湘教版八年级下册1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）课时作业

[直角三角形的性质和判定]

一、选择题

1.在△OAB中,∠O=90°,∠A=25°,则∠B的度数为 (　　)

A.35° B.55° C.65° D.145°

2.(2020永州陶铸中学期中)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为              (　　)

A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km

3.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(　　)

A.∠A+∠B=∠C

B.∠A-∠B=∠C

C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3

D.∠A=∠B=3∠C

4.在直角三角形中,若斜边和斜边上的中线的长度之和为9,则斜边上的中线长为 (　　)

A.3 B.4.5 C.6 D.9

5.(2020玉林)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西55°方向,则A,B,C三岛组成一个              (　　)

A.等腰直角三角形  B.等腰三角形

C.直角三角形  D.等边三角形

二、填空题

6.(2020淮安)已知直角三角形的斜边长为16,则这个直角三角形斜边上的中线长为　　　　. 

7.(2020永州柳子中学月考)如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,若CE=10,则AB=　　　　. 

8.如图,AD⊥BC于点D,∠BAD=∠B,∠C=65°,则∠BAC的度数为　　　　. 

9.在直角三角形中,若两个锐角的度数之比为2∶3,则它们中较大锐角的度数为　　　　°. 

10.如图,一根木棒AB斜靠在与地面垂直的墙上,P为AB的中点.若木棒的A端沿墙下滑,B端沿地面向右滑行,在滑行的过程中,点P到点C的距离　　　　(填“会”或“不会”)发生变化,理由是　. 

三、解答题

11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高.

(1)图中有几个直角三角形?是哪几个?

(2)∠1和∠A有什么关系?∠2和∠A呢?还有哪些锐角相等?

图   

12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE分别是AB边上的高和中线.若CE=4 cm,CD=3 cm,∠A=24°.

(1)求∠B和∠ACE的度数;

(2)求△ABC的面积.

13.(2021永州陶铸中学月考)如图,在△ABC中,CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中点.

(1)求证:△MFE是等腰三角形; 

(2)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求△MFE三个内角的度数.

图   

14.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为 BC边的中点.如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,连接DN,DM,MN,在移动过程中始终保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论.

图   

 [从特殊到一般的思想] 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,且点E在BD的左侧,F是BD的中点,连接EF,DE,BE.

(1)若∠BED=90°,求∠BCD的度数;

(2)若∠BED=α,直接写出∠BCD的度数(用含α的代数式表示).

答案

1.C　2.D

3. D　A选项,∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°,则最大角∠C=90°,所以△ABC为直角三角形;同理,B,C选项均为直角三角形.D选项中,∠A=∠B=3∠C,即7∠C=180°,三个角中没有90°角,故不是直角三角形.故选D.

4. A　设该直角三角形斜边上的中线长为x,则斜边长为2x,则x+2x=9,解得x=3.

故选A.

5. A　由题意可知∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°,根据角的和差、平行线的性质可得∠BAC=45°,∠ABE=100°,从而可得∠ABC=45°,然后根据三角形的内角和定理可得∠C=90°,所以A,B,C三岛组成一个等腰直角三角形.

6.8

7.20

8. 70°

 ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.

又∵∠BAD=∠B,∴∠BAD=∠B=45°.

在Rt△ADC中,∠DAC=90°-∠C=90°-65°=25°,

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+25°=70°.

9. 54

 设直角三角形的两个锐角的度数分别为α,β(α<β),则解得

所以两个锐角中较大锐角的度数为54°.故答案为54.

10.不会　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

11.解:(1)图中有3个直角三角形,分别是△ACD,△BCD,△ABC.

(2)∵∠ADC=90°,∴∠1+∠A=90°,即∠1和∠A互余.

又∵∠1+∠2=90°,∴∠2=∠A.

∵∠CDB=90°,∴∠2+∠B=90°.

又∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠B.

12.解:(1)∠B=90°-∠A=66°.

∵在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,

∴CE=AE=AB,∴∠ACE=∠A=24°.

(2)∵CE=4 cm,∴AB=8 cm,

∴S△ABC=AB·CD=×8×3=12(cm2).

13.解:(1)证明:∵CF⊥AB于点F,M为BC的中点,

∴MF=BC,

同理可证ME=BC,

∴MF=ME,

∴△MFE是等腰三角形.

(2)∵MF=MB,

∴∠ABC=∠MFB=50°,

同理∠ACB=∠MEC=60°,

∴∠BMF=180°-50°-50°=80°,

∠EMC=180°-60°-60°=60°,

∴∠FME=180°-80°-60°=40°.

∵MF=ME,

∴∠MFE=∠MEF==70°,故△MFE三个内角的度数分别是40°,70°,70°.

14.解:△DMN是等腰直角三角形.

证明:连接DA.

∵∠BAC=90°,D为 BC边的中点,

∴DC=DA=DB,

∴∠C=∠CAD.

∵AB=AC,∴∠C=∠B,

∴∠CAD=∠B.

在△AND和△BMD中,

∵AN=BM,∠NAD=∠B,DA=DB,

∴△AND≌△BMD,

∴DN=DM,∠ADN=∠BDM.

∵AB=AC,D为BC边的中点,

∴AD⊥BC,

∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=90°,

∴∠ADM+∠ADN=90°,即∠NDM=90°,

∴△DMN是等腰直角三角形.

[素养提升]

解:(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,

∴DE=AC=EC,BE=AC=EC,

∴∠EDC=∠ECD,∠EBC=∠ECB.

∵在四边形DEBC中,∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°,∠BED=90°,

∴∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC=360°-∠BED=360°-90°=270°,

∴2∠ECD+2∠ECB=270°,

∴∠ECD+∠ECB=135°,

即∠BCD=135°.

(2)∠BCD=180°-α.