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC≠90°，
∴90°﹣∠BAC﹣∠ABC≠∠BAC，
∴∠N≠∠DOH，
故②错误；
∵∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，
∴∠BOD＝∠COH，
故③正确；
∵∠CBA＝∠CAB，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠N＝∠BAC，
∴∠1＝∠N，
∴MN∥AB，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查的是三角形与角平分线的综合运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
27．84°##84度
【分析】
利用角平分线的定义∠ABD2= ∠ABD1=，∠ACD2= ∠ACD1=，求出∠CBD2=，，再根据三角形的内角和定理以及，再把∠A代入即可求∠BD2C的度数．
解：∵BD1、CD1分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠D1BA=∠D1BC= ∠ABC，∠D1CA=∠D1CB= ∠ACB，
∵BD2、CD2分别平分∠ABD1和∠ACD1，
∴∠ABD2= ∠ABD1=，∠ACD2= ∠ACD1=，
∴∠CBD2=，
∴，
∴∠BD2C=180°-(∠D2BC+∠D2CB)=180°-( ∠ABC+ ∠ABC)，
当∠A=52°时，
∠BD2C=180°-×（180°-52°），
=84°．
故答案为84°．
【点拨】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于利用角平分线的定义进行有关计算．
28．
【分析】
由折叠的性质可知：，再利用三角形内角和定理及角之间的关系证明，，即可找出α与β之间的数量关系．
解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质求出，根据角之间的关系求出，．
29．##54度
【分析】
根据翻折可得∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，得∠MAB+∠NAC＝90°，再由，即可解决问题．
解：根据翻折可知：∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC180°＝90°，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
∵∠NAC＝∠MAB，
∴∠NAC+∠NAC＝90°，
∴∠NAC＝54°．
故答案为：54°．
【点拨】本题主要考查翻折变换，熟练掌握和应用翻折的性质是解题的关键．
30．40
【分析】
根据折叠的性质得∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，再根据平角的定义得∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED=360°，从而有∠ADE+∠AED=140°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数．
解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∵∠BDA'+∠A'DE+∠ADE=180°，∠AED+∠A'ED+∠CEA'=180°，
∴∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED=360°，
∵∠BDA'+∠CEA'=80°，
∴2（∠ADE+∠AED）=360°-80°=280°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠A=180°-（∠ADE+∠AED）=180°-140°=40°，
故答案为：40．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，运用整体思想求出∠ADE+∠AED=140°，是解题的关键．
31．105°##105度
【分析】
根据AP为∠BAC的角平分线，先求出∠BAP的度数，再通过三角形内角和为180°，求出∠APB的度数即可．
解：通过图中作图痕迹可知AP为∠BAC的角平分线，
，
在△ABP中，，
故答案为：105°．
【点拨】本题考查了尺规作图画角平分线，三角形内角和定理等，能够通过图中作图痕迹得到AP为∠BAC的角平分线是解题的关键．
32．67
【分析】
设，，根据平移的性质和角平分线的定义可表示出、和，再根据三角形内角和定理得出和的和，进而求出∠P的值．
解：将DG与PF的交点标为O，如图
由平移的性质得，，
设，，
则，
，
GP平分∠AGD，
FP平分∠DFB，
，
，
，
在中，
在中，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平移的性质、全等三角形的性质、平行线的性质和三角形内角和定理，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．
33．15
【分析】
根据直角三角板的特点，结合题意，通过角的转换即可得结果；
解：如图，
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A=30°，
∵∠DEF＝45°，AB∥DE，
∴∠BGF＝45°，
∵∠A+∠AFD=∠BGF＝45°，
∴∠AFD=∠BGF-∠A=45°-30°=15°．
故答案为：15．
【点拨】本题主要考查角的转换、三角形的内角和定理、平行线的性质，掌握三角形的内角和定理、平行线的性质是解题的关键．
34．50
【分析】
在中，先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和即可求出．
解：是的高，
．
．
．
是的角平分线，
．
，
．
在中，．
故填50．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活应用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
35．38°
【分析】
根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数．已知∠P＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．
解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−52°＝128°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝90°，
∴∠ABP＋∠ACP＝128°−90°＝38°，
即∠1＋∠2＝38°．
故答案为：38°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC＋∠ACB，∠PBC＋∠PCB的度数．
36．60
【分析】
先由题意得到∠A=，∠B=，根据直角三角形两锐角互余求得结果．
解：∵飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，
∴∠A=，∠CPB=,
∵CP∥AB，
∴∠B=∠CPB=,
∴=-∠B=,
故答案为：60．
【点拨】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B的俯角为30°得到∠B=是解题的关键．
37．（1）；两直线平行，同位角相等；（2）见分析
【分析】
（1）根据内错角以及平行线的性质回答即可；
（2）过点作，利用平行线的性质得到，，进而利用平角的定义得到结论．
解：（1）根据题意，（两直线平行，同位角相等），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；
（2）证明：过点作，
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵（平角定义）
∴．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
38．（1）见分析；（2）见分析；（3）108°
【分析】
（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；
（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．
解：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC+∠C=180°
∵∠BFC=4∠C
∴∠C=36°
∴∠DGC=36°
∵∠C+∠DGC+∠D=180°
∴∠D=108°
【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
39．（1）；理由见分析；（2）
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理算出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理算出的度数即可；
（2）先根据，结合三角形内角和定理，用m表示出和，算出即可．
解：（1）∵在中，，
∴，
∵BD平分，CE平分，
∴，
在中，，
故．
（2）在中，∵，
∴，
∵，为的三等分线，，为的三等分线，
∴，
，
∴，
，
∴，
故．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律是解决本题的关键．
40．110°
【分析】
利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE，∠A′DE，即可解决问题．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，
∴∠B＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，
∴∠BDE＝180−∠B＝180°−35°＝145°，
∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，
∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，
∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．
41．(1)130º，(90+m)º(2)15º
【分析】
（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；
（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．
(1)解：∵，
∴∠2+∠3=180°，
由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º
∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；
若，那么
∠2=（90+m）º
(2)解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，
∵，
∴∠DBA+∠FCA=180º，
∵∠FCA=60º，
∴∠DBA=120º，
∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，
∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º
在中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，
∴∠1=180º-45º-120º=15º；
【点拨】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．
42．∠DAC= 40°，∠BOA= 115°．
【分析】
由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC= 130°，AF、BE是角平分线，则∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)=65°，从而得出答案．
解：∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°，
∴∠DAC= 90°-50°=40°，
∵∠C= 50°，
∴∠CAB+∠ABC = 130°，
∵AF、BE是角平分线，
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）=×130°=65°，
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°．
【点拨】本题主要考查了高的概念、直角三角形的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，做题的关键是角平分线性质的运用．
专题11.9 三角形的内角（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的内角和及证明
1．定理：三角形的内角和等于．
已知：的三个内角为，，．
求证：．
证法1
证法2
如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
如图2，过点作，∵，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（平角定义），
∴（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1用合理的推理证明了该定理
C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
2．在学习“三角形的内角和外角”时，老师在学案上设计了以下内容：
如图，已知△ABC，对∠A+∠B+∠ACB＝180°的说理过程如下：
延长BC到点D，过点C作CE∥AB．
∵CE∥AB．
∴∠A＝①（两直线平行，内错角相等）．
∠B＝②（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB+③+④＝180°（平角定义）．
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
下列选项正确的是（ ）
A．①处填∠ECD B．②处填∠ECD C．③处填∠A D．④处填∠B
3．在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
类型二、与平行线有关的内角和问题
4．将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
5．如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
7．如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（ ）
A．2° B．4° C．8° D．16°
9．如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型四、三角形折叠中的角度问题
10．如图四边形ABCD中，，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点处，若∠1=∠2=44°，则∠B为( )．
A．66° B．104° C．114° D．124°
11．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
类型五、三角形内角和定理的应用
13．将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
14．有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④．能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
16．如图，直线，在中，，AC⊥b，垂足为A，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
17．如图，已知AB//CD，DE⊥AC，垂足为E，∠D=20°，则∠A的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
18．如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（ ）
A．只有①③ B．只有②④
C．只有①③④ D．①②③④
二、填空题
类型一、三角形的内角和及其证明
19．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_____．
20．如图，已知交于点，且，则_____．
21．如图，和是分别沿着边AB、AC翻折180°形成的．DC的延长线交AE于点O，交BE的延长线于点F．若，，则的度数为_______.
类型二、与平行线有关的内角和问题
22．如图，三角形ABC中，D是AB上一点，F是BC上一点，E，H是AC上的点，EF的延长线交AB的延长线于点G，连接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，则∠ADE的度数为__．
23．如图，，，，为上一点，且，在直线上取一点，使，则的值为__________．
24．如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为______．
类型三、三角形内角的角平分线问题
25．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．
26．如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，连结AO并延长交BC于点D，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，直线MC和直线BO交于点N，OH⊥BC于点H，有下列结论：
①∠BOC+∠BMC＝180°；
②∠N＝∠DOH；
③∠BOD＝∠COH；
④若∠CBA＝∠CAB，则MN∥AB；
其中正确的有 _____．（填序号）
27．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，则∠BD2C的度数是 _____．
类型四、折叠中三角形内角问题
28．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF，．设，，则α与β之间的数量关系是________．
29．如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点，，则__________．
30．如图，将ABC沿着DE对折，点A落到处，若，则∠A＝______度．
类型五、直角三角形两锐角互余的应用
31．已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°．用尺规画出射线AP（痕迹如图），则∠APB的度数为_____．
32．如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF（B、E、F在同一条直线上），若∠B＝46°，AC与DE相交于点G，∠AGD和∠DFB的平分线GP、FP相交于点P，则∠P=______°．
33．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝∠EFD＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的大小为___________度．
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
34．如图，是的高，是角平分线．若，，则______°．
35．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.若∠A＝52°，则∠1＋∠2＝__________；
36．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么的度数为______°．
三、解答题
37．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图，．求证：．
证明：延长，过点作．
∴______（两直线平行，内错角相等），
（_______________）．
∵（平角定义），
∴．
（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；
（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．
38．已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
39．（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．
（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．
40．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD A′的度数.
41．小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．
42．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
参考答案
1．D
【分析】
根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可．
解：三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，
故A、B都不符合题意；
证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状，
故C不符合题意；D符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键．
2．B
【分析】
延长BC到点D，过点C作CE∥AB．依据平行线的性质以及平角的定义，即可得到∠A+∠B+∠ACB＝180°．
解：延长BC到点D，过点C作CE∥AB．
∵CE∥AB．
∴∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）．
∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°（平角定义）．
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
3．C
解：∵三角形的内角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故选C．
4．D
【分析】
根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，
∴∠1=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正确；
∵BC∥AD，∠B=45°，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=∠DAE=90°，
∴∠2=45°，故③错误；
∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAE=30°，
∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
5．B
【分析】
首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．
解：∵ABCD，
∴∠B＝∠D＝45°．
∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．
6．C
【分析】
根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
解：由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
7．A
【分析】
设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可．
解：设，则，
∵，
∴，
∵OB，OC平分和，
∴，即，解之得：，
故选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解．
8．A
【分析】
根据角平分线的定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到结论．
解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，
∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝∠ABC＋∠P1，
∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，
同理∠P2＝∠P1＝32°，
∴∠P6＝2°，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
9．C
【分析】
先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
解：标注角度如图所示：
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
10．C
【分析】
根据两直线平行，内错角相等可得，根据翻折变换的性质可得，然后求出∠BAC，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解：在ABCD中，，
∴，
∵ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点处，
∴，
∴，
在△ABC中，∠B=180°－∠BAC－∠2=180°－22°－44°=114°．
故选C．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握“翻折前后对应边相等，对应角相等”是解本题的关键．
11．B
【分析】
由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．
解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：
，
∴，
∵，
∴，
即．
故选B．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．
12．D
【分析】
根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数．
解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，
∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2=360°-180°=180°，
∵∠1=40°，
∴∠2=140°，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键．
13．D
【分析】
根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点拨】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
14．D
【分析】
根据直角三角形的判定，对各个条件进行分析，从而得到答案．
解：A、∠A+∠B＝∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
B、∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，故3x＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项正确．
故选：D ．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
15．D
【分析】
根据三角形的内角和是，即可求解．
解：，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
16．C
【分析】
首先在△ABC中由∠C=90°得∠1+∠B=90°，根据直线AC⊥b得∠1+∠2=90°，直线得∠2=∠∠3，∠2=∠4，等量代换∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，最后综合所得与∠1互余的角有4个分别为：∠2、∠3、∠4、∠B ．
解：如图所示，
∠C=90°，
∠1+∠B=90°，
∠1与∠B互余;
又a//b，
∠2=∠3，∠2=∠4， .
又AC⊥b，
∠1+∠2=90°，
∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，
综合所述与∠1互余的角有∠2、∠3、 ∠4、∠B，
故选：C．
【点拨】本题综合考查了平行线的性质、垂直的定义、对顶角的性质、余角与补角的定义等相关知识点，掌握平行线的性质解题的关键．
17．C
【分析】
根据直角三角形两个锐角互余，计算∠C=70°，利用两直线平行，同旁内角互补计算即可．
解：∵DE⊥AC，∠D=20°，
∴∠C=70°，
∵AB//CD，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=110°，
故选C．
【点拨】本题考查了直角三角形两个锐角互余，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
18．C
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
解：①∵EG//BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本选项正确．
故正确的是①③④
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
19．①③④
【分析】
利用高线和同角的余角相等，三角形内角和定理即可证明①，再利用等量代换即可得到③
④均是正确的，②缺少条件无法证明．
解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD，即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠CAB=90°，①正确，
∵AE平分∠CAD，EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF，∠C=∠FEB=∠BAD，②错误，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA，③正确，
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF，④正确，
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了三角形的综合性质，高线的性质，平行线的性质，综合性强，难度较大，利用角平分线和平行线的性质得到相等的角，再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键．
20．64°
【分析】
根据三角形内角和定理即可求出答案；
解：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB
∴∠A+∠D=∠C+∠B，
∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°；
故答案为：64°；
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
21．30°
【分析】
根据∠BCA:∠ABC:∠BAC=28: 5: 3,三角形的内角和定理分别求得∠BCA,∠ABC,
∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数.
解：∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x=180°，
解得：x=5°，
则∠BCA=140°，∠ABC=25°，∠BAC=15°，
由折叠的性质可得：∠D=25°，∠DAE=3∠BAC=45°，∠BEA=140°，
在△AOD中，∠AOD=180°-∠DAE-∠D=110°，
∴∠EOF=∠AOD=110°，
∴∠EFC=∠BEA-∠EOF=140°-110°=30°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理、外角和定理，熟练掌握三角形的定理是解题关键.
22．76°
【分析】
根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．
解：∵∠CEF＝∠CHD，
∴DH∥GE，
∴∠ADH＝∠G，
∵∠EFC＝∠ADH，
∵∠BFG＝∠EFC，
∴∠G＝∠BFG，
∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC，
∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，
∴∠EFC＝38°，
∴∠ABC＝76°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝76°，
故答案为：76°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
23．或
【分析】
分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
解：①如图，
当点在四边形内部时，
设，
则，
，
则，
∴.
∵，
∴，
，
即，
.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
②当点在四边形外部时，
由①可知，
，
∴，
∴．
故答案为：或．
．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
24．2或4
【分析】
分点P在线段AC上、在CA的延长线上两种情况，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
解：如图，①当时，即时，
，
，
，，，
，
，
，
：的值为2，
②当时，由①则有：的值为4，
故答案为：2或4．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
25．30°##30度
【分析】
由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质可求解．
解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
26．①③④
【分析】
由平分可知：①∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，即∠OBM＝90°，∠OCM＝90°，可知∠BOC+∠BMC＝180°；②利用外角定理，角平分线性质进行计算分析即可；③根据∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，可知∠BOD＝∠COH；④若∠CBA＝∠CAB，则∠1＝∠2＝∠BAC，由于∠N＝∠BAC，可知∠1＝∠N，即MN∥AB．
解：如图所示，延长AC与E，
∵点O是△ABC的三条角平分线的交点，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB的外角，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，
∴∠2+∠3＝∠OBM＝90°，∠6+∠7＝∠OCM＝90°，
∵∠OBM+∠OCM+∠BOC+∠BMC＝360°，
∴∠BOC+∠BMC＝180°，
故①正确；
∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCE，∠N+∠2＝∠7，
∴∠N＝∠7﹣∠2＝∠BCE﹣∠ABC，
∵∠BCE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠N＝∠BAC，
∵∠ODH＝∠BAD+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，OH⊥BC，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAC﹣∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC≠90°，
∴90°﹣∠BAC﹣∠ABC≠∠BAC，
∴∠N≠∠DOH，
故②错误；
∵∠BOD＝∠BAD+∠1＝∠BAC+∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∠COH＝90°﹣∠6＝90°﹣∠ACB，
∴∠BOD＝∠COH，
故③正确；
∵∠CBA＝∠CAB，
∴∠1＝∠2＝∠BAC，
∵∠N＝∠BAC，
∴∠1＝∠N，
∴MN∥AB，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查的是三角形与角平分线的综合运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
27．84°##84度
【分析】
利用角平分线的定义∠ABD2= ∠ABD1=，∠ACD2= ∠ACD1=，求出∠CBD2=，，再根据三角形的内角和定理以及，再把∠A代入即可求∠BD2C的度数．
解：∵BD1、CD1分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠D1BA=∠D1BC= ∠ABC，∠D1CA=∠D1CB= ∠ACB，
∵BD2、CD2分别平分∠ABD1和∠ACD1，
∴∠ABD2= ∠ABD1=，∠ACD2= ∠ACD1=，
∴∠CBD2=，
∴，
∴∠BD2C=180°-(∠D2BC+∠D2CB)=180°-( ∠ABC+ ∠ABC)，
当∠A=52°时，
∠BD2C=180°-×（180°-52°），
=84°．
故答案为84°．
【点拨】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于利用角平分线的定义进行有关计算．
28．
【分析】
由折叠的性质可知：，再利用三角形内角和定理及角之间的关系证明，，即可找出α与β之间的数量关系．
解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质求出，根据角之间的关系求出，．
29．##54度
【分析】
根据翻折可得∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，得∠MAB+∠NAC＝90°，再由，即可解决问题．
解：根据翻折可知：∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC，
∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC180°＝90°，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
∵∠NAC＝∠MAB，
∴∠NAC+∠NAC＝90°，
∴∠NAC＝54°．
故答案为：54°．
【点拨】本题主要考查翻折变换，熟练掌握和应用翻折的性质是解题的关键．
30．40
【分析】
根据折叠的性质得∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，再根据平角的定义得∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED=360°，从而有∠ADE+∠AED=140°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数．
解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∵∠BDA'+∠A'DE+∠ADE=180°，∠AED+∠A'ED+∠CEA'=180°，
∴∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED=360°，
∵∠BDA'+∠CEA'=80°，
∴2（∠ADE+∠AED）=360°-80°=280°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠A=180°-（∠ADE+∠AED）=180°-140°=40°，
故答案为：40．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，运用整体思想求出∠ADE+∠AED=140°，是解题的关键．
31．105°##105度
【分析】
根据AP为∠BAC的角平分线，先求出∠BAP的度数，再通过三角形内角和为180°，求出∠APB的度数即可．
解：通过图中作图痕迹可知AP为∠BAC的角平分线，
，
在△ABP中，，
故答案为：105°．
【点拨】本题考查了尺规作图画角平分线，三角形内角和定理等，能够通过图中作图痕迹得到AP为∠BAC的角平分线是解题的关键．
32．67
【分析】
设，，根据平移的性质和角平分线的定义可表示出、和，再根据三角形内角和定理得出和的和，进而求出∠P的值．
解：将DG与PF的交点标为O，如图
由平移的性质得，，
设，，
则，
，
GP平分∠AGD，
FP平分∠DFB，
，
，
，
在中，
在中，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平移的性质、全等三角形的性质、平行线的性质和三角形内角和定理，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．
33．15
【分析】
根据直角三角板的特点，结合题意，通过角的转换即可得结果；
解：如图，
∵∠ACB＝∠EFD＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A=30°，
∵∠DEF＝45°，AB∥DE，
∴∠BGF＝45°，
∵∠A+∠AFD=∠BGF＝45°，
∴∠AFD=∠BGF-∠A=45°-30°=15°．
故答案为：15．
【点拨】本题主要考查角的转换、三角形的内角和定理、平行线的性质，掌握三角形的内角和定理、平行线的性质是解题的关键．
34．50
【分析】
在中，先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和即可求出．
解：是的高，
．
．
．
是的角平分线，
．
，
．
在中，．
故填50．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活应用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
35．38°
【分析】
根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数．已知∠P＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．
解：∵∠A＝52°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−52°＝128°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝90°，
∴∠ABP＋∠ACP＝128°−90°＝38°，
即∠1＋∠2＝38°．
故答案为：38°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC＋∠ACB，∠PBC＋∠PCB的度数．
36．60
【分析】
先由题意得到∠A=，∠B=，根据直角三角形两锐角互余求得结果．
解：∵飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，
∴∠A=，∠CPB=,
∵CP∥AB，
∴∠B=∠CPB=,
∴=-∠B=,
故答案为：60．
【点拨】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B的俯角为30°得到∠B=是解题的关键．
37．（1）；两直线平行，同位角相等；（2）见分析
【分析】
（1）根据内错角以及平行线的性质回答即可；
（2）过点作，利用平行线的性质得到，，进而利用平角的定义得到结论．
解：（1）根据题意，（两直线平行，同位角相等），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；
（2）证明：过点作，
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵（平角定义）
∴．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
38．（1）见分析；（2）见分析；（3）108°
【分析】
（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；
（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．
解：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC+∠C=180°
∵∠BFC=4∠C
∴∠C=36°
∴∠DGC=36°
∵∠C+∠DGC+∠D=180°
∴∠D=108°
【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
39．（1）；理由见分析；（2）
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理算出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理算出的度数即可；
（2）先根据，结合三角形内角和定理，用m表示出和，算出即可．
解：（1）∵在中，，
∴，
∵BD平分，CE平分，
∴，
在中，，
故．
（2）在中，∵，
∴，
∵，为的三等分线，，为的三等分线，
∴，
，
∴，
，
∴，
故．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律是解决本题的关键．
40．110°
【分析】
利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE，∠A′DE，即可解决问题．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，
∴∠B＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，
∴∠BDE＝180−∠B＝180°−35°＝145°，
∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，
∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，
∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．
41．(1)130º，(90+m)º(2)15º
【分析】
（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；
（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．
(1)解：∵，
∴∠2+∠3=180°，
由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º
∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；
若，那么
∠2=（90+m）º
(2)解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，
∵，
∴∠DBA+∠FCA=180º，
∵∠FCA=60º，
∴∠DBA=120º，
∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，
∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º
在中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，
∴∠1=180º-45º-120º=15º；
【点拨】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．
42．∠DAC= 40°，∠BOA= 115°．
【分析】
由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC= 130°，AF、BE是角平分线，则∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)=65°，从而得出答案．
解：∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°，
∴∠DAC= 90°-50°=40°，
∵∠C= 50°，
∴∠CAB+∠ABC = 130°，
∵AF、BE是角平分线，
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）=×130°=65°，
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°．
【点拨】本题主要考查了高的概念、直角三角形的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，做题的关键是角平分线性质的运用．
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